微积分(1)中常见不定积分公式的计算

不定积分的计算
一、
常见不定积分公式的计算
22221()1
(1)ln .(0)(2)arcsin 1(3)arctan 1111(4)ln (0)22sin (cos )
(5)tan cos cos dx d ax b ax b C a ax b a ax b a
x d x C a dx x C x a a a dx x a
dx C a x a a x a x a a x a
x d x xdx dx x x +==++≠++⎛⎫ ⎪
==+=++-⎛⎫=-=+≠ ⎪
--++⎝⎭==-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；
；tan ln cos cos (sin )
(6)cot ln sin sin sin sec (sec tan )(sec tan )
(7)sec ln sec tan sec tan sec tan (8)csc ln csc cot (9)sec ln sec tan x a u
x C x d x xdx dx x C x x x x x d x x xdx dx x x C x x x x xdx x x C udu u u C ==-+===+++===++++=-++=
=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
；
；
；
；sec sin 2222tan 23
ln (10)sec ln sec tan ln 1cos 2(11)cos cos 2
11sin 2arcsin 222(12)sec sec tan 2
x a u
x a t
x a u x C udu u u C x C t
a t a tdt a dt a a x t C C a a a udu u u ===+=
=++=+
+=
⋅=⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰
⎰；；
；(
)()(
)2sec 222322ln sec tan arcsin 2(13)tan sec sec sec 1sec tan ln sec tan ln .222
x a u
u u C
a x C a
a u udu a u u du
a a u u u u C x C =+++=++=⋅=-=-++=-+⎰⎰；
32
233212sec sec tan sec tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec tan ln sec tan sec .11
sec sec tan ln sec tan .22
sec d .()(1)sec d ln sec tan sec n n xdx xd x x x x xdx
x x x x dx x x x x xdx xdx x x x x C I x x n I x x x x C I x +==-=--=++-=
+++=∈==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 【】：因此
【】：计算，注例2222222222d tan .(2)3sec d(tan )sec tan (2)sec tan d sec tan (2)sec d (2)sec d sec tan (2)(2).
12
sec tan .11
n n n n n n n n n n n n n x x C n I x x x x n x x x x x n x x n x x x x n I n I n I x x I n n ---------=+≥==--⋅=--+-=--+--=
+--⎰⎰⎰⎰⎰当时，
因此
二、
常见的“凑微分”公式：
2222222
1d (1)d d()(2)e d d(e )(3)d(ln )111
(4)d d()d()d()222
(5)sin d d(cos )(6)cos d d(sin )(7)sec d d(tan )(8)sec tan d d(sec )d (9)d(arctan )(10)d(arcsin 1x x x
x ax b x x a x x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x x x
=
+====±=--=-=====+；；；；
；；；
；
；
222).
d x x x =====-，【】：实际上，所谓常见的“凑微分”公式就是简单的积分公式.注
三、
不定积分中常见的积分变换
2222.2(1)(2)sin cos (3)tan sec (4)sec sec tan 2(5)ln(1)1
(6)u b u u x dx du a a x a u dx a udu x a u dx udu x a u dx a u udu udu
u x u dx u -===========-=
-在计算不定积分时，有一个宗旨就是“有根号去根号”：
，则：；
，则：；，则：；，则：；
，则：，
常见的积分变换2222
22().()
11
(7).
du b ad bc u u x dx du a cu a cu x dx du u u
--===--==-，则：倒数变换：令，则：【】：其实，换元法就是将被积函数中不熟悉的、复杂的转化为熟悉的和简单的再进行计算；一个基本原则是“有根号去根号”，将反三角函数通过变量代换化为三角函数等.积累一些常见函数的不定积分及不定积分的计算方法，对于不定积分的学习会有很大的帮助.
注 四、 典型例题选讲
【例题1】：e cos d e sin d .ax ax I bx x J bx x ==⎰⎰
计算和
()2222222211e cos cos (e )e cos e sin 11e cos sin (e )e cos e sin e cos .1e cos e cos sin .1e sin e sin cos ax ax
ax ax ax ax
ax ax ax ax
ax ax ax
b I bxdx bxd bx bxdx a a a b b b bx bxd bx bx bxdx a a a a a
bxdx a bx b bx C a b
bxdx a bx b b a b
==
=+=+=+-=+++=-+⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰【】：因此同样方法一()()()()()()()()()()()22
22
2222
.e cos sin e e d 1e cos sin ()1e cos sin sin cos .11e cos sin e sin cos .ax a ib x a ib x
ax
ax
ax
ax x C bx i bx x C C a ib a ib
bx i bx a ib C a b a bx b bx i a bx b bx C a b I a bx b bx C J a bx b bx C a b a b ++++=+=+++=+-++=++-++=++=-+++⎰【】：因此，；方法二
【例题2】
222
22
1arctan arctan 1
arctan ()(1)1arctan 1arctan 1ln ln(1)ln .221x dx x x I xd dx x x x x x x x x x x x x C C x x x
⎛⎫=-=-+=-+- ⎪++⎝⎭
=-+-++=-+++⎰⎰⎰
【例题3】
22.
arcsin(21).01sin 2sin cos .2sin cos 2.
sin cos C I x C x x u dx u udu u udu I u C C u u ==+=
====-+<<====+=+⎰【】：【【】：由于，可设，则：方法一方法二
方法三2222
2222
12.1(1)
122arctan .(1)u x u udu
x dx u u u udu I u u C C u u =
⋅===+++=⋅⋅=+=++⎰【】：由于
，则，方法四
【例题4
2222
322222
222
222222
1111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)122
11ln(1)ln (1)2(1)4111ln(1)ln ln (1).2214
x I x dx x d x d x x x x xdx x x x x x x x x C x x ⎛⎫⎛⎫=++=-++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=-+++++=-++++++⎰⎰⎰⎰。