高中必修1-5错误解题分析系列-《12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图》

12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图

一、知识导学

1．频率分布表：反映总体频率分布的表格.

2．一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距=

组数

全距；（2）

分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.

3． 频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律.

4． 一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的

组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的

组距

频率，这样得出一系列的矩形；

（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.

5． 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.

6． 制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相

同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出. 二、疑难知识导析

1． 在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据

的分布情况.

2． 在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全

距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）. 3． 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组

距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线. 4． 茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地

表示原始数据的信息.

5． 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图. 三、典型例题导讲

[例1]（06全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)

3000,2500（元）月收入段应抽出 人.

解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有100000.00055002500

⨯⨯=人，

按分层抽样应抽出

100

250025

10000

⨯=人.故答案25

点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.

[例2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514

画出上述数据的茎叶图

错解：

甲乙

8 0 7

87632 1 024668

8764220 2 013468

43 3 02

4

错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样.

正解：用前两位数作为茎，茎叶图为

甲乙

8 50 7

87632 51 024668

8764220 52 013468

43 53 02

54

从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都是522，乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516，总的看，甲的指标略大一些.

[例3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时，矩形高度

①与这个矩形的宽度（组距）有关；

②与样本容量n无关；

③与第三个分组的频数有关；

④与直方图的起始点无关.

以上结论中正确的共有（）

A．0个 B.1个 C. 2个 D.3个

错解：D.

错因：起始点与组距均影响第三组的频数，所以矩形高度与以上各因素均有关，①③正确，正解：C.

[例4]根据中国银行的外汇牌价，2005年第一季度的60个工作日中，欧元的现汇买入价（100欧元的外汇可兑换的人民币）的分组与各组频数如下：〔1050，1060〕：1，〔1060，1070〕：7，〔1070，1080〕：20，〔1080，1090〕：11，〔1090，1100〕：13，〔1100，1110〕：6，〔1110，1120〕：2. （1）列出欧元的现汇买入价的频率分布表；（2）估计欧元的现汇买入价在区间1065~1105内的频率；（3）如果欧元的现汇买入价不超过x 的频率的估计值为0.95，求此x 解：（1）欧元的现汇买入价的频率分布表为：

（2）欧元现汇买入价在区间1065~1105内的频率的估计值为

84.01100

111011*********.0217.0183.0333.01060

107010651070117.0=--⨯

++++--⨯

（3）因为0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95，0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95，所以x 在［1100，1110］内，且满足0.867+0.1003.1108,95.01100

11101100≈∴=--⨯x x 即欧

元现汇买入价不超过1108.3的频率的估计为0.95 [例

如果80分以上（包括80分）定为成绩优秀，60分以上（包括60分）定为成绩及格.那么，在这个班级的这次成绩统计中，成绩不及格的频率是多少？成绩及格的频率是多少？成绩优秀的频率是多少？

解：被统计的对象（参加这次考试的本班学生）共有2+6+12+21+7+2=50个.60分以上的有48个，80分以上的有20个，所以成绩不及格的频率是

04

.050

2=，成绩及格的频率是

96

.050

48=，成绩优秀的频率是

4

.050

20=.

说明 要计算一组数据中某个对象的频率，要先计算数据的总的个数，再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据，也可以是在某一范围内数据的总数.