高等代数选讲第三讲 线性空间解析

则数组
a1, a2 ,
, an ，就称为 在基1, 2 ,
下的坐标（coordinate），记为 (a1 , a2 ,, an ).
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有时也形式地记作 ( 1 , 2 ,
a1 a 2 , n ) an
注意
的坐标 (a1, a2 , , an ) 是被向量 和基 1, 2 , , n 唯一确定的．即向量 在基 1 , 2 , , n 下的坐标唯一的. 但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
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任取V中 n＋1个向量 1 , 2 ,
由ⅱ)，向量组 1 , 2 ,
, n , n 1 ，
, n , n1 可用向量组
1 , 2 ,, n 线性表出.
若 1 , 2 ,
, n , n1是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．
∴V中任意n＋1个向量 1, 2 , , n , n1 是线性相关的． 故，V是n 维的，1 , 2 ,
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组 基．
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注意
此时， f ( x) a0 a1x
an1x n1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
( f (a), f (a),
f ( n1) (a) , ) (n 1)!
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则称 V 是无限维（infinite dimension）线性空间． 例1 维的. 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无限
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，
因为对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的
1，x，x2，…，xn－1
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2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是 任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . 注意 零空间的维数定义为0.
1 , 2 ,...,m , , 线性相关， 证明：若向量组 1 , 2 ,..., m , 与 1 , 2 ,..., m , 不等价，则 与 中有且仅有一个可由向量组
1 , 2 ,..., m线性表示。
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三、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
∴ 1，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n是n维的.
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注意
此时， f ( x) a0 a1x
an1x n1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0 , a1,
, an1 )
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（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1
也为P[x]n的一组基．
称为向量组 1 , 2 ,
kr r
, r 的一个线性组合．
1, 2 , （ 2）
使
k11 k2 2
, r , V，若存在 k1 , k2 ,
kr r
, kr P
则称向量 可经向量组 1 , 2 ,
, r 线性表出；
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, s 中每一向量皆可经向量组 1, 2 , , r 线性表出，则称向量组 1, 2 , , s
, s 线性表出，则
rs ;
, r与 1, 2 , , s 为两线性无关的
r s.
, r
线性无关，但向量组
（3）若向量组1, 2 ,
1, 2 ,
, r , 线性相关，则
可被向量组
1, 2 , , r 线性表出，且表法是唯一的．
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例3 设向量组 1 , 2 ,..., m 线性无关，而向量组
向量
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3、线性空间的基与维数的确定 定理 若线性空间V中的向量组 1 , 2 , , n 满足
(ⅰ) 1 , 2 ,
, n 线性无关； , n 线性表出
,
(ⅱ) V , 可经 1 , 2 , 则V为n 维线性空间，1 , 2 ,
, n 为V的一组基．
证：∵ 1 , 2 ,, n 线性无关， ∴ V的维数至少为 n ．
第三讲 线性空间 一、线性空间的定义
二、向量的线性相关性
三、线性空间的维数、基与坐标
1
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中
定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
(5) 1
(6)

k ( l ) ( kl )
数量乘法与加法满足下列两条规则： (7)( k l ) k l (8)k ( ) k k
4
欧氏几何的公理 公理1：任两点必可用直线相连. 公理2：直线可以任意延长. 公理3：可以以任意一点为圆心,任意长度为半径画圆. 公理4：所有直角都相同. 公里5：过线外一点,恰有一条直线与已知直线平行.
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（ 2） 基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1 , 2 ,
（3）坐标 设
, n ，称为 V 的一组基（basis）；
1, 2 , , n 为线性空间 V 的一组基， V ,
an n , a1 , a2 , , an P
, n
若 a1 1 a2 2
, n 就是V的一组基．
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例2
3 维几何空间R3＝{( x, y, z ) x, y, z R}
1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1) 是R3的一组基；
1 (1,1,1), 2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西
—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
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二、向量的线性相关性
设V 是数域 P 上的一个线性空间， （1）1 , 2 ,
, r V (r 1), k1, k2 , , kr P, 和式
k11 k2 2
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例3 （1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基． 证: 首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．
f ( x) a0 a1x 其次，
an1x n1 P[ x]n
f ( x) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
则称向量组 1 , 2 ,
, r 为线性相关（dependent）； , r 不是线性相关的，即
（4）如果向量组 1 , 2 ,
k11 k2 2
只有在 k1 k2 则称 1 , 2 ,
kr r 0
kr 0 时才成立，
, r 为线性无关（independent） ．
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k P , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k .
如果加法和数量乘
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法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间.
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加法满足下列四条规则：
, , V
(1)
一般地，向量空间
P n {(a1 , a2 , , an ) ai P, i 1,2,
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0),
, n} 为n维的， , n (0, ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
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注意 1. n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基． 2. 任意两组基向量是等价的．
证: 1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f ( x) P[ x]n ，按泰勒展开公式有
f ( x) f (a) f (a)( x a)
f ( n1) (a) ( x a) n1 (n 1)!
即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.

(2) ( )
( )百度文库
(3) 在V中有一个元素0，对 V , 有
0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素） (4) 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
0 （β 称为 的负元素）
3
数量乘法满足下列两条规则 :
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注意
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为
线性运算． 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
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例1 例2
Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添
可经向量组
若向量组 1, 2 ,
1, 2 , , r 线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价(equivalent)的．
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（3）1 , 2 ,
, r V ，若存在不全为零的数
k1, k2 ,
, kr P ，使得 k11 k2 2
kr r 0
上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
P[ x ]n { f ( x ) an1 x n1 a1 x a0 an1 , , a1 , a0 P }
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问题Ⅰ （基的问题）
如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
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2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 单个向量 向量组 1 , 2 ,
0.
线性无关 0
, r
线性相关
1 , 2 ,
, r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
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（2）若向量组 1, 2 , , r 线性无关，且可被 向量组 1 , 2 , 若 1 , 2 , 等价向量组，则