1.3.1单调性与最大(小)值

I x1 x2
x
(3)．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增 函数的定义吗?
类比增函数的研究方法定义减函数.
y
y
wenku.baidu.com
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
xO
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如如果果对对于于属属于于定定义义域域AA内内某某个个区区间间II上上 的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值xx11,,xx22，，
2、判断函数的单调性或求单调区间
（1）、图像法： 上升为增，下降为减
例题1：根据图像指出y f (x) 单调增区间和单调减区间
单调增区间是： [2,1] ,[3,5]
单调减区间是： [5, 2] ,[1,3]
1、函数 y=x2 -2|x|-3 的单调递增区间
[-1,0],[1,+) ;
y
y
这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单 调性的直观，描述性的认识．
(2)．探究规律，理性认识
y
区间I上从左到右图象逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
y
N
f(x2)
M
f(x1) O
1、函数单调性的定义 2、判断函数单调性或求单调区间的方法： （1）图象法 画出函数图象， 再观察图象， 上升为增，下降为减
作业： 优化方案 P28例2和跟踪训练2，（1），（2） P30当堂检测2、3、4
（第二教时）
一、复习回顾：
1、函数单调性的定义
在区间I上任取x1、x2，
当x1 x1时，都有f (x1) f (x2 ) f (x)在区间I上为增函数； 当x1 x1时，都有f (x1) f (x2 ) f (x)在区间I上为减函数；
x2 x2
2x 2x
3, 3,
x x
≥ 0, 0.
-1 1
o
x
-2
2、 求函数 y=|x+1|－|1－x| 的单调区间.
解:由 y = | x + 1 |－|1－x |,知 y
y
22x,,
x 1, 1 ≤ x ≤ 1,
2
2, x 1.
-1
o1
x
-2
故函数的增区间为[－1, 1].
小结
y x2 +2的单调减区间是__[0_,____). （2）y x2 2的单调增区间是[0, ).
y x2 2的单调减区间是(,0].
y
2 1 -2 -1 O -1 -2
y=-x2+2
12 x
思考1：函数 y (x 1)2 2 的单调区间呢？ y （x+1）2 2的单调增区间是[1,；)单调增区间是(,1。]
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是 增函数， I称为f(x)的单调 增 区间.
单调区间
x1
x2
x
>
减
减
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数； ( )
判断2：函数 f (x)在区间[1，2]上满足 f (1)＜f(2)，则函数
f (x)在[1，2]上是增函数.( )
y
y
f(2)
y x2
o
x
f(1)
O 1 2x
判断3：因为函数f (x) 1 在区间(, 0)和(0, )上 x
都是减函数，所以在(, 0) (0, )上是减函数（ ）
AB
通过判断题，强调三点: 1、确定单调性一定要相对于某个区间而言， 而且该区间一定要在定义域内。如y=x2只可 说在（0，+∞）上为增，在R上无单调性。 2、在定义中，x1、x2是任意值，不是特殊值， 且同属于一个单调区间，如判断2。 3、单调区间不能随便合并，两个区间之间 加“，”或写“和”。如判断3。
y
y y=x2
y
O1
-1
1
-1
x
1
O1 x
1
O1 x
从左至右图象呈局__部__上__升__或__下__降__趋势.
在定义域内的某个区间上
图像从左到右逐渐上升
自变量x增大, 函数值y也增大
图像从左到右逐渐下降
自变量x增大,函数值y反而减小
问题：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、 减函数?
如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越 来越大，我们说函数在该区间上为增函数； 如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来 越小，我们说函数在该区间上为减函数．
（第一教时）
1、 函数的单调性的定义
在生活中，我们关心很多数据的变化规律， 如水位高低、燃油价格、股票价格等。了 解这些数据的变化规律，对我们的生活是 很有帮助的．从函数观点看，其实就是研 究随着自变量的变化，函数值是变大还是 变小的问题。既函数的单调性问题。对于 自变量变化时，函数值是变大还是变小， 在初中，同学们就有了一定的认识，但是 没有严格的定义，今天我们的任务首先就 是建立函数单调性的严格定义.
二、评讲作业： 优化方案 P28例2和跟踪训练2，（1），（2） P30当堂检测2、3、4
三、讲授新课
（2）、直接法
①掌握一次函数、二次函数、反比例函数的 单调性
例1. 指出下列函数的单调区间：
(1)y 7x2
(2)y 2x4
y
解：(1)y 7x 2的单调增区间是 (,)
2
无单调减区间
（1）．借助图象，直观感知
观察第一组函数图象，指出其变化趋势.
y
y
y=x+1
1
1
O1 x
O1 x
y
1
O1 x
从左至右图象呈_上__升___趋势.
观察第二组函数图象，指出其变化趋势.
y
y=-x+1
1
O1 x
y
1
O1 x
y
1
O1 x
从左至右图象呈_下__降___趋势.
观察第三组函数图象，指出其变化趋势.
2、判断函数单调性或求单调区间的方法： （1）图象法
画出函数图象， 再观察图象， 上升为增，下降为减
强调三点:
1、确定单调性一定要相对于某个区间而言，而且该区 间一定要在定义域内。
2、在定义中，x1、x2是任意值，不是特殊值，且同属于 一个单调区间。
3、单调区间不能随便合并，两个区间之间不能用并集 符号，应加“，”或写“和”。
(2)y 2x 4的单调减区间是 (,)
y2 o x
7
4
无单调增区间
o2
x
归纳：函数 y kx b(k 0) 的单调性
y kx b K>0
(,)
K<0
(,)
例2.指出下列函数的单调区间：
解： (1) y x2 2. (2) y x2 2.
（1） y x2 +2的单调增区间是_(___,_0_]_;