标量衍射理论

x0
基尔霍夫衍射公式
n
光源 P0
θ
θ
1
2
P r0 r z
Q(x,y)
1 a0 exp( jkr0 ) cos(n, r ) cos(n, r0 ) exp( jkr) U (Q) [ ] ds j r0 2 2 r 1 exp( jkr) U 0 P K r ds U 0 PhP, Qds j
平面x y的任一光波可分解成向空间各方向传播的平面波 每一平面波成份与一组空间频率值（ξ, η）对应： 传播方向为cosα =λ ξ, cosβ =λ η ，振幅为G(ξ, η)
G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy


亦可写成：
cos cos cos cos G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
传播方向余弦为（ cosα ,cosβ ）的一般情形
u u0 exp[ jk ( x cos y cos )]
(x,y)平面等相位线
x cos y cos 常数
空间周期 d x cos cos 空间频率
dy cos

cos

Cl xl y sin c(lx ) sin c(l y )
ly y lx x sin( ) sin( ) z z Cl l sin cl , l Cl xl y x y x x lx x ly y z z
x z
y z
光强
I I 0 sin c (lx , l y)
y y0 2 1 x x0 2 z{1 [( ) ( ) ]} 2 z z
r z{1 [ x2 y2 2z
2
y y0 2 1 x x0 2 z{1 [( ) ( ) ] } 2 z z

x0 x y 0 y z
2

2 2 x0 y 0
2z

x,y方向单位长度内 变化的周期数
若：U
x, y, z a exp[jk x y z ]
则
2 2 21Fra bibliotek2 其中ξ,η,ζ,1/λ分别是沿X,Y,Z和K方向的空间频率
用α ,β 的余角表示

x α θ
x



2
, y

2

λ =632nm 孔径d=2mm z>5m Fraunhofer衍射
一般情况 Fresnel衍射 点光源像平面Fraunhofer衍射
Fraunhofer衍射 1.矩孔
振幅透射率
ly
x0 y0 t ( x0 , y0 ) rect( )rect( ) lx ly
lx
x y U ( , ) C U 0 ( x0 , y0 ) exp[ j 2 ( x y)]dx0 dy0 z z x0 y0 C rect( )rect( ) exp[ j 2 (x0 y0 )]dx0 dy0 lx ly

f ( , )h( x , y )dd
Fresnel 衍射
exp( jkz) U ( x, y ) U 0 ( x, y ) h( x, y ) jz
jk 2 其中 ：h ( x, y ) exp[ ( x y 2 )] 2z
exp( jkz) jk 2 2 jk 2 2 U ( x, y) exp[ ( x y )] U 0 ( x0 , y0 ) exp[ ( x0 y0 )] jz 2z 2z
2
2. 圆孔
圆孔直径l 振幅透射率 r0 孔径平面坐标 傅立叶－贝赛尔变换
jkr exp( jkz) U (r ) exp( ) B[U (r0 )] jz 2z
2 r
r0 t ( r0 ) circ( ) l 2
r 观察平面坐标

平面波入射 U(r0 )=t(r0)
r0 l 2 J 1 ( ) B{circ( )} ( ) l 2 2 l 2
U ( x, y) CU ( , ) x cos sin z
屏上场分布
y z
可直接从小孔场分布的傅立叶变换求得
小孔场的傅立叶变换 也可从直接观察屏上的场分布求得
f
Fresnel
Fraunhofer
近场衍射 薄透镜成像系统
远场衍射
点光源像平面是Fraunhofer衍射
球面波 靠近z轴球面波
1
A exp[ jkr ] r
x 2 y 2 z 2
1 x2 y2 r (x2 y2 z2 ) 2 z 2 z A jk 2 exp[ ikz ] exp[ ( x y 2 )] 旁轴近似 z 2z
二次位相因子(球面位相因子）
z<0 表示会聚的球面波
1 exp( jkr) 其中：h P, Q K →脉冲响应或点扩散函数 j r
相干光场在自由空间传播时：
hx0 , y0 ; x, y hx x0 , y y0 1 2 2 2 exp[ jk z ( x x0 ) ( y y0 ) ] jz


Fresnel 衍射
exp( jkz) jk U ( x, y) U 0 ( x0 , y0 ) exp{ [(x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]}dx0 dy0 jz 2z
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)

2.1 光波的数学表达式 平面波： A exp[ j (k r t )] 2 2 2 cos cos cos 1
2 2
其中：k
2

k
exp[ jk z 1 cos cos ] exp[ jk (cosx cos y )]






称为g(x,y)的角谱
2.3 Fresnel 和Fraunhofer衍射
1. 标量衍射理论成立的两大条件:
①衍射孔径比波长大得多；
②观察点离衍射孔径不要太近。 2. 一般说来，不论以什么方式改变光波波面， 都会引起衍射。(TB：P37 三种方式) 定义衍射屏复振幅透过率为：
U t P t ( P) U i P

