11-3.高数教材(下)-11章第3讲(格林公式及其应用(1))

其中L是圆周x2 y2 a2 (a 0)，取逆时针方向.
解
P 5x4 y 2y , Q x5 4x
Q P 5x4 4 5x4 2 2 x y
由格林公式
I (5x4 y 2 y)dx (x5 4x)dy 2 dxdy 2 a2 L D
例11.12
y
O
x
9
一、格林公式及其应用
例11.14
解 添加辅助线OA，构造成封闭曲线.
y
P ex cos y y 1, Q x ex sin y
y 1 x2
Q P 1 ex sin y ex sin y 1 2 x y
B（-1,0） O
A（1,0）x
I Pdx Qdy ( )Pdx Qdy
L
L BA BA
2 xdx
a
1 x
b
a
P x,2 x P x,1 x
dx
y L2 : y 2 x
D
O
aL1 :
y 1x
b
x
L Pdx L1 P x, ydx L2 P x, ydx
b a
P
x,1
x
dx
a b
P
x,2
x
dx
所以
L
Pdx
D
P y
d
4
一、格林公式及其应用
Qd
d
在D上有一阶连续偏导数，则有
L
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
d
其中L是D的取正向的整个边界曲线.
3
一、格林公式及其应用
证 (1) 假定区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点不
超过两个，即区域D既是X 型又是Y 型.
Pd
b
dx
2 x P x, y dy
D y
a 1 x y
b
P x, y
dy
2
y
Q
x,
y
dx
d Q x, y 2 y dy
D x
c
1 y
x
c
1 y
d
c
Q 2 y, y Q 1 y, y
dy
y
d
L1 x 1 y
D
L Qdy L1 Q x, ydy L2 Q x, ydy
c
O
c d
Q
1
y
,
y
dy
d c
Q
2
y
,
y
dy
x
L2
2
y
x
d
c
Q 2 y, y Q 1 y, y
接
2 dxdy , BA : y 0,dy 0,
上
D
(ex cos y y 1)dx (x ex sin y)dy BA
1 (ex 1)dx e e1+2 1
I e e1 2.
注：用格林公式，如果不是封闭曲线要添加辅助线， 一般是有向的平行于坐标轴的直线或折线.
y
(A) I1 (B) I2 (C) I3 (D) I4
第11章总复习题(1)
解
P y y3 ，Q 2x x3 ，
6
3
Q x
P y
2
x2
1
y2 2
1
x2
y2 2
Ii
Di
Q
x
P y
dxdy
Di
1
x
2
y2 2
dxdy
7
一、格林公式及其应用
设L1：x2 y2 1，L2：x2 y2 2，L3：x2 2 y2 2，L4：2x2 y2 2为四条逆时针 方向的平面曲线，则max{I1，I2，I3，I4} ______,
sin
2x
2( x 2
1) sin
x cos
x
dx
= π sin 2x x2 sin 2x sin 2x dx π x2 sin 2xdx 1 π x2d cos 2x
接 上
I1
D1
1
x2
y2 2
dxdy
5 ，
8
I2
D2
1
x2
y2 2
dxdy
1 ，
2
I3
D3
1
x2
y2 2
dxdy
32 8
，
I4
D4
1
x2
y2 2
dxdy
2
2
I4 I1 I3 I2
D
8
一、格林公式及其应用
例2
计算曲线积分I (5x4 y 2 y)dx (x5 4x)dy， L
dy
所以
L
Qdy
D
Qdቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
.
5
一、格林公式及其应用
(2) 若区域D不满足上述条件，则可通过
加辅助线将其分割为有限个上述形式的
y
区域，如图所示
D
Q x
P y
d
n
PdxQd y
k 1 Dk
o
(Dk 表示 Dk的正向边界)
LPdxQd y
D2
D1 L
Dn
x
面积公式
格林公式中，取P
y，Q
x，
1 2
y 1 x2
B（-1,0） O
A（1,0）x
12
一、格林公式及其应用
例5
计算曲线积分 sin 2xdx 2(x2 1) ydy，其中L 是曲线y sin x 上 L
从点(0，0)到点(π，0)的一段.
同步习题11.2，提高1 2讲例题
解
法1
sin 2xdx 2(x2 1) ydy
L
π 0
例
3
计算
L
2xy 3y x2 y2
dx
x2 x2
5x y2
dy，其中L为圆周x2
y2
a2按逆时针方向绕行.
例11.12拓展
解
2xy 3y dx x2 5x dy
L x2 y2
x2 y2
此时不能用格林公式 可以用格林公式
1 a2
2xy 3ydx
L
x2 5x
dy
1 a2
高等数学（下册）（慕课版）
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三讲 格林公式及其应用(1)
主讲教师 | 王玮 副教授
1
本讲内容
01 格林公式及其应用
一、格林公式及其应用
y D
y
D
O
x
单连通（无洞）
O
x
复连通（有洞）
定理11.3
设平面有界闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P x, y,Q x, y
L
xdy
ydx
6
一、格林公式及其应用
例1
设L1：x2 y2 1，L2：x2 y2 2，L3：x2 2 y2 2，L4：2x2 y2 2为四条逆时针
方向的平面曲线，则max{I1，I2，I3，I4} ______,
其中
Ii
Li
y
y3 6
dx
2x
x3 3
dy，i
1, 2,3, 4.
x2 y2 a2
2 x
5
2x
3dxdy
1
2 dxdy
a2 x2 y2 a2
1 a2
2 a2
2
10
一、格林公式及其应用
例4
计算I (ex cos y y 1)dx (x ex sin y)dy，其中L是上半圆周x2 y2 1 L
( y 0)，取逆时针方向，由A(1, 0)到点B(1, 0).
2 dxdy (ex cos y y 1)dx (x ex sin y)dy BA D 11
一、格林公式及其应用
计算I (ex cos y y 1)dx (x ex sin y)dy，其中L是上半圆周x2 y2 1 L
( y 0)，取逆时针方向，由A(1, 0) 到点B(1, 0).