中位线判定
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线济宁附中李涛1.定义三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．如图：DE是△ABC的中位线。
符号语言说明：（1）一个三角形有3条中位线（2）定义有双重性：即是性质，也是判定（3）注意与三角形中线的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段．2.三角形中位线性质定理定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半符号语言：（重点，书上记了）说明：（1）作用：证明平行关系，倍分关系；转移线段，转移角。
（2）常用辅助线：见中点，构造中位线。
（3）分离基本图形：全等，平行四边形证明（转化思想，常用辅助线）证明1：如图，延长DE 到F，使EF=DE ，连结CF.-------（中线加倍，构造全等）∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC∴△ADE ≌△CFE（SAS）∴AD=FC ∠A=∠ECF∴AB∥FC又∵AD=DB∴BD∥CF，BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DE∥BC 且DE=1/2BC证明2：如图，延长DE 到F，使EF=DE ，连结CF、DC、AF∵AE=CE DE=EF∴四边形ADCF为平行四边形∴AD∥CF,AD=CF∵AD=BD∴BD∥CF,BD=CF∴四边形BCFD为平行四边形∴BC∥DF,BC=DF∴DE∥BC 且DE=1/2BC中位线的应用：（1）中点三角形定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形.性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。
（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。
补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
（2）中点四边形定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
18.1.2_三角形中位线定理
平行线间的距离处处相等
∟
∟
∟
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D
B
M
N
C
（1）如图，S BC AE CD AF （2）同底（等底）同高（等高）的 平行四边形面积相等。
F
A E D F
A
D
B
C
E
B
C
练习： 1、如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD， 那么图中和△ABD面积相等的三角形有 （ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A E
C
5
10 O C
D
D B F
1、已知，如图AD是△ABC的中线，EF是 中位线，求证：AD与EF互相平分
A
E
F
B
D
C
练习： 6、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的 一 点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、 BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结 OF . A D 求证：AB＝2OF.
D
C
E
B
挑战自我:
4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别
以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边
三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
连结DE，EF。 求证：DE=EF
M A D F
B N
E
C
练习： 3、如图，O是□ABCD的对角线AC的中点， 过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两 点. 求证：四边形AECF是平行四边形.
㎝.
C
D
E
梯形中位线定理证明方法
梯形中位线定理证明方法一、梯形中位线定理的表述及含义梯形是一种特殊的四边形，它有两条平行边，分别称为上底和下底；另外还有两条非平行的边，称为腰。
梯形的两个对角线分别是连接两个非平行边的线段。
梯形中位线定理表述如下：梯形两个对角线的长度之和等于梯形两条平行边长度之和。
这个定理的含义是，梯形的两个对角线之间的距离，即对角线的长度之和，等于梯形两条平行边的长度之和。
这个定理在解决梯形相关的几何问题时非常有用。
二、梯形中位线定理的证明方法下面将介绍一种证明梯形中位线定理的方法，该证明方法基于几何的基本原理和定理。
证明思路如下：步骤一：画出梯形ABCD我们画出一个任意的梯形ABCD，其中AB和CD是平行边，AD和BC 是非平行边。
步骤二：连接梯形的两个对角线AC和BD我们需要连接梯形的两个对角线AC和BD。
通过连接AC和BD，我们可以将梯形分成两个三角形，分别是三角形ABC和三角形ACD。
步骤三：证明三角形ABC与三角形ACD全等接下来，我们需要证明三角形ABC与三角形ACD全等。
根据几何的基本原理，我们可以通过证明它们的对应边相等来证明它们全等。
我们观察到AB和CD是梯形的两条平行边，根据平行线的性质，我们可以得出AB与CD平行。
又因为AC和BD是梯形的两个对角线，根据梯形的性质，我们可以得出AC与BD相交于一点，且互相平分。
接下来，我们观察到AB和CD是梯形的两条平行边，而AC和BD是梯形的两个对角线，根据平行线的性质和对角线的性质，我们可以得出三角形ABC与三角形ACD有以下对应边相等的关系：AB=CD，AC=BD。
因此，根据三角形全等的判定条件，我们可以得出三角形ABC与三角形ACD全等。
步骤四：根据三角形全等的性质，证明对角线长度之和等于平行边长度之和根据三角形全等的性质，我们知道如果两个三角形全等，那么它们的对应边的长度是相等的。
因此，根据三角形ABC与三角形ACD全等，我们可以得出AC=BD。
三角形梯形中位线
重点讲解(三角形梯形中位线)知识归纳知识结构重难点分析解题思想释疑解难学法建议知识归纳1．三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．作用：从位置关系看，可以证两直线平行；从数量关系看，可以证线段的相等或倍分．2．梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．作用：可以证明两直线平行；可以证明一条线段是另两条线段的和．3．梯形的面积等于中位线与高的积．．返回知识结构本节首先给出了中位线的概念，在中位线概念的基础上又给出三角形的中位线和梯形中位线两个概念，并对中位线的性质进行证明（运用同一法证明三角形中位线性质和添加辅助线转化成三角形中位线问题证明梯形中位线性质）以及应用．返回重难点分析本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度.返回解题思想1．注意区别三角形中位线与中线，避免概念混淆.2．学会构造全等三角形证明三角形和梯形的中位线定理.3．灵活运用三角形中位线定理和梯形中位线定理证明求解几何问题.返回释疑解难1．三角形中位线定理的证明方法的关键三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线．