第三章第节微分方程模型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
时铅球出手，在区间 (0, t0 )上积分（2-3）可得
12
x(t0)m Ft0cosC1
y(t0)m Ft0sing0tC2
其中 C1,C2分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。
由假设1，有 C1v0,C20
于是我们得到
x(t0)m Ft0cosv0
y(t0)m Ft0sing0t
由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度
由 dx 0，得最佳出手角度为
d
* arcsin v
2(v2 gh)
来自百度文库投掷的最远距离
x* v v2 2gh g
设h=1.5米，v=10米/秒 ，则
*41.4o x* 11.4米
10
模型2——铅球投掷模型
下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。
关于铅球的投掷过程我们假设：
1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生
一个水平的初速度 v 0 。
2、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到
铅球出手有一段时间 t 0 。
3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球 上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手角
度 相同。
用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组 建铅球的投掷模型。
11
模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况， 因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过 程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。
设物体的质量为m，物体在t时刻相对于静止 位置的位移为x，即x＝x(t),
由阿基米德原理知，引起振动的浮力为：
x×3×3×1000g＝9000gx (N)
2
由牛顿第二定律得 md d22 xt90g0x0 (14)
其中g＝9.8m／s 2 。
方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型。
易得方程(1-4)的通解为 xc1cos9m 0g 0t0 c2sin9m 0g 0t0
v x ( t0 ) 2 y ( t0 ) 2(m F t0 co v 0 s ) 2 (m F t0 si n g 130 ) 2 t
(m F 2 2 g 2 2 m F g si)tn 0 v 2 0 2 m F t0 v 0 co( s 2 4 )
式中 t 0 是推铅球时力的作用时间。
于是周期为 T 2 2
9000g
m
解得 m9020g 0893(7k)g 3
二、液体的浓度稀释问题
问题：有两只桶内各装100加仑的盐水，其浓度为 0.5磅盐／加仑。现用管子将净水以2加仑／分钟的速 度输送到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管子 以2加仑／分钟的速度被输送到第二只桶内，再将混 合液搅拌均匀，然后用管子以1加仑／分钟的速度输 出，问在t时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？
所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为
1y0 2 t01 10 2 t0 5 50(0 1 100 5 tt0 0 )e5t（0磅盐／加仑） 6
§2 铅球掷远的数学模型
问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h，出
手角度为 （与地面的夹角），建立投掷距离与V、 h、 的关系式，并在V、h一定的条件下求最佳
在t时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学 定律知，铅球运动的两个微分方程是：
mx 0 my mg x(0) 0 y(0) h
x(0) vcos y(0) vsin 8
解之得
x vtcos
y
1 2
gt2
vtsin
h
所以铅球的运动轨迹为
y 2 v2c g2 ox s2 x ta n h (2 1 )
令y=0 ，铅球落地的距离为
x v g 2co ss i n (v g 2 2s2 i n 2 g h )1 2 v cos(2 2 )
它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速 度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球投 掷模型。
9
由（2-1），关系式（2-2）可表示为
x2g2v2co 2(shxta)n
解：设y1 y1(t)、
y2 y2(t)
分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量， 单位为磅，
4
第一只桶在t到t＋t 内盐的改变量为
y 1(t t)y 1(t) 0 2 ty 1 1(t)0 2 0 t
dy 1 dt
y1(t ) 50
y1 (0) 50
故y1
t
50e 50
第二只桶在t到t＋t 内盐的改变量
将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。
14
x v g 2co ss i n (v g 2 2s2 i n 2 g h )1 2 v cos(2 2 )
v (m F 2 2 g 2 2 m F g si) t0 n v 2 0 2 m F t0 v 0 cos( 2 4 )
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和 铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
m x(t)Fcos
m y ( t ) F si m n g ( 2 3 )
式中m为铅球的质量，F是对铅球的推力，为力的
方向既铅球的出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
y2(t t)y2(t)流 流 入出
y1(t)2t y2(t) 1t
100 10(0 21)t
5
ddyt2
1 50y1(t)
y2(t) 100t
y2(0) 50
将y1 50e5t0代入得：
dy2
t
e 50
y2 (t )
dt
100 t
y2(0) 50
解一阶线性微分方程得
t
y2y2(t) 12 5 5(1 0 05 0 t)e 050
出手角度和最远距离。
模型1——抛射模型
在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内 用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度 和投掷角度对铅球的影响。 假设： 1、铅球被看成一个质点。
2、铅球运动过程中的空气阻力不计。 7
3、投掷角和初速度是相互独立的。 4、设铅球的质量为m，
建立坐标系如图
•M(x, y)
第三章 微分方程模型
§1 微分方程的简单应用
一、物体在液面上的浮沉振动问题
问题：一个边长为3米的立方体浮于水面上， 已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉 浮振动的规律和质量。
问题的分析：设水的密度为1000kg／m 3 ，当
物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿 基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中 的那部分同体积的水的重量。
