导数与函数的单调性、极值、最值(参考模板)

教学过程

一、课堂导入

问题：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2x

y=的单调性，如何进行？

因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？

如果遇到函数x

y3

x

3-

=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？

定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？

二、复习预习

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?

三、知识讲解

考点1 利用导数研究函数的单调性

如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．

利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．

求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．

注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．

①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；

②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；

③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

四、例题精析

考点一利用导数研究函数的单调性

例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

【规范解答】f′(x)＝e x－a，

(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，

若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a. 因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，

当a>0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)．

(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．

又∵－2

f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.

故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．

【总结与反思】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；

(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；

(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．