其证明方法很多，除教科书上的方法以外，还可用下面的方法来证明：①如图所示，延长中位线DE至F，使，连结CF，则，有ADFC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC，因为，所以DE．②如图所示，延长DE至F，使，连结CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE．③如图所示，过C作交DE的延长线于F，则，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE ．2．怎样认识梯形中位线梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的线段．梯形中位线定理的证明，关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化为三角形的中位线．3．怎样理解中位线定理三角形中位线定理和梯形中位线定理都有一个特点：在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这两个定理时，不一定同时需要两个结论．4．怎样认识平行线等分线段定理与中位线定理的关系在学习了梯形、三角形中位线概念之后，可以把平行线等分线段定理的两个结论分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．5．怎样计算不规则的多边形面积对于不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它们分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积．返回学法建议1．学习中要注意概念间的区别．（1）三角形的中位线与三角形的中线是两条不同的线段，一条是两边中点的连线段，一条是一个顶点与对边中点间的线段．（2）梯形的中位线与梯形两底中点的连线段不是同一概念．2．在学习中要注意定理间的联系．（1）平行线等分线段定理的两个推论，可分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理；（2）当梯形上底长为零时，梯形的中位线定理就与三角形中位线定理一致，因此三角形中位线定理可以看成是梯形中位线定理的特例.3．在学习中要注意三角形中位线定理的其余几种证法和梯形中位线定理的证法，从中学习三角形、梯形的转化思想，积累作辅助线的经验．。
第13讲 中位线定理--尖子班
第13讲 中位线定理⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩三角形的中位线中点四边形中位线定理多边形的内角和多边形的外角、外角和知识点1：三角形的中位线1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形共有三条中位线．2.三角形中位线的性质：（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）三角形的中位线将三角形分成两部分的面积之比为1:3．3.三角形中位线逆定理：（1）在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线．（2）在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．【典例】例1 （2020春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：∠AHF ＝∠BGF ．【方法总结】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例2（2020春•桃江县期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAE＝∠CAE，BE ⊥AE于点E，BE的延长线交AC于点D，F是BC的中点，求EF的长．【方法总结】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．2．（2020春•市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，E、F分别为AC、AD的中点，连接EF，若∠ACD＝120°，求线段EF的长度．3．（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．知识点2：中点四边形不同的四边形的中点四边形如下：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形；（2）平行四边形的中点四边形是平行四边形；（3）菱形的中点四边形是矩形；（4）矩形的中点四边形是菱形；（5）正方形的中点四边形是正方形；【典例】例1（2020春•龙岩期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证四边形EFGH是菱形；（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【方法总结】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，矩形的判定定理是解题的关键．例2（2020春•兰州期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H 分别是AO、BO、CO、DO的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若AC+BD＝36，AB＝10，求△OEF的周长．【方法总结】本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）①当AB与CD满足条件________时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件________时，四边形EGFH是矩形．2．（2020春•相城区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是线段BC 、AD 、OB 、OD 的中点，连接EH 、HF 、FG 、GE ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）当EF 和BD 满足条件________时，四边形GEHF 是矩形；（3）当EF 和BD 满足条件________时，四边形GEHF 是菱形．3．（2020春•江汉区期中）如图1，A 1，B 1，C 1，D 1分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC ⊥BD ，AC ＝6，BD ＝10．（1）试判断四边形A 1B 1C 1D 1的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1的中点A 2，B 2，C 2，D 2，再依次取A 2B 2，B 2C 2，C 2D 2，D 2A 2的中点A 3，B 3，C 3，D 3……以此类推，取A n ﹣1B n ﹣1，B n ﹣1C n ﹣1，C n ﹣1D n ﹣1，D n ﹣1A n ﹣1的中点A n ，B n ，∁n ，D n ，根据信息填空：①四边形A 1B 1C 1D 1的面积是________；②若四边形A n B n ∁n D n 的面积为1516，则n ＝________；③试用n 表示四边形A n B n ∁n D n 的面积________．知识点3： 多边形的内角和多边形内角和定理：n 边形内角和等于（n-2）×180° （n ≥3），且n 为整数）正多边形的每个内角等于n−2×180°.n【典例】例1（2020秋•路南区期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角!