高中数学第一章导数及其应用第2课时曲线上一点处的切线瞬时速度教案苏教版选修2_2

曲线上一点处的切线、瞬时速度

【教学目标】

1. 曲线在某一点处的切线的定义；

2. 求曲线在一点处切线的斜率；

3. 理解瞬时速度和瞬时加速度的实际背景，会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

【教学难点、重点】

1. 曲线上一点处切线的斜率；

2. 瞬时速度和瞬时加速度

【教学过程】

一、复习引入

1. 什么叫做平均变化率？

2. 曲线上两点连线（割线）的斜率与函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率有什么关系？

3. 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

观察下面)(x f y 的图象，设Q 为曲线C 上除P 点外的另一点，这时PQ 称为曲线的割线.随着点Q 沿曲线C 向点P 运动时，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C ，当Q 无限逼近点P 时，PQ 最终成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也就称为曲线在点P 处的切线，所以我们可以用P 点处的切线的斜率来刻画曲线在点P 处的变化趋势.

二、新课讲解

（一）曲线在一点处的切线

1. 曲线上一点处的切线斜率

不妨设Q(x 1，f(x 1))，P(x 0，f(x 0))，

则割线PQ 的斜率为0

101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x

x f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点P 处切线斜

率，即当△x 无限趋近于0时，x

x f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点P 处切线斜率. （割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”思想的数量化）

2. 求曲线C 上一点),(y x P 处的切线斜率的步骤：

（1）求平均变化率x

x f x x f x f ∆-∆+=∆∆)()(； （2）当x ∆趋近于0（0→∆x ）时，x

f ∆∆所趋近的值，即为P 点处的切线的斜率. 例1. 已知2)(x x f =，求曲线)(x f y =在2=x 处的切线的斜率.

变式1：曲线2

x y =上哪些点处的切线平行于直线54-=x y ？

变式2：曲线2x y =过点（1,0）的切线斜率是

例2. 求曲线x y 1=在21=x 处的切线的方程. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

1、先利用切线斜率的定义求出切线的斜率；

2、然后利用点斜式求切线方程.

课堂练习： 书 P11 1—4

（二）瞬时速度与瞬时加速度

1. 平均速度：

（1）平均速度反映了物体在某一时间段内运动的快慢程度；

（2）v =t

t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()( 2. 瞬时速度：一般地，设物体的运动规律是)(t s s =，则物体在t 到t t ∆+这段时间内的平均速度为t

t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(。如果t ∆无限趋近于0时，t s ∆∆无限趋近于一个常数,那这个常数称为物体在时刻t 的瞬时速度（位移对于时间的瞬时变化率）. 求瞬时速度的步骤：

（1）求平均速度

t

t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(； （2）当t ∆无限趋近于0时, t s ∆∆所趋近的值. 3. 瞬时加速度：一般地，运动物体速度的平均变化率为t

t v t t v ∆-∆+)()(，如果当t ∆无限趋近于0时, t

t v t t v ∆-∆+)()(无限趋近于一个常数，那这个常数称为物体在时刻t 的瞬时加速度（速度对于时间的瞬时变化率）.

求瞬时加速度的步骤：

（1）求速度的平均变化率为t

t v t t v ∆-∆+)()(； （2）求当t ∆无限趋近于0时的值.

例3. 质点沿x 轴运动，设距离为x (m)，时间为t (s)，2510t t x +=，则当t t t t ∆+≤≤00时，质点的平均速度为 ；当0t t =时,瞬时速度为 ；当

t t t t ∆+≤≤00时，

质点的平均加速度为 ；当0t t =时,瞬时加速度为 . 例4. 以初速度0v )0(0>v 垂直上抛的物体，t 秒时的高度202

1)(gt t v t S -

=，求物体在时刻0t 处的瞬时速度.

例 5. 一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设)(s t 时的速度为3)(2+=t t V ，求)(0s t t =时轿车的瞬时加速度.

练习：课本P12 1，2

三、课内练习

1、已知曲线)(x f y =在点),1(0y P 处的切线方程为03=-+y x ，则0y =

2、已知22)()(x x x x f x x f ∆+⋅∆=-∆+，则曲线)(x f y =在点P （1，f （1））处切线的斜率为

3、若33)()()(x x x x f x x f +∆+-=-∆+，则曲线)(x f y =在点P （2，-8）处的切线方程

为

4、曲线C:2ax y =在点P （1，a ）处的切线的斜率是3，则曲线C 在点P 处的切线方程

是________________

5、火箭发射时位移t t t t s 1682.0)(23++=，那么第2s 末的瞬时速度为 ，第2s 末的瞬时加速度为

5、火箭发射时位移t t t t s 1682.0)(23++=，那么第2s 末的瞬时速度为 ，第2s 末的瞬时加速度为

6、已知曲线2x y -=在点P 处的切线过点（1，3），则切点P 的坐标是 或

7、已知曲线x x y 33-=在点P 处的切线l 过点)16,0(，求l 的方程.

8、自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=

221gt ， (1)求t=t 0s 时的瞬时速度；

(2)求t=3s 时的瞬时速度；

(3)求t=3s 时的瞬时加速度.