通信原理-信号频谱分析和概率论补充

归一化互相关函数定义为
互相关系数定义为
12
22
R12 (0) R11 (0) R22 (0)
2015/11/14
4. 相关函数与谱密度的关系


相关函数的物理概念，虽然建立在信号的时间波 形之间，但相关函数与能量谱密度或功率谱密度 之间却有着确定的关系，因而可以由其中一个求 出另一个。 信号的自相关函数与功率谱密度互为傅立叶变换 关系
2015/11/14
8
2.2.1 周期信号
⑴基本表示式 任意一个周期为T0 的周期函数可以展开为 傅立叶级数：

f (t ) A0 ( An cos n0 t Bn sin n0 t )
n 1

2015/11/14
9

⑵余弦函数表示式
f (t ) C 0 C n cos(n 0 t n )

2015/11/14
32
连续型和离散型随机变量 常见的随机变量有两种类型：连续型随机 变量和离散型随机变量。 如果随机变量的分布函数是连续的，则称 是连续型随机变量。连续型随机变量的值 可能充满实数轴上的某个空间，甚至于整 个实数轴。

2015/11/14 33
2.3.3 随机变量的数字特征
26
2015/11/14

随机现象是通过随机试验表现出来的。我 们称一个试验中可能发生也可能不发生的 事件为该试验的随机事件，以下简称为事 件，通常用字母、B、C…来表示，称该试 验可能出现的每一个结果为试验的基本事 件。
2015/11/14
27

基本事件的全体组成的集合称为该试验的 样本空间。一个随机试验可能出现各种各 样的随机事件，但是仅仅知道它可能发生 那些事件并没有多大意义，重要的是要掌 握这些事件发生的可能性有多大，描述事 件出现可能性大小的量称为概率。
F ( ) f (t )e jt dt


f (t )
2


F ( )e
d
为F(ω )的傅立叶逆变换式 傅立叶变换可以看做周期函数周期无限长对应 的傅立叶级数的极限；但本身已经成为很重要 的工具 12 2015/11/14

本课程中常用的信号有矩形脉冲、三角形 脉冲、冲击函数、指数函数、阶跃函数等 性质包括：线性、时移、频移、微分、积 分、卷积等等 信号的物理实现：电流、电压、场强等

如果要完整的表述一个随机变量的统计特性，就 必须知道这个随机变量的分布函数或概率密度函 数。但是，在许多实际问题中，往往并不关心随 机变量的概率分布，而只关心它的某些特征。例 如，随机变量的数学期望（或简称均值），它能 够反映随机变量取值的集中位置；随机变量的方 差，它能够反映随机变量取值的集中程度；两个 随机变量的相关系数，它能够反映这两个随机变 量之间的相关程度等等。这些表述随机变量“某 些特征”的数，就称之为随机变量的数字特征。
30
2015/11/14
2. 随机变量的分布函数 对于随机试验仅知道它可能出现什么样的 随机事件并不重要，重要的是知道这些事 件出现的可能性有多大。引入随机变量后， 我们不仅关心取什么数为值，更重要的是 知道它取某些数值的可能性大小，也就是 说，要关心它以多大的概率取某些数为值。

31
2015/11/14
18

从理论上讲，除了极个别的信号外，信号 的频谱都是分布得无穷宽的。实际上，一 般信号虽然频谱很宽，但绝大部分使用信 号的主要能量或功率都是集中在某一个不 太宽的频率范围以内的，因此通常根据信 号能量或功率集中的情况，恰当的定义信 号的带宽。常用的定义有以下三种：
2015/11/14
19
⑴根据占总能量或总功率的百分比定义带 宽 ⑵根据能量谱或功率谱从最大值下降3dB处 所对应的频率间隔定义带宽 ⑶等效矩形带宽
2

⑵对于周期性功率信号
1 P T0

T0 2 T0 2

f (t )dt
2
n


Fn
2
周期性的信号，其能量趋向于无穷；f，信号（电流，电压， 电场强度等）
2015/11/14 15

帕塞瓦尔定理不但把一个信号能量或功率 的计算和频谱函数或频谱联系起来，而且 给出一个很重要的概念，即能量信号的总 能量等于频域内各个频率分量单独贡献出 来的能量的积分，而周期性功率信号的平 均功率等于各个频率分量单独贡献出来的 平均功率的和。
29
2015/11/14

