三维旋转群SO3【精选】

群与SU(2)群的同态关系. 然后，通过研究SU(2)
群的不可约表示，来得到SO(3)群的不可约表示.
在§4.3节例3中我们曾求得SU(2)群的群元素
为：
a b U b* a*
a2 b2 1
( 1)
6
SU(2)群与SO(3)群一样也是一个三参数李群.
SO(3)与SU(2)两群间存在着同态关系，具体地
个三维空间的正交变换. 亦即，对于
8
M
r
U SU(2)
M
wk.baidu.com
r
UMU
Ur
U
对应于
r
RU
r RUr
下面我们给出每一个USU(2) 所对应的三维空间正 交变换 RU 的具体表达式.
将(1)、(2)与(4)代入(3)得
x
1
x3 ix
2
x
1 ix x3
2
由上式可以确定出
r (
a b*
1
采用欧勒角描述SO(3)群的转动时，其转动方
式如下：
(1)
先将坐标系绕z轴转
角，这时矢量
r
变
为
r
，其矩阵形式为：
其中
r Rz ()r
( 1)
cos sin 0
Rz () sin cos 0
0
0 1
为
(2) 接着绕新坐标系的 r ，其矩阵形式为：
y
轴转
角，变矢量
r
r R y ()r
(
x
2 1
x
2 2
x
2 3
)
取USU(2) ，并对M作相似变换
M UMU
(3)
7
由于U是幺正矩阵，所以 U U1 . 另矩阵的迹在 相似变换下不变，所以 M 与 M 一样也是一无迹厄
米矩阵. 由于任何 2 2 无迹厄米矩阵都可由泡利 矩阵线性组合给出，所以 M 可以表示成
M
r
3
xk k
k 1
x1
x3 ix2
x
1 ix x3
2
( 4)
此时detM (x12 x22 x32 ), 由于矩阵的行列式在 相似变换下不变，所以detM detM ，亦即
x 1 2
x22
x3 2
x
2 1
x22
x32
(5)
即由 U SU(2) 所构成的相似变换(1)与正交变换一样,
不改变矢量的长度，因此每一个 U SU(2) 应对应一
sincos
sin sin
cos
这就是用三个欧勒角 、 、 表示的SO(3)群的
群元素的表达式. 其中 与 是绕子z轴的转角，
是球坐标系中的方位角，它们处在范围 0 2 ,
0 2 . 为绕y轴的转角，是球坐标系中的
极角，处在范围 0 .
在上式中取 0 ，得：
是 1 , 即 detRU(a,b) 要么是+1， 要么是－1. 而 detRU (a,b) 1 的两参数空间
10
是不连通的. 由于当a=1, b=0时，f(a,b)=+1, 所以在整 个参数空间，detRU(a,b) 1 . 因此 RU(a,b) 代表三维空间 的一个纯转动变换. 也就是说，对于每一个 U SU(2) ， 都有一个 RU(a,b) SO(3) 与之对应.
RU (a,b)
i 2
(a 2
a*2 b2 a*b ab*
b*2 )
1 (a2 a*2 b2 b*2 ) 2
i(a*b ab* )
i(a*b* ab) (7)
aa*
bb* )
这里的RU(a,b) 就是三维空间中的一个正交变换矩阵，进
一步可以证明
detRU (a,b) 1
这种证明是简单的，正交变换矩阵的行列式只能
x1 ,
x
b a*
2 ,
x
1
x3 ix
x3 ) 与
2
x1 ix2 x3
r(x1, x2
a b
* *
,x3
)
b a
之间的
变换关系
r RU (a,b)r
( 6)
9
从而可以求得
1 (a2 a*2 b2 b*2 ) i (a2 a*2 b2 b*2 ) (a*b* ab)
2
2
其矩阵形式为
r Rz ()r
(4) 角，变矢量 r 为
r
,
(5) 3
而
R z () R z ()R y ()R z ()[R z ()R y ()]1
( 6)
将(4)与(6)代入(5)式得
r与
r
之间的变换关系为：
其中
r R z ()R y ()R z ()r R(, , )r
R(, , ) Rz ()Ry ()Rz ()
第五章 三维旋转群SO(3)
本章将讨论物理上常用的一种李群三维旋转群
SO(3). 旋转群在物理学的应用中占有十分重要的地位. 它不仅是描述物理系统在普通坐标空间中各向同性的
对称群，也是处理物理系统内部对称性的有用工具. 本章我们将介绍三维旋转群SO(3)的基本知识.
§5.1 三维旋转群SO(3)
SO(3)群是三参数 [1n(n -1), n 3] 的李群，在§4.5节 例3中，我们曾求得SO(23)群的群元素. 在那里，三个 群参数选为坐标系绕三个坐标轴的三个转角 1 、2 、 2 . 在实际应用中，人们通常取三个欧勒角 ( ) 作 为SO(3)群的群参数. 这一节，我们将导出该情况下， SO(3)群的群元素的具体形式.
说就是SO(3)群中的一个元素对应于SU(2)群中的两
个元素，下面我们来证明这一结论.
设三维空间矢量
r
的分量为 (x1,
x2, x3 ) .
泡利矩阵的点积为：
M r x11 x 22 x33
它与
x1
x3 ix2
x
1 ix x3
2
( 2)
上式表明：M是一个无迹厄米矩阵,
且det M
( 2) 2
显然
Ry () Rz ()Ry ()Rz1()
( 3)
这样绕新坐标系 y 轴的转动，变成绕原坐标系坐
标轴的转动，其中
cos 0 sin
Ry () 0 1 0
sin
0
cos
将(1)与(3)代入(2)得
r
与
r
的变换关系
r Rz ()R y ()r
(3) 最后绕 z 轴转
cos( ) sin( ) 0
R(, 0, ) sin( ) cos( ) 0
0
0
1
5
因此，单位元不仅处在零参数 0 处，亦处
在 0 与 0 处，所以三个欧勒角不是正则参
数.
§5.2 SO(3)群与SU(2)群同态
为了求得SO(3)群的表示，我们先讨论SO(3)
cos sin 0 cos 0 sin cos sin 0
sin cos 0 0 1 0 sin cos 0
0
0
1
sin
0
cos
0
0 1
4
亦即
cos coscos sin sin (cos cossin sin cos ) cos sin
R(, , ) sin coscos cos sin (sin cossin cos cos ) sin sin