12
x(t0)m Ft0cosC1
y(t0)m Ft0sing0tC2
其中 C1,C2分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。
由假设1，有 C1v0,C20
于是我们得到
x(t0)m Ft0cosv0
y(t0)m Ft0sing0t
由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度
由 dx 0，得最佳出手角度为
d
* arcsin v
2(v2 gh)
来自百度文库投掷的最远距离
x* v v2 2gh g
设h=1.5米，v=10米/秒 ，则
*41.4o x* 11.4米
10
模型2——铅球投掷模型
下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。
关于铅球的投掷过程我们假设：
1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生
一个水平的初速度 v 0 。
2、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到
铅球出手有一段时间 t 0 。
3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球 上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手角
度 相同。
用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组 建铅球的投掷模型。
11
模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况， 因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过 程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。
设物体的质量为m，物体在t时刻相对于静止 位置的位移为x，即x＝x(t),
由阿基米德原理知，引起振动的浮力为：
x×3×3×1000g＝9000gx (N)
2
由牛顿第二定律得 md d22 xt90g0x0 (14)
其中g＝9.8m／s 2 。
方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型。
易得方程(1-4)的通解为 xc1cos9m 0g 0t0 c2sin9m 0g 0t0
v x ( t0 ) 2 y ( t0 ) 2(m F t0 co v 0 s ) 2 (m F t0 si n g 130 ) 2 t
(m F 2 2 g 2 2 m F g si)tn 0 v 2 0 2 m F t0 v 0 co( s 2 4 )
式中 t 0 是推铅球时力的作用时间。
于是周期为 T 2 2
9000g
m
解得 m9020g 0893(7k)g 3
二、液体的浓度稀释问题
问题：有两只桶内各装100加仑的盐水，其浓度为 0.5磅盐／加仑。现用管子将净水以2加仑／分钟的速 度输送到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管子 以2加仑／分钟的速度被输送到第二只桶内，再将混 合液搅拌均匀，然后用管子以1加仑／分钟的速度输 出，问在t时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？
所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为
1y0 2 t01 10 2 t0 5 50(0 1 100 5 tt0 0 )e5t（0磅盐／加仑） 6
§2 铅球掷远的数学模型
问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h，出
手角度为 （与地面的夹角），建立投掷距离与V、 h、 的关系式，并在V、h一定的条件下求最佳
在t时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学 定律知，铅球运动的两个微分方程是：
mx 0 my mg x(0) 0 y(0) h
x(0) vcos y(0) vsin 8
解之得
x vtcos
y
1 2
gt2
vtsin
h
所以铅球的运动轨迹为
y 2 v2c g2 ox s2 x ta n h (2 1 )
令y=0 ，铅球落地的距离为
x v g 2co ss i n (v g 2 2s2 i n 2 g h )1 2 v cos(2 2 )
它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速 度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球投 掷模型。
9
由（2-1），关系式（2-2）可表示为
x2g2v2co 2(shxta)n
解：设y1 y1(t)、
y2 y2(t)
分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量， 单位为磅，
4
第一只桶在t到t＋t 内盐的改变量为
y 1(t t)y 1(t) 0 2 ty 1 1(t)0 2 0 t
dy 1 dt
y1(t ) 50
y1 (0) 50
故y1
t
50e 50
第二只桶在t到t＋t 内盐的改变量
将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。
14
x v g 2co ss i n (v g 2 2s2 i n 2 g h )1 2 v cos(2 2 )
v (m F 2 2 g 2 2 m F g si) t0 n v 2 0 2 m F t0 v 0 cos( 2 4 )
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和 铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
m x(t)Fcos
m y ( t ) F si m n g ( 2 3 )
式中m为铅球的质量，F是对铅球的推力，为力的
方向既铅球的出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
y2(t t)y2(t)流 流 入出
y1(t)2t y2(t) 1t
100 10(0 21)t
5
ddyt2
1 50y1(t)
y2(t) 100t
y2(0) 50
将y1 50e5t0代入得：
dy2
t
e 50
y2 (t )
dt
100 t
y2(0) 50
解一阶线性微分方程得
t
y2y2(t) 12 5 5(1 0 05 0 t)e 050
出手角度和最远距离。
模型1——抛射模型
在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内 用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度 和投掷角度对铅球的影响。 假设： 1、铅球被看成一个质点。
2、铅球运动过程中的空气阻力不计。 7
3、投掷角和初速度是相互独立的。 4、设铅球的质量为m，
建立坐标系如图
•M(x, y)
第三章 微分方程模型
§1 微分方程的简单应用
一、物体在液面上的浮沉振动问题
问题：一个边长为3米的立方体浮于水面上， 已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉 浮振动的规律和质量。
问题的分析：设水的密度为1000kg／m 3 ，当
物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿 基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中 的那部分同体积的水的重量。