弹性与塑性力学基础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例

2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 切取基元块
❖ 列平衡方程(沿r向)
(r dr)(rdr)dhrdh
2
sinddrh2rddr0
2
整理并略去高次项得平衡微分方程
dr 2r 0
p
23s
ln
r b
(6-3)
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力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
➢ 对于圆环受拉问题，平衡微分方程法依旧，由于是平面应力问题， 屈服准则不变，可取=1.1，将边界条件代入后可得
r
1.1
s
ln
r b
1.1 s (1 ln
r
)
b
(6-4)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.1 主应力法的要点 ➢ 将问题近似地按轴对称问题或平面问题来处理 ➢ 假设非接触面上仅有均布的正应力即主应力 ➢ 假设接触面上的正应力即为主应力(即忽略摩擦切应力的影响)
d2
4
s
1
d 6h
(6-19)
Pd 422s h2d 22ehd1hd
(6-20)
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Pd2
4
s13hd
(6-21)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 求平均单位力
τ=s/2时
若边界摩擦τ=μz
z sex2 p(0.5 hdr)
(6-16) (6-17)
若边界摩擦τ=μs
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z s12h(0.5dr) (6-18)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
边界上可能存在的摩擦条件为
s
0
z
设边界上选最大值，即
s 2
(6-10)
超过此数值工件与模板间的摩擦由剪切所代替
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将式(6-10)代入式(6-9)，可得
dr s
dr h
(6-11)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
将屈服准则式(6-13)与微分方程式(6-11)联解
dr s
dr h
得
dz
s
h
dr
(6-11) (6-14)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 积分上式，得
z
s
h
r C
定积分常数，当r=d/2 时， r =0
dr h r
(6-7)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 找 r与θ的关系 可以从 r与θ的关系和应力应变关系式判别
实心圆柱镦粗的径向应变为
r dr/r
切向应变为
2(r2d r)r2rdrr
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§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
rz 、
r
、
r
受力状态：圆筒的内壁作用有均匀压力p 几何尺寸：筒的尺寸如图所示 变形类型：平面应变(圆筒很长，相当于
❖ 镦粗单位压力分布
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τ=s/2
τ=μs
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 求总变形力
沿接触平面积分即可得总变形力
P
0.5d
0
z
2rdr00.5d11 h(0.5dr)2rdr
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§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.1 求解方法 6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.1 主应力法的特点 6.2.2 主应力法的要点平行模板间圆柱体镦粗 6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
示，即有
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1 2
m m
K
3 m K
(6-25)
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§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法
➢ 滑移线的基本概念
由应力莫尔圆可知，应力分量x、y、τxy与静水压m和最大切应
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法
➢ 滑移线的基本概念
作用于最大剪应力面上的正应力13恰等于平均应力m或中间主应
力2 ，即
1 3 m 2 1 2 (13 ) 1 2 (xy)
任一点应力状态可用静水压(平均
应力)与最大剪切力K相叠加来表
如热锻等
pm
s
1
d 6h
(6-22)
τ=μz时
pm2s
h2
2d2
d eh
16dh
(6-23)
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摩擦系数较小的冷变形情况
τ=μs时
pm
s13
d h
摩擦系数较小的冷变形情况
(6-24)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
压力容器、管道、挤压凹模等) 2020/10/16轴对称平面问题
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化； 平衡微分方程：
dr r 0 (6-1)
dr r
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§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
两者相等，根据应力应变关系理论必然有
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r
将式(6-8)代入式(6-7)，可得
dr 2 0
dr h
(6-8) (6-9)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 代入边界摩擦条件
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线法
滑移线法就是利用滑移线场特性来求解变形问题
严格地说仅适用于处理理想刚塑性体的平面应变问题，但在一定 条件下，也可推广到平面应力和轴对称问题以及硬化材料；
与其它方法相比，在数学上比较严谨，理论上比较完整； 可以计算变形力、确定塑性变形区内的应力分布和速度分布、接
弹性与塑性力学基础
第六章
塑性力学解题方法及应用举例
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力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑性状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
(6-12)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 从式(6-12)微分可得
d z d r
dr dr
(6-13)
由此可见只要τ=常数，式(6-13)总是成立的
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❖ 联立求解
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的定义
塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线 由于最大剪应力成对正交，因此滑移线在变形体内成两族互相正 交的线网，组成所谓滑移线场。
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§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的基本概念 两个彼此正交的最大剪应力面(即α点和β点所代表的物理平面)与
塑性流动平面相垂直，最大剪应力为 ma x131 2(13)K
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力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
触面上的应力分布及等静压迹线等； 构成滑移线的网格为在计算机上采用数值方法求解提供了自然单
元，为该方法在工程计算上应用提供了方便。
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§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的基本概念 塑性变形体（或变形区）内任一点的应力状态如图所示
一定的边界条件下可以求得变形体内的应力大小及分布； (4) 某些特殊情况下能够数学解析，一般空间问题，数学上极其困难，
甚至不可能解。
2、塑性力学问题求解方法
(1) 塑性理论基础上，引进各种简化假设，提出求解的近似解析方法； (2) 主应力法(切块法)、滑移线法和上限法，数值模拟方法。
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➢ 解题方法
根据Mises屈服准则，有
r - θ = β s
式中β 为中间主应力影响系数，对于平面应变问题
代入式(6-1)，得 积分得
dr
23s
dr r
r 23s lnCr
利用边界条件确定积分常数C，当r=b， r =0，则
C1
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b
(6-2)
2， 3
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6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 写出屈服准则的表达式
由应变状态可见
r =θ >0 z <0
根据应力应变顺序对应规律(考虑到应力的符号)
(- r ) = (- θ ) > (- z )
此时的屈服准则
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max - min = s 即视 r 、 z为主应力，有
(- r ) - (- z ) = s 即： z - r = s
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 随着μ及d/h增加，平均单位变形力将迅速增加
❖ 有相对厚度越小平均单位变形力越大的概念
τ=s/2时 τ=μz时 τ=μs时
pm
s
1
d 6h
pm
s1
d
3h
pm
s13
d h
(6-22) (6-23) (6-21)
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max - min = β s
➢ 将上述的平衡方程与近似屈服准则联解，以求接触面上的应力 分布，这就是主应力法。由于该方法需要截取基元块，又形象地 称为切块法。
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 ➢ 适合主应力法求解 物体几何上轴对称，受载荷也是轴对称的，属于轴对称问题，
代入式(6-12)得
z =s
Cs
s
h
d 2
(6-15)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
➢ 解题步骤
❖ 求接触面上压力分布公式
将C代入式(6-15)得圆柱体镦粗压力分布公式
z s11h(d2r)
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
➢ 联立式(6-2)得到塑性圆筒的应力解
r
2
3 2
3
s s
ln r b
(1 ln
r b
)
分析上式知，截面的 θ总为拉应力， r总为压应力。
当r=a时，有最大的压力p，所以
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力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的基本概念 塑性变形体（或变形区）内任一点的应力状态如图所示
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力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
力K的关系
x y
m m
K sin 2
K
sin
2
(6-26)
xy K cos 2
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§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用