数值分析习题集及答案

数值分析习题集
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）
长沙理工大学
第一章 绪 论
1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.
2. 设x 的相对误差为2％,求n
x 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出
它们是几位有效数字:
4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234
,,,x x x x 均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?
6. 设028,Y =按递推公式
1n n Y Y -=( n=1,2,…)
计算到100Y .
27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?
7. 求方程2
5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字
27.982).
8. 当N 充分大时,怎样求
2
11N
dx x +∞
+⎰
?
9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2
? 10. 设
212S gt =
假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对
误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列
{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),
若0 1.41y =≈(三位有效数字),
计算到
10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
12.
计算61)f =,
1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
13.
()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大?
14. 试用消元法解方程组
{
101012121010;2.
x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =
其中c 为弧度,
02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足
第二章 插值法
1. 根据(
2.2)定义的范德蒙行列式,令 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,
,n x x -,且 101101()(,,
,)()
()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.
2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.
3.
4. ,
研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.
5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.
6. 设
j
x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:
7. 设[]2
(),f x C
a b ∈且()()0f a f b ==,求证21
()()().
8max max a x b
a x
b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"
8. 在44x -≤≤上给出()x
f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x
e 的近似值,要使截
断误差不超过6
10-,问使用函数表的步长h 应取多少?
9. 若2n
n y =,求4n y ∆及4n y δ.
10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分
()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数). 11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.
12. 证明1
1
0010
.
n n k
k
n n k k k k f g
f g f g g f --+==∆=--∆∑∑
13. 证明
1
2
00
.
n j n j y y y -=∆
=∆-∆∑
14. 若1
011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明
15. 证明n 阶均差有下列性质: i)
若()()F x cf x =,则
[][]0101,,,,,
,n n F x x x cf x x x =;
ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,
,,,
,,,
,n n n F x x x f x x x g x x x =+.
16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣
⎦
及01
82,2,,2f ⎡⎤⎣
⎦
.
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次
埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件
(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.
20. 设
[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()
n x ϕ
并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .
21. 设2
()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,
计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.
22. 求2
()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.
23. 求4
()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
试求三次样条插值并满足条件
25. 若
[]2
(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)
[][][][]2
2
2
()()()()2()()()b
b
b
b
a
a
a
a
f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx
"-"="-"+""-"⎰
⎰⎰
⎰;
ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则
[][][]
()()()()()()()()()b
a
S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰
.
26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).
第三章 函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.
(b)对()sin f x x =在[
]0,/2
π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:
(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.
4. 假设()f x 在[
],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.
5. 选取常数a ,使301
max x x ax
≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?
6. 求()sin f x x =在[
]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
7. 求()x
f x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.
8. 如何选取r ,使2
()p x x r =+在[
]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?
9. 设4
3
()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.
10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求
***
0123(),(),(),()T x T x T x T x .
11. 试证
{}*
()n
T x 是在[]0,1上带权
ρ=
的正交多项式.。