则小红少加的这个角的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【方法总结】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为180°与一个正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解．例2 （2020秋•洪山区期中）一个多边形从某个顶点出发的对角线共有3条，这个多边形的内角和是________．【方法总结】本题主要考查多边形的内角和定理，多边形的对角线，根据多边形的对角线求解多边形的边数是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•固始县期中）如图所示，四边形ABCD中，∠A+∠B＝222°，且∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是________．知识点4 多边形的外角、外角和多边形的外角和等于360°．正多边形的每个外角等于360°.n【典例】例1（2020秋•綦江区期末）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，（1）左转了________次；（2）一共走了________米．【方法总结】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．例2（2020秋•丛台区校级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【方法总结】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，运用方程求解比较简便．第2问在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．【随堂练习】1．（2020秋•梁子湖区期中）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．（1）求六边形ABCDEF的内角和；（2）求∠BGD的度数．2．（2020秋•武威期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的内角和．综合运用1．（2020秋•盘龙区期末）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝_______．2．（2020秋•九龙坡区校级期中）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝_______．3．（2020秋•固始县期中）小刚从点A出发，前进10米后向右转60°，再前进10米后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，他能回到A点吗？当他第一次回到A点，他走了多少米？4．（2020秋•郁南县校级月考）若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．5．（2020•浙江自主招生）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为AD、BC中点，延长BA、FE交于M，延长FE，CD交于N．求证：∠AME＝∠N．6．（2020春•白云区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12（AC﹣AB）；（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．7．（2020•丹江口市模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，S ABCD＝8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH 的周长等于_______．8．（2020春•青云谱区校级期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，AC＝DB．（1）求证：AD＝BC；（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相平分．9．（2020春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。
需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。
三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。
常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。
可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。
第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。
第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。
中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。
中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。
四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。
不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。
(完整版)三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．CEDBA典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N AMN ABEF DC(N )M F EDCBA2. 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA举一反三1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： （1）DEM FDN ∆∆≌； （2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBAEDEDBC5. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； （3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3图【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②NMEDCBA举一反三1. （1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变。
探究平面几何中的中位线定理
探究平面几何中的中位线定理平面几何是数学中的重要分支，研究平面中的点、线和图形之间的关系。
在平面几何的研究中，中位线定理是一个重要的定理，它揭示了三角形中的中位线之间的关系。
本文将探究平面几何中的中位线定理，介绍其定义、性质以及证明过程。
一、中位线定理的定义在平面几何中，三角形的中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，以顶点A为起点，连接BC中点D的线段AD就是三角形ABC的中位线。
二、中位线定理的性质中位线定理可以分为两个部分：1）中位线的性质；2）中位线的长度关系。
1）中位线的性质中位线的一个重要性质是：三角形的三条中位线交于一点，且这个点被称为三角形的重心。
也就是说，对于任意三角形ABC，连接三条中位线所得的交点G就是三角形ABC的重心。