这样，不管随机试验可能出现的结果是否 为实数，我们总可以在试验的样本空间上 定义一个映射，使试验可能出现的每一个 结果与唯一的实数对应起来，为此给出如 下定义：一个随机试验，设是其样本空间， 如果对每一个，有唯一的实数与之对应， 我们就得到了一个定义在上的实值函数， 称为此试验的一个随机变量。
p (t ) dt
时间谱；时域；傅里叶变换后得到频域（谱）；能量频谱密 度的模方即为能量谱密度；能量谱密度与T的比值为功率谱密 度（功率谱密度不是功率频谱密度的模方！）
2015/11/14 14
2. 帕塞瓦尔定理

⑴对于能量信号
E



1 f (t )dt 2
2



F ( ) d

2015/11/14
13
2.2.3 信号的能量谱与功率谱
1. 功率和能量的一般计算公式 前面讨论了周期信号和非周期信号的时域 和频域的关系。时间信号的另一个重要特 性是能量或功率随频率分布的关系，即能 量谱密度或功率谱密度。

E

T 2
T 2
p (t ) dt
1 P T

T 2
T 2
2015/11/14
28
2.3.2 随机变量与概率分布
随机变量

在许多实际问题中，随机试验的结果常常是一 些数，例如，试验“记录某电话交换台在1分 钟内所接到电话呼叫次数”，该试验可能出现 的结果是一整数；又如，试验“记录某工厂生 产的灯泡的使用寿命”，该试验可能出现的每 个结果是一非负实数。有些随机试验，其试验 的结果虽然不是数，但总可以设法使其与唯一 的实数对应起来，例如，掷一硬币出现正面反 面的随机试验，规定数值1表示出现反面，数 值0表示出现正面。

2015/11/14 7
2.2信号频谱分析概述

我们知道，信号可以分为确知信号和随机 信号。对于确知信号，频谱分析是研究它 的有效工具；对于随机信号，则要用统计 的方法来分析。本节将主要介绍确知信号 的频谱分析方法。
频谱分析的物理意义（单色平面波；）和数学分析上的便利 性（线性系统的本征函数；微分处理很简便）
2015/11/14
25

但是，自然界中还存在着与决定性现象有 着本质区别的现象。例如，抛一枚硬币， 假定其不能直立，则可能正面朝上，也可 能反面朝上；某地区在将来某一时刻可能 下雨，也可能不下雨；向一目标进行射击 可能击中，也可能击不中目标等等。这些 在一定条件下可能发生也可能不发生的现 象称为随机现象
2015/11/14
16
3. 能量谱密度和功率谱密度

设能量以E表示，功率以P表示，如果在频 域内有:
1 E 2 P 1 2



E ( )d P( )d



E ( )df P( )df







式中 2f ，则称E ( ) 为能量谱密度函数， P ( ) 而称 为功率谱密度函数。
24
2015/11/14
2.3.1 随机事件与概率

事件和概率 自然界和人类社会中有一类现象，我们可以预言 它在一定条件下是否会出现。例如，重物让它自 由下落必然是垂直下落。纯水在一个标准大气压 下加热到100℃必然会沸腾。这种在一定条件下必 然会发生的事件称为必然时间。反之，在一定条 件下必然不会发生的事件称为不可能事件。
17
2015/11/14
Байду номын сангаас
4. 信号带宽

几乎所有实际的信号，其能量或功率的主 要部分往往集中在一定的频率范围之内， 超出此范围的成分将大大减小。这个频率 范围通常用信号的带宽来描述。信号带宽 是由信号能量谱密度或功率谱密度在频域 的分布规律确定的，信号带宽的符号用B表 示，单位为Hz。
2015/11/14

