镜像法与电轴法

r 0
p r2 +q' R
o
r r1 q
任一点电位及电场强度为：
接地球壳，点电荷在球壳 内部，如何布置镜像电荷
b -q' d


1 q q q ( ) 4π 0 r r1 r2 q 1 R R ( ) 4π 0 r dr1 dr2
E
q 1 R R ( er 2 er1 2 er2 ) 4π 0 r 2 dr1 dr2
s
0
dS q n
+q
Q1:若板厚度变化， 求解区域场的解答 是否发生变化？为 什么？
+q
vacuum
1. Where to put the image charges? 2. How? (location and amplitude)
conductor
+q
上半区域场边值问题
Q2:若板中存在空腔， 求解区域场解答是 否发生变化？为什 么？
5V
正电位区域
-3 V
负电位区域
Double check the BVP 1. Equation? 2. Boundary?
等位线与电力线分布图
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体。试决定电轴位置。
试确定图示偏心电缆的电轴位置
2 b 2 h12 a1 2 2 2 b h2 a 2 d h h 1 2 确定b, h1 , h2
两导线系统的等电 位线是圆心在x轴 上的一系列圆
对称轴 ＝ 0
试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布 建立坐标系，确定电轴位置 解：
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
1 1 E P 2π ( e 1 e 2 ) 0 1 2 ln 2 p 2 π 0 1
秋季学期 第07讲
镜像法简介

镜像法与电轴法
镜像法
点电荷和接地导体平面的镜像 点电荷和球面的镜像 点电荷和媒质分界面的镜像

历史

1848，英国开尔文首创 虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂 电荷分布，虚设电荷一般位于镜像位置，故 称镜像法。 静电场：唯一性定理

命名的由来

电轴法
电轴法 应用
0
2
除点电荷之外的区域 平面导体和无穷远 S为包围点电荷面积
cavity
cavity
q q 0 4π 0 r 4π 0 r

s
D dS q
1
导体球面镜像：设在点电荷附近有一接地导体球， 求导体球外空间的电位及电场分布。
2 0 球外空间（除q点外） r 0 导 球 面 0
Q： 方程变化了吗？ 边界条件变化了吗？
2 h12 a1 b2 2 2 2 h2 a2 b h h d 2 1
b, h1 , h2
4
一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线之 间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。 (已知电压条件求场)
a)确定电轴的位置
长直平行圆柱导体传输线
surface A C1 D dS ＋ S
surface B C2 D dS S
3
两根长直带电细导线产生的电场
1
Q
1
d ln 1 C 2 0 2π 0
p
r1 d 2 R 2 2 Rd cos

点电荷对接地球的镜像
2 2 2 2 2 2
r2 b2 R 2 2Rb cos
2 2
Q:球面电位是正还是负？
[q (b R ) q' (d R )] 2R(q' d q b) cos 0
该等效结果对任意角度都应成立
Let p constant
等位线方程为：( x 圆心坐标
(h,0)
( x b) 2 y 2 ( x b) 2 y 2
K2
ln 2 C 2π 0 P 1 2 ln 2 C 2π 0 1
2
K 2 1 K 2 1
b 2 h 2 a 2 d b ( )2 a 2 2 d 2h
b)设电轴线电荷为,场中任一点电位为：
选择导体表面与x轴交点，计算导体电位
由U 0 A B 解出
U0

2π 0
ln
2 1

2π 0
ln
b (h a) b (h a) ln b (h a) 2π 0 b (h a)


理论依据

复习： 《电路》替代定律
平面导体上电荷的场边值问题
求解区域
+q
vacuum
+q
conductor
求解区域
vacuum conductor
vacuum
+q
2 0
除点电荷之外区域 平面导体和无穷远 S为包围点电荷面积
0

conductor



s
D dS q

21 0
1 2 q ' q 1 2 q ' ' 2 2 q 1 2
电轴法工程背景
E1t E 2t D1n D2 n
2 2 0
1中的电场是由q与q’共同产生，其有效区在上半空间，q’是等效替代极
1、等效区域： 设置镜像一定位于需求解区域之外，否则， 求解区域方程发生改变，不满足静电场唯一性定理要求。 非等效区域结果无意义； 2、镜像法的益处？ 将场域由不均匀转化为均匀空间，降低问题求解难度。
2 0
q’ = - q ?
设置 -q’ 放置在球内（无效区）， 使其等效球壳上的感应电荷， 关键问题 确定等效电荷的量值大小和位置。
h
以原点参考点, C = 0
b) 2 y 2 (
b
2bK K 2 1
)2
a 2bK K 2 1
K 2 1 K 2 1
圆半径
P
ln 2 2π 0 1
a、h、b满足
( x b) 2 y 2 ln 2π 0 ( x b) 2 y 2
a 2 b2 h2
化电荷的影响。
2中的电场是q”由决定，其有效区在下半空间， q”是等效替代自由电荷
与极化电荷的作用。
电轴法
2 0 0 导线以外的空间
2
surface A C1 D dS ＋ S surface B C2 D dS S
2 2 2 2 2 2 q (b R ) q' (d R ) 0 2 2 q' d q b 0
S const 0
R2 b d q ' b q R q d d
+q’ +q’ -q’ +q’
2 0
q

S
D dS 0
讨论： 导体球和平面板的转换？
点电荷位于不接地导体球附 近的场图
不接地球壳，点电荷在球壳 内部，如何布置镜像电荷
2
q1
两种电介质分界面的镜像
q1
E1t E 2t D1n D2 n
21 0 2 2 0
2 0 () 0
q3
21 0

s
r 0
Q:是否必须这样布置镜像电荷？
p 0
q q' 0 4π 0 r1 4π 0 r2
计算不接地金属球附近放置点电荷时的电场分布
2 0 球外空间，除 q 点外 r 0 常数 0 球 面s D d S 0 S 为球面 S
镜像法的扩展
V=10 V=0
V=10 V=0
模拟电荷法
（CSM—Charge Simulation Method） Columbus’S Egg
作业
V=10 V=0
5
D dS q
q2
将边界“补足”， 为什么可以补？
q4 2 2 0源自q' q' ' q cos cos cos 2 4π r 2 4π 2r 2 4π1r 1 q' q' ' q sin sin sin 4πr 2 4πr 2 4πr 2
c) 场中任一点电位为
P
2 ln
U0 ln 2 b (h a) 1 b (h a)

20

U0 b (h a) 2 ln b (h a)
镜像法（电轴法）小结
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一 性定理； 镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电 荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为 无限大均匀介质； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷 （电轴）的个数（根数），大小及位置； 镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的 区域。叠加时，要注意场的适用区域。