2）中位线的长度关系中位线定理中的另一个重要性质是：三角形的重心将三条中位线按照2:1的比例分割。
也就是说，对于任意三角形ABC，连接顶点A与中点D的线段AD与中位线BC的长度之比为2:1，同样的，连接顶点B与中点E的线段BE与中位线AC 的长度之比也为2:1，连接顶点C与中点F的线段CF与中位线AB的长度之比同样为2:1。
三、中位线定理的证明过程中位线定理的证明过程可以通过向量法、坐标法或者几何推理法来进行。
下面以几何推理法为例，简要介绍中位线定理的证明过程。
证明：设三角形ABC的中位线AD与BC交于点M，连接AM。
首先，我们需要证明AM平分BC。
根据中位线的定义，AD是BC的中位线，所以AD=DC。
又因为三角形ABC中，AM是三角形ABD的中位线，所以AM平分BD，即AM=MD。
综合两个等式可得AM平分BC。
接下来，我们需要证明AM与BC的交点M同时也是三角形ABC的重心。
为此，我们可以利用反证法。
假设点M不是三角形ABC的重心，即三角形ABC的重心为G，且MG不等于0.5BC。
根据中位线的性质，三角形ABC的重心将三条中位线按照2:1的比例分割，即AG:GM=2:1。
三角形中位线定理知识点-例题-习题
第二十三讲三角形中位线定理【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线例1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P 在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．例2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．例3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC ＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M ，求证：MN ∥BC ．【答案】证明：延长AN 、AM 分别交BC 于点D 、G ．∵BE 为∠ABC 的角平分线，BE ⊥AG ，∴∠BAG=∠BGA ，∴△ABG 为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．例4、（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE 作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA 的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【思路点拨】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．【答案与解析】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形例5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．【答案与解析】解：（1）四边形DEFG是平行四边形，理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，∴EF∥BC，EF=BC，DG=BC，DG∥BC，∴EF∥DG，EF=DG，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=180°﹣90°=90°，∵M为EF的中点，OM=2，∴EF=2OA=4，∵EF=DG，∴DG=4．【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.【巩固练习】一.选择题1.已知△ABC 的各边长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，则连结各边中点的三角形的周长为（ ）A ．2cmB ．7cmC ．5cmD ．6cm2. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ）A ．5B ．10C ．20D ．403. 在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm（第5题） （第6题）6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，对角线AC 、BD 的长分别为7和9，则四边形EFGH 的周长是______.第8题第9题 第10题 10.如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．第11题 第12题12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列三个结论：①∠BOC ＝90°＋12∠A ；②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.三.解答题13.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点．求证：MN 和PQ 互相平分．14.已知：在△ABC 中，BC ＞AC ，动点D 绕△ABC 的顶点A 逆时针旋转，且AD ＝BC ，连接DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连接HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF ＝∠BNE （不需证明）；（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．2.【答案】C ；【解析】根据中位线定理可得BC ＝2DF ，AC ＝2DE ，AB ＝2EF ，继而结合△DEF 的周长为10，可得出△ABC 的周长．3.【答案】B ；【解析】∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=12BC=2，DF ∥BC ，EF=12AB=32，EF ∥AB ， ∴四边形DBEF 为平行四边形， ∴四边形DBEF 的周长=2（DF+EF ）=2×（2+32）=7． 故选B ．4.【答案】B ；【解析】解：∵BD ，CE 是△ABC 的中线，∴ED ∥BC 且ED=BC ，∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点，∴FG ∥BC 且FG=BC ，∴ED=FG=BC=4，同理GD=EF=AO=3，∴四边形DEFG 的周长为3+4+3+4=14．故选B ．5.【答案】B ；【解析】连接MN ，作AF ⊥BC 于F ．∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝12×8＝4，在Rt △ABF 中，AF ＝22AB BF -＝2254-＝3，∵M 、N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且MN ＝8÷2＝4，∴NM ＝12BC ＝DE ，∴△MNO ≌△EDO ，O 也是ME ，ND 的中点，∴阴影三角形的高是12AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S 阴影＝4×0.75÷2＝1.5．6.【答案】B；【解析】连接AE，延长交CD于H，可证AB＝DH，CH＝两底的差，EF是△AHC的中位线，EF＝1 2两底的差，EG＋FG＝12两腰的和，故△EFG的周长是9.二.填空题7.【答案】平行四边形；8.【答案】PQ∥AB，PQ＝12 AB；【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.9.