2019-2020学年高中数学新教材必修一第1章 章末复习课

(2)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全 称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定 是“∃x∈R，x2≤0”，故选B.]
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“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别 与联系
1一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得 到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在 否定结论px的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量 词，存在量词改为全称量词.
c≤34.
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[解]
因为a≥
1 2
，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图像的对称轴方
程为x＝2aa2＝21a，且0＜21a≤1，当x＝21a时，y＝14＋c.
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即
1 4
＋
c≤1，所以c≤34.
再证充分性：
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因为c≤34，当x＝21a时，y的最大值为14＋c≤14＋34＝1，所以对于 任意x∈{x|0≤x≤1}，
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2与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键 也是对关键词的否定.
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4．下列命题不是存在量词命题的是( ) A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除 C．在实数范围内，有些一元二次方程无解 D．有一个m使2－m与|m|－3异号 B [选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题， 选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]
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5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________． 存在一个能被7整除的数不是奇数 [原命题即为“所有能被7整 除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在 一个能被7整除的数不是奇数”．]
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[解] 由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图，
2k－1≥－3，
k≥－1，
可得2k＋1＜2， 解得k＜12.
所以k的取值范围是k－1≤k＜12
.
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充分条件与必要条件
【例3】 已知a≥
1 2
，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实
数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是
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1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁
U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
D [∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}， ∴∁U(A∪B)＝{4}．]
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集合关系和运算中的参数问题
【例2】 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围ห้องสมุดไป่ตู้ (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？
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－12或13 [p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－1a.
由题意知p
q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－
1 a
＝2或
－1a＝－3，解得a＝－12或a＝13.
综上可知，a＝－12或a＝13.]
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全称量词与存在量词 【例 4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小
根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形 如A⊆B的问题转化为A B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以 解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要 注意作图准确，分类全面.
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2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B ⊆A，求实数k的取值范围.
第一章 集合与常用逻辑用语
章末复习课
2
体系构建
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3
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4
题型探究
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5
集合的并、交、补运算
【例1】 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜ x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．
(1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B)．
y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1. 即充分性成立．
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利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合 间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之 间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.
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3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实 数a的值为________．
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[解] (1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝ {1,2}．
(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝ {0,5,6}．
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集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合 部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可 得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再 进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行 数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观 化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
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(2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则( ) A．p是假命题； p：∃x∈R，x2＜0 B．p是假命题； p：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题； p：∀x∈R，x2＜0 D．p是真命题； p：∀x∈R，x2≤0
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(1) C (2) B [(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都 等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都 是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存 在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意 的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C.
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[解] (1)A＝{x|0≤x≤2}，
∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴aa≤ ＋03，≥2. ∴－1≤a≤0.
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(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．
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