2015/11/14 5
图2.1 系统示意图
输入信号 输出 系 统
x(t )
相关知识：
y(t )
线性系统；线性变换；线性代数；特征值；特征向量；基 二端网络；
线性电路的响应；
线性非齐次方程的解；
6
2015/11/14
2.1.2系统响应
⑴线性系统与非线性系统 一个系统如果是线性的，那么叠加原理一 定适用。对于线性系统而言，一个激励的 存在并不影响另一个激励的响应。 ⑵时不变与时变系统 时不变系统也称恒参系统，时变系统也称 变参（随参）系统。
2015/11/14
4
信号与系统
在通信过程中，信号的变换和传输是由 系统完成的。系统是指包括有若干元件 或若干部件的设备。系统有大有小，大 到由很多部件组成的完整系统，小到由 具体几个电路组成的部件。信号在系统 中的变换和传输可用图2.1表示，图中假 设输入信号为x(t)，通过系统后得到的输 出响应为y(t)。从数学的观点来看， y(t) 和x(t)之间存在着如下的函数关系： y(t)=f[x(t)]
第 2 章
信号与噪声分析
2.1 通信常用信号和系统响应 2.2 信号频谱分析概述 2.3 随机变量的统计特性
返回主目录
2015/11/14 1

通信过程是有用信号通过通信系统的过程， 且在通信系统各点常常伴随有噪声的加入 及此加入噪声在系统中的传输。由此看来， 分析与研究通信系统，总离不开对信号和 噪声的分析。实际的信号通常是随机的， 加之通信系统中普遍存在的噪声都是随机 的，所以对随机信号的分析是非常重要的。
2015/11/14
3
2.1 通信常用信号和系统响应




2.1.1常用信号 由语音、图像、数码等形成的电信号，其形式 可以是多种多样的，从不同的角度进行分类可 以得出各种不同的名称。但是从信号数学分析 的角度来说，通常采用下面的几种分类。 ⑴数字信号与模拟信号 ⑵确知信号与随机信号 ⑶周期信号与非周期信号 ⑷能量信号与功率信号
n 1
2015/11/14
10

⑶指数函数表示式
f (t )
1 Fn T0
jn0t F e n
n
T0 2 T0 2


f (t )e
jn0t
dt
2015/11/14
11
2.2.2 信号的傅立叶变换

f(t)的傅立叶（Fourier）变换式

它把一个时间域内的函数变换为频率域内的函 数。 1 j t
2015/11/14
21
2. 自相关函数

如果两个信号的信号完全相同，此时互 相关函数就变成自相关函数
R( )



f (t ) f (t )dt
3. 归一化相关函数和相关系数 归一化自相关函数定义为 R ( )

11
R11 (0)
R12 ( ) R11 (0) R22 (0)
设 X 是一个随机变量， x 是任一实数。定义 随机变量的分布函数 F(x)是X的取值小于或 等于x的概率，即 F ( x) P( X x) （2.3-11） 从定义可知，随机变量X的分布函数F(x)是 在整个实数轴上定义的。F(x)在x处的函数 值表示随机变量X在(-∞,x]上取值的概率。
2015/11/14
2


从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随 机过程。因此，统计数学中有关随机过程的理论 可以运用到随机信号和噪声的分析中来。 本章将在先修课程的基础上，首先介绍通信系统 常用信号并对确知信号的分析作必要的复习巩固， 然后在复习概率论基本概念的基础上，讨论随机 信号和噪声的数学模型——随机过程。
R( ) P( )

通常称为维纳－辛钦（Wiener-Khintchine）关系。
2015/11/14
23
2.3 随机变量的统计特性


实际通信系统中由信源发出的信息是随机的， 或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也 都是随机的，例如语音信号、数字信号等，这 种信号称为随机信号。 由于随机信号和噪声在波形上的随机性，不可 能用一个或几个时间函数准确的描述。但这也 不是说随机波形就毫无规律。人们经过大量实 践发现单个随机信号的确存在随意性，但同类 大量的随机信号却存在着某种完全确定的规律 性，这种规律性通常称为统计规律性，可以用 概率统计的方法来研究。

2015/11/14
20
2.2.4 波形的相关
波形的相关是研究波形间的相关程度，包 括互相关和自相关，波形间相关的程度用 相关函数、归一化相关函数和相关系数来 表示。而波形间相关程度的相关函数又与 功率谱密度或能量谱密度有联系。 1. 互相关函数

R12 ( )



f1 (t ) f 2 (t )dt