【答案】16；【解析】根据三角形中位线的性质得出HG 12AC，EF12AC，HE12DB，GF12BD，进而得出HE＝GF＝12BD，HG＝FE＝12AC，即可得出答案．10.【答案】3；【解析】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．11.【答案】3；【解析】∵△ABC的周长是26，BC=10，∴AB+AC=26﹣10=16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ=EQ，AB=BE，同理，AP=DP，AC=CD，∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=16﹣10=6，∵AQ=DP，AP=DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ=12DE=3．故答案是：3．12.【答案】①，③；【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．三.解答题13.【解析】证明：连接MP，PN，NQ，QM，∵AM＝MD，BP＝PD，∴PM是△ABD的中位线，∴PM∥AB，PM＝12 AB；同理NQ＝12AB，NQ∥AB，∴PM＝NQ，且PM∥NQ．∴四边形MPNQ是平行四边形．∴MN与PQ互相平分．14.【解析】解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠ENB＝∠AMF．如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180°．15.【解析】证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，∴CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=BD=AB．又EF∥AB，∴=，∴==1，∴EF=CF；（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．∵EF∥AB，∴∠CMF=∠CBD．又∵AD=BD=AB，∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，∴∠CMF=∠FCM，∴CF=MF．又由（1）知，EF=CF，∴EF=FM，即点F是EM的中点，又∵EF∥AB，则FM∥AB∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，∵点G是BE的中点，∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，∴GD∥AE，GM∥EC，∴点D、G、M三点共线，∴FG是△CDM的中位线，∴FG∥CM．又∵MC⊥EC，∴FG⊥DG．。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。
因为，所以DEBC 21． 法2：如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ，有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线BC 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
中考复习之三角形中位线定义：：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半二、常见的题型题型一:求线段的长例1、已知：如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.（1）若AC=10cm，则DE= 5 cm. （2）若EF=6cm，则CB= 12 cm.（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF的周长 15练习：1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF的长是（）A.5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm【答案】B3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A.50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B4.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（）A. 20B. 16C. 12D. 8 【答案】D题型二：证明线段的倍分问题例1.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,BE=CF.(1)求证: △BDE ≌△CDF;(2)当∠B=60°时,G 、H 分别是AB 、AD 的中点,求证:GH=14AB证明：(1)∵AB=AC ∴∠ B=∠ C ∵AD 为中线，∴BD=CD 又∵EB=FC ∴△BDE ≌△CDF(2)∵AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形，又∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形 ∴BC=AB ∵G 、H 分别是AB 、AD 的中点 ∴GH=21BD=14BC 又∵BC=AB 所以GH=41AB. 练习：如图,在△ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,E 为AB 中点,连结CE 、CD ， 求证：CD=2EC证明：延长CE 使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE ∵∠AEC=∠BEF E 是AB 中点，即AE=BE CE=EF∴△ACE ≌△BFE(SAS) ∴BF=AC ∠FBE=∠A ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC ∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠FBC=∠DBC∵BD=BA∴BF=BD∵BC=BC∠FBC=∠DBC∴△BCF≌△BCD(SAS)∴CF=CD∴CD=2CE题型三：常规辅助线的添加一：利用角平分线+垂直，构造等腰三角形如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【解析】1）证明：在△ABN和△ADN中，∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．2 C． 3 D．7【答案】A3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为（）cm．【答案】3如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A.3 B.5 C.2.5 D.1.5【答案】D二：取中点构造中位线如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，20,110,,,CBD BDA E F P ∠=︒∠=︒分别是AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.证明：连接PE ，20,11090CBD BDA EPF ∠=︒∠=︒⇒∠=︒，易得EF =.三：借助平行四边形的性质1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC+BD=24cm ，△OAB 的周长是18cm ，则EF 的长为________cm ．【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=1/2AB=3厘米．题型三借助平行四边形的性质边AB、BC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、例3.如图，（1）E,F为ABCFH，并延长交于D，连接AD、CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.【答案】如图，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H是AC上的三等分点。
