2020届山东高三理科数学一轮复习课件第三章§31 导数的概念及运算

4.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经
过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是
.
答案 (e,1)
解析 本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数 学运算.
设A(x0,y0),由y'=?1x
又g(e)=0,∴ln x=?e 有唯一解x=e.∴x0=e.∴点A的坐标为(e,1).
x
方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: ①设切点为(x0, f(x0)); ②求k=f '(x0); ③得出切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0); ④由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.
解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切点. (2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点代入两者的解析式建 立方程组. (3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.
2.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是? ( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.
∵y=cos
x-?x
2
,∴y
'=-sin
x-?1
2
,∴y
'|x
? =0=-
1 2
,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-?1
2
,∴切线方程为y-1=-?1
2
(x
-0),即x+2y-2=0.
方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代 入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.
3.(2019课标全国Ⅰ理,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
.
答案 y=3x
解析 本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. ∵y'=3(x2+3x+1)ex,∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y'|x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
2.(2019课标全国Ⅱ文,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为? ( ) A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
答案 C 本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗 透的核心素养是数学运算. 由题意可知y‘=2cos x-sin x,则y' |x=π=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2 (x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
答案 D 本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导 数的求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养. ∵y'=aex+ln x+1,∴y'|x=1=ae+1, ∴2=ae+1,∴a=e-1.∴切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b, ∴b=-1,故选D. 解题关键 正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.
ห้องสมุดไป่ตู้,得k=?1 x0
,
所以在点A处的切线方程为y-ln
? x0=
1 x0
(x-x0).
因为切线经过点(-e,-1),
所以-1-ln x0=?1 (-e-x0).所以ln x0=?e ,
x0
x0
令g(x)=ln x-?e (x>0),
x
则g'(x)=?1 +?e ,则g'(x)>0,
x x2
∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.
高考数学 (山东专用)
第三章 导数
§3.1 导数的概念及运算
五年高考
A组 山东省卷、课标Ⅰ卷题组
1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为? ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案 D ∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴a-1=0,解得a=1,∴f(x)=x3+x,∴f '(x)=3x2+1,∴f '(0)= 1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.
解题关键 掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.
B组 课标卷、其他自主命题省(区、市)卷题组
考点一 导数的概念及几何意义
1.(2019课标全国Ⅲ理,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则? ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
小题速解 由题意得y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有 C符合.故选C.
3.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-?x 在点(0,1)处的切线方程为
.
2
答案 x+2y-2=0
解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算
答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意知只需函数y=f(x)
满足f '(x1)·f '(x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f '(x)=cos x,则f '(0)·f '(π)=-1,故函数y=sin x具有T
性质;y=f(x)=ln
x的导函数为f
'(x)=?1
x
,则f
'(x1)·f
? '(x2)=
1 x1x2
>0,故函数y=ln
x不具有T性质;y=f(x)=ex
的导函数为f '(x)=ex,则f '(x1)·f '(x2)=?ex1?x2 >0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f '(x)=3
x2,则f '(x1)·f '(x2)=9?x1?2 x22 ≥0,故函数y=x3不具有T性质.故选A.