空间频率
设
u0 A exp[ jkz 1 cos 2 cos 2 ]
方向角(α ,β ) 的平面波在平面(x1,y1) 的复振 幅
u u0 exp[ jk ( x1 cos y1 cos )]
平面(x1,y1)等相位线
x1 cos y1 cos 常数
Ch2. 标量衍射理论
本部分是信息光学的物理基础
重点:掌握光的传播就是光的衍射这一物理思 想,理解角谱概念,从傅里叶光学的角度重新理 解透镜这一基本光学元件的成像机理.
难点:需要进行大量复杂的数学公式推导,以及 透过数学公式看到物理本质需要花费足够的 时间和精力
exp[jk r ] exp[jk (cosx cosy cosz)] x
即脉冲响应具有空不变的形式。
U x, y



U 0 x0 , y0 hx x0 , y y0 dx0 dy0
近轴
1 0
rz
2
2 1800
( x0 , y0 ) z
2 2 1 2
r [ z ( x x0 ) ( y y 0 ) ]
x k cos
空间周期dx： 相位差2π 的两线沿x方向距离 2 dx k cos cos
空间频率ξ=1/dx xz平面内等相位面

1 cos dx

cos

0

cos

x方向单位长度内 变化的周期数

cos

0
y方向均匀
xy平面内等相位面
z
exp( jkz) l 2 J1 (lr z ) U (r ) exp( )[( ) ] jz 2z 2 lr 2z
jkr 2
jkr 2 kl 2 J1 (klr 2 z ) exp( jkz) exp( ) [2 ] 2 z j8 z klr 2 z
强度分布
kl 2 2 J1 (klr 2 z ) 2 I (r ) ( ) [2 ] 8z klr 2 z
Fresnel衍射
CF[U 0 ( x0 , y0 )]
Fraunhofer 衍射
2 2 x0 y0 0 2z
U0 U0
U ( x, y) C


U 0 ( x0 , y0 ) exp[ j 2 (x0 y0 )]dx0 dy0
CF[U 0 ( x0 , y0 )]
2
]}
Fraunhofer衍射 远场衍射
Fresenl衍射 近场衍射
exp jkz jk 2 2 h( x x0 , y y0 ) exp [x x0 y y0 ] jz 2z
exp( jkz) jk U ( x, y) U 0 ( x0 , y0 ) exp{ [(x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]}dx0 dy0 jz 2z

其中：G ( , ) g ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy


函数g(x,y)可用无数个形式为 的基元函数组合得到
exp[ j 2 (x y)]
即把g(x,y)分解成许多（一般无限多）空间频率成份 函数G(ξ,η)代表空间频率为(ξ,η)的成份所占比例(权重） 把G(ξ,η)称为g(x,y)的空间频谱
Fresnel 衍射时
exp jkz jk 2 jk 2 h( x0 , y0 ; x, y ) exp[ x y ] exp[ xx0 yy0 ] jz 2z z
Fraunhofer 衍射时


→不再具有空不变性质
exp(jkz) jk jk U ( x, y) U 0 ( x0 , y0 ) exp[ x 2 y 2 ] exp[ xx0 yy0 ]dx0 dy0 jz 2z z
xy平面等相位线是一族同心圆
x y 常数
2 2
2.2 空间频率和空间频谱 光波u(x,y,z)乃空间坐标(x,y,z) 的函数。引入傅立叶分析， 在空间频率域中分析、研究光波场的空间频率与空间频 谱光波→U(ξ,η,ζ) kx cos k 在x-z平面内 (cosβ =0),等相位面相位 相位差Δ φ 两线沿x方向距离
C jk exp[ ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 z
C

jk 2 x y 2 U 0 ( x0 , y0 ) exp[ ( x0 y0 )]exp[ j 2 ( x0 y0 )]dx0 dy0 2z z z
U
ξ
η
C


U 0 ( x0 , y0 ) exp[ j 2 (x0 y0 )]dx0 dy0
sin y
cos
sin x


cos
k


k 在x-z平面内 (cosβ =0) θ 为传播方向与z轴（光轴）夹角

z
cos


sin

x0 z
空间频谱:
空间坐标函数 g(x,y)可写成
g ( x, y) G( , ) exp[ j 2 (x y)]dd
光强
2 J 1 (2R ) 2 I I0[ ] 2R
exp[ jk z 1 cos2 cos2 ] exp[ j 2 ( cos
α γ β z
exp[ jk z 1 cos 2 cos 2 ] exp[ j 2 (x y )]

cos

x
cos

y)]
y


cos