三角形的中位线
如图1，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
ED C B A图12. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图1，△ABC 中，DE 是中位线，则有DE ∥BC ，12DE BC 。
3. 三角形中位线定理的证明教材上的证明方法如图2所示，延长DE 到点F ，使EF=DE ， FE D C B A图2连接CF ，进一步证明四边形DBCF 是平行四边形。
请写出定理的证明过程。
（1）三角形中位线的定义是判定的主要方法。
（2）如图5，运用定理“过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”来判定线段是三角形的中位线. ED C B A图5已知，△ABC 中，点D 是AB 的中点，DE ∥BC ，试说明线段DE 是△ABC 的中位线。
5.三角形中位线定理的逆定理三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
”那么它的逆命题为______________________________________________________________________。
这个逆命题是真命题还是假命题？请作图并证明。
6.关于运用三角形中位线定理的题目特点：含有“中点”、“中线”之类的字眼，或者通过线段相等、平行四边形、等腰三角形三线合一等方式间接说明是中点，并且“中点”的数量一般不止一个。
方法：根据题目中的“中点”寻找或构造中位线模型，如下图。
ED A7.中点四边形：依次连接四边形各边的中点所得的四边形称为中点四边形。
1.画一个四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
2.画一个对角线相等的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
3.画一个对角线互相垂直的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
4.画一个对角线互相垂直且相等的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
中位线的三种判定方法
中位线的三种判定方法
中位线的三种判定方法有：
1、三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线。
2、经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交，交点与中点之间的线段为三角形的中位线。
3、端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线。
注意：
1、要把三角形的中位线与三角形的中线区分开、三角形中线是连接一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
2、梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连接两底中点的线段。
3、两个中位线定义间的联系、可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半,则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的目的可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的;方法二：构造中位线解读：凡是出现中点,或多个中点,都可以考虑取另一边中点,或延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的;方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形,或共顶点等线段,就需要考虑构造三线合一,从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形,或直角,则考虑连接斜边中线段,第一可以出现三条等线段,第二可以出现两个等腰三角形,从而转化线段关系;其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点,或多个中点,都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的;“题中有中点,莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线,莫忘加倍延”,这两个是常用几何思想,但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线,AE 是ABD △的中线,且AB BD =,求证：2AC AE =． 举一反三1. 如右下图,在ABC ∆中,若2B C ∠=∠,AD BC ⊥,E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,12AC BC =,以BC 为底作等腰直角BCD ∆,E 是CD 的中点,求证：AE EB ⊥且AE BE =．【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ,求证：AMN BNM =∠∠．举一反三1. 已知四边形ABCD 中,AC BD <,E F 、分别是AD BC 、的中点,EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ,AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．2. 已知：在ABC ∆中,BC AC >,动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转,且AD BC =,连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线,直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． 1如图1,当点D 旋转到BC 的延长线上时,点N 恰好与点F 重合,取AC 的中点H ,连结HE 、HF ,求证： AMF BNE ∠=∠2当点D 旋转到图2中的位置时,AMF ∠与BNE ∠有何数量关系请证明．【例3】 如图,在五边形ABCDE 中,90ABC AED ∠=∠=︒,BAC EAD ∠=∠,F 为CD 的中点．求证：BF EF =．举一反三1.如图所示,在三角形ABC 中,D 为AB 的中点,分别延长CA 、CB 到点E 、F,使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线,相交于点P,设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： 1DEM FDN ∆∆≌；2PAE PBF ∠=∠．3. 