一些静电场能量公式的适用范围

一些静电场能量公式的适用范围

【摘要】静电场能量公式有用场强和电势表达的两种形式。两种形式的意义不同，适用范围也不相同。许多教材中都涉及了静电场能量公式，但都没有详细说明这两种形式所适用的确切范围。

【关键词】静电场；能量；适用范围

0.引言

很多文章与教材中都涉及了静电场能量公式，然而都没有详细说明电场能量与电势能这两种形式所适用的确切范围。如下题（例）在求解问题时就存在着不妥。

如图1 所示，设电容器的两个带电极板面积为S，分别带电+q和- q ，板间距为x，求二板间“相互作用能”。

图1 平行板电容器

取坐标轴x轴与二板垂直，坐标原点在下极板上。设上极板为研究体系（体系1），下极板为外部体系（体系2），并取下极板产生的电势?的参考点在坐标原点。那么用电势表达的静电场互能公式W=?ρ?dV（1）求得W=x此结果是否正确姑且不说，我认为所使用的公式（1）不妥。因为若按此类理解，也可应用电势表达静电场互能的另一公式W=?ρ?1dV（2）来求解（本文将给出?ρ?2dV=?ρ2?1dV的证明），其中?1为研究体系（上极板）产生的势。因为在同一问题中，若用不同的互能公式求解，再将结果进行比较时，电势参考点应取同一个（坐标原点），即?1在下极板处也为零，从而有Wi=0。同一问题，所得互能不同（两种求法参考点相同），在处理该问题时认识有误。通过分析可知，其错误是没有弄清公式的适用范围。

1.一些能量公式用于无限大均匀带电平面时所得结果不唯一的根源

上述平行板电容器是在无限大均匀带电平面模型上建立起来的。按上面的思路，计算该情形互能会算出不唯一的矛盾结果。究其根本，是因为上述所用公式的适用范围与问题中所使用的物理模型的适用范围不相协调所致。众所周知，对无限大均匀带电平面这样的理想物理模型，其适用范围不含无限远点。因为在无限远处看，带电平面不可能无限大，都应是有限大小的；同理，无限大均匀带电模型，只可以是在近点范围观测和抽象出来的结果。即无限大均匀带电平面与无限远点不能同时出现在同一问题中。现在我们再从有关教材出发，回顾总能Wt、互能Wi和自能Ws之间的关系及其物理含义。静电场总能公式若用场强表达为Wt=?E·DdV（3）

利用矢量分析，式（3）又可写为Wt=?ρ?dV-?D·dS（4）

其中S是V的边界面。因为Wt是静电场总能量，所以可将V取成整个空间，即S 在无限远。对于电荷分布在有限范围内的情形，若取无限远为电势零点，即?S=0，而D～1/r2，面积S～r2，面积分当r→∞时趋于零，则由式（4）得

Wt=?ρ?dV（5）若取有限远r0点当做电势零点，由于ф～（1/r-1/r0），D～1/r2，而面积S～r2，所以当r→∞时面积分不再趋于零，则此时Wt≠?ρ?dV可见，当取无限远为电势零点，并整个空间都是模型的适用范围时，式（5）才成立。

下面再证明式（1）和（2）相等，同时也能进一步说明其适用范围与例模型的适用范围不相协调。若用ф1和ρ1分别为研究体系的所产生的势和电荷分布；用ф2和ρ2分别表示外部体系的所产生的势和电荷分布。当取无限远为电势零点时，式（5）可写为Wt=?（ρ1+ρ2）（ф1+ф2）dV（6）则互能和自能分别为W=?ρ?2dV+?ρ2?1dV（7）、W=?ρ?1dV+?ρ2?2dV（8）

推广到一般情况，Wt、Wi和Ws的物理意义为：设带电体系由若干个带电体组成，带电体系的总静电能Wt由各带电体之间的相互作用能Wi每一个带电体的自能Ws组成；把每一个带电体看成一个整体，把各带电体从无穷远移到现在位置所作的功，为它们之间的相互作用能；把每一个带电体上的各部分电荷从无限分散的状态聚集起来时所作的功，等于这个带电体的自能；而式（6）、（7）和（8）都是取了无限远为电势零点的结果。对整个空间都适用的物理模型，其电荷分布（以体分布为例，点、线、面分布与此相近，不再赘述）应在有限范围。若电荷分布在有限范围，可取无限远为电势零点；反之，如果分布在无限远处的是无限多电荷，就不能选无限远为电势零点。设电荷分布在有限空间，取真空中的无限远为电势零点（只有取真空中的无限远为电势零点，才可下述表示），则研究体系和外部电荷体系所产生的势分别为：?1=?（9）、?2=?（10）把式（9）和（10）代入式（7），即可证得Wt=?ρ1?2dV=?ρ2?1dV（11）现在又可看出，只有对可取无限远为电势零点的物理模型，式（1）、（2）、（5）和式（6）～（11）才成立。由以上分析可知，例出现的错误是将取了无限远为电势零点、且只适用于整个空间的静电场能量公式用于了不能取无限远为电势零点、也不适用于整个空间的物理模型（无限大均匀带电平面）的结果。而且例用式（1）求得的均匀带电平行板电容器的能量也不是相互作用能Wi，严格讲，它是电势能。

2.两种静电场能量公式的等价性

2.1静电场能量公式可以写作

U=??dVdV可进一步写为U=??dVdV’

设φ（r）=?dV’则U=?ρ（r）φ（r）dV

由真空中的高斯公式?·E= E=-?φ

可得静电场的泊松公式-?2φ=

将上式带入静电荷的能力公式U=?ρ（r）ρ（r）dV可得U=?-εφ（r）?2φ（r）dV

由-?2φ=带入，得U=?EdV

可见两个计算静电场能量的公式U=??dVdV’和U=?EdV是等价的。

2.2两电荷组成的电场的总能量

电场的能量是根据能量分布在整个电场中，各处的（下转第273页）（上接第264页）能量体密度为U=

2

计算得到总的能量为U=

2dV

两个带电体所形成的的合场强为应该是各电荷分别产生场强1，2的矢量和，即=1+2将合场强带入总的能

U=?

2dV=?（1+2）2dV

=?

2dV+=?

2dV+=?21·2dV

因此U1=?

12dV、U2=?

22dV、U12=?21·2dV

U1、U2是二带电体所具有的固有能量，U12二者的相互作用能，因为此种能量的计算方式和利用点电荷计算能量的公式是等价的，所以相互作用能还可写成

U12=