已知：在ABC ∆中,分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ,和CAN ,P 是边BC 的中点．求证：PM PN =4. 如图所示,已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形,且90ABD ACE ∠=∠=︒,连接DE ,设M 为DE 的中点．1求证MB MC =．2设BAD CAE ∠=∠,固定Rt ABD ∆,让Rt ACE ∆移至图示位置,此时MB MC =是否成立请证明你的结论．5. 在△ABC 中,AB=AC,分别以AB 和AC 为斜边,向△ABC 的外侧作等腰直角三角形,M 是BC 边中点中点,连接MD 和ME1如图1所示,若AB=AC,则MD 和ME 的数量关系是EDDBC2如图2所示,若AB≠AC 其他条件不变,则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系请给出证明过程；3在任意△ABC 中,仍分别以AB 和AC 为斜边,向△ABC 的内侧作等腰直角三角形,M 是BC 的中点,连接MD 和ME,请在图3中补全图形,并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒090θ<<后,如图②所示,1问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．举一反三1. 1如图1,BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线,过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、,连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥2如图2,BD CE 、分别是ABC △的内角平分线,其他条件不变； 3如图3,BD 为ABC △的内角平分线,CE 为ABC △的外角平分线,其他条件不变;则在图2、图3两种情况下,DE BC 、还平行吗它与ABC △三边又有怎样的数量关系请你写出猜测,并给与证明．2. 已知ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：EF AB ∥．【例5】 等腰梯形ABCD 中,AB CD ∥,AC BD =,AC 与BD 交于点O ,60AOB ∠=︒,P 、Q 、R分别是OA 、BC 、OD 的中点,求证：PQR ∆是正三角形．举一反三1. AD 是ABC ∆的中线,F 是AD 的中点,BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =． 【例6】 如左下图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥,E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥,且()12EF AB CD =-． 举一反三2. 在课外小组活动时,小慧拿来一道题原问题和小东,小明交流原问题：如图1,已知ABC ∆,90ACB ∠=︒,45ABC ∠=︒,分别以AB BC ，为边向外作ABD ∆和BCE ∆,且DA DB =,EB EC =,90ADB BEC ∠=∠=︒,连接DE 交AB 于点F ,探究线段DF 与EF 的数量关系;小慧同学的思路是：过点D 作DG AB ⊥于G ,构造全等三角形,通过推理使问题得解 小东同学说：我做过一道类似的题目,不同的是,30ABC ∠=︒,60ADB BEC ∠=∠=︒图1F E D CB A小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况;请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题：1写出原问题中DF 与EF 的数量关系2如图2,若30ABC ∠=︒,60ADB BED ∠=∠=︒,原问题中的其他条件不变,你在1中得到的结论是否发生变化请写出你的猜想并加以证明；3如图3,若2,ADB BEC ABC ∠=∠=∠原问题中的其他条件不变,你在1中得到的结论是否发生变化请写出你的猜想并加以证明;真题演练1. 已知：AOB △中,2AB OB ==,COD △中,3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD BC 、、,点M 、 N 、P 分别为AO 、DO 、BC 的中点.1如图1,若A 、O 、C 三点在同一直线上,且60ABO =∠,则PMN △的形状是________________,此时AD BC=________； 2如图2,若A 、O 、C 三点在同一直线上,且2ABO α=∠,证明PMN △∽BAO △,并计算ADBC 的值用含α的式子表示；3在图2中,固定AOB △,将COD △绕点O 旋转,直接写出PM 的最大值.图1 图22.如图,D是△ABC中AB边的中点,△BCE和△ACF都是等边三角形,M、N分别是CE、CF 的中点.1求证：△DMN是等边三角形；2连接EF,Q是EF中点,CP⊥EF于点P. 求证：DP＝DQ.同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造三角形的中位线,添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角形呢她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置.3.在△ABC中,D为BC边的中点,在三角形内部取一点P,使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE ⊥AB于点E,PF⊥AC于点F．1如图1,当AB=AC时,判断的DE与DF的数量关系,直接写出你的结论；2如图2,当AB AC,其它条件不变时,1中的结论是否发生改变请说明理由．图1 图24.探究问题：已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线,且AD、BE交于点O.1△ABC为等边三角形,如图1,则AO︰OD=__________；2当小明做完1问后继续探究发现,若△ABC 为一般三角形如图2,⑴中的结论仍成立,请你给予证明.3运用上述探究的结果,解决下列问题：如图3,在△ABC 中,点E 是边AC 的中点,AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ,若AD =BE =4. 求：△ABC 的周长.图1 图2 图3 5. 如图1,在四边形ABCD 中,AB CD =,E F 、分别是BC AD 、的中点,连结EF 并延长,分别与 BA CD 、的延长线交于点M N 、,则BME CNE ∠=∠不需证明．温馨提示：在图1中,连结BD ,取BD 的中点H ,连结HE HF 、,根据三角形中位线定理,证明HE HF =,从而12∠=∠,再利用平行线性质,可证得BME CNE ∠=∠．问题一：如图2,在四边形ADBC 中,AB 与CD 相交于点O ,AB CD =,E F 、分别是BC AD 、的中点,连结EF ,分别交DC AB 、于点M N 、,判断OMN △的形状,请直接写出结论．问题二：如图3,在ABC △中,AC AB >,D 点在AC 上,AB CD =,E F 、分别是BC AD 、的中点,连结EF 并延长,与BA 的延长线交于点G ,若60EFC ∠=°,连结GD ,判断AGD △的形状并证明．图1 图2 图330ABO DCO ∠=∠=︒6. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1．请你用此性质解决下面的问题.已知：如图,点O 为等腰直角三角形ABC 的重心,90CAB ∠=︒,直线m 过点O ,过A B C 、、三点分别作直线m 的垂线,垂足分别为点D E F 、、.1当直线m 与BC 平行时如图1,请你猜想线段BE CF 、和AD 三者之间的数量关系并证明； 2当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时,分别探究在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立若成立,请给予证明；若不成立,线段AD BE CF 、、三者之间又有怎样的数量关系请写出你的结论,不需证明．7. 以平面上一点O 为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作AOB 和COD ,其中1点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点,连接FM 、EM ．2 ①如图1,当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时,FM EM =_______； ②如图2,将图1中的AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角060α<<,其他条件不变,判断FM EM 的值是否发生变化,并对你的结论进行证明；3如图3,若BO = ,点N 在线段OD 上,且2NO = ．点P 是线段AB 上的一个动点,在将AOB 绕点O 旋转的过程中,线段PN 长度的最小值为_______,最大值为_______．。
小议三角形中位线定理的几种证明方法
小议三角形中位线定理的几种证明方法三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习三角形有关知识非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下一节梯形的中位线定理的证明作好充分的理论上的准备。
对这一定理的证明有多种方法，现介绍几种。
之所以要介绍这几种方法，是因为：第一，证明定理是帮助学生掌握知识体系的重要环节；第二，这个定理的证明综合运用了前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等重要知识，又提示了某些辅助线的添置方法；第三，证题时，强化了思维过程的教学，培养了求异思维，有益于开发学生的智力。
同时，启发学生用不同的方法来证明三角形中位线定理，还可以培养学生发散性思维。
下面就介绍三角形中位线定理的几种证明方法：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
已知：如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点求证：⑴DE∥BC⑵DE=BC证明方法1：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BDAE=CE∴==∵∠DAE=∠BAC∴△ADE～△ABC∴∠ADE=∠ABC ==∴DE∥BCDE=BC[小结]利用相似三角形的判定和性质，有时会收到异想不到的效果。
证明方法2：延长DE至F，使EF=DE，连接CF∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF∴△ADE≌△CEF∴AD=CF，∠ADE=∠CFE，∵AD=BD，∴CF=BD∵∠ADE=∠CFE∴AB∥CF∴CF=BD，CF∥BD∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC∵DE=EF=DF,∴DE=BC，DE∥BC[小结] 用延长相等线段的方法构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质。
证明方法3：（同第二种方法的图）过点C作CF∥AB，与DE的延长线相交于点F∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴CF=AD∵AD=BD，∴CF=BD，∵CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形（以下证法与方法2相同）[小结] 作平行线的方法构造全等三角形，利用全等三角形、平行四边形的判定和性质。
中位线及其应用
中位线及其应用【知识梳理】1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5、有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
【例题精讲】【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。
【巩固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点.求证：12DM ABABDB【例2】已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点 则①四边形EFGH 是__________形②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是__________形 ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是__________形 ④当AC 和BD __________时，四边形EFGH 是正方形。
【巩固】如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点。
（1）求证：四边形MENF 是菱形；（2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论。
【例3】梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点。
角形的中位线及性质
03
在某些情况下，角形的中位线的长度可能与第三边的长度存在
特定的关系。
03
角形中位线的应用
在几何证明中的应用
三角形中位线定理
三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。这个 定理在几何证明中经常被用来证明线段的比例关系和相等 关系。
平行四边形中位线定理
平行四边形对角线将其划分为两个相等的三角形，因此， 中位线长度是平行四边形一边的一半。这个定理常用于证 明平行四边形的性质和判定。
机械制造应用
在机械制造过程中，中位线定理可以 用来确定零件的位置和尺寸，以确保 机器的正常运转。
在数学竞赛中的应用
解题技巧
在数学竞赛中，中位线定理常常被用作解题技巧，以简化复杂的 几何问题。
组合题
在数学竞赛的组合题中，中位线定理可以用来确定图形的形状和大 小，以解决与图形排列、组合和计数相关的问题。
梯形中位线定理
梯形中位线长度等于上下底之和的一半。这个定理在证明 梯形的性质和判定中非常有用。
在解决实际问题中的应用
建筑学应用
测量学应用
在建筑设计时，中位线定理可以用来 确定建筑物的位置、方向和尺寸，以 确保建筑物的稳定性和安全性。
在土地测量和工程测量中，中位线定 理可以用来确定地物的位置和距离， 以确保测量结果的准确性和可靠性。
角形的中位线及性质
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目 录
• 角形中位线的定义 • 角形中位线的性质 • 角形中位线的应用 • 角形中位线的定理证明 • 角形中位线与其他几何知识的联
系
01
角形中位线的定义
什么是角形中位线
01
角形中位线是连接一个角形的一 边中点和相对顶点的线段。
02
梯形中位线
二 梯形中位线定理的猜想及证明
在梯形ABCD中, AD//BC,M、N
分别为AB, CD的中点。
A
D
M
N
猜想：中位线MN与上、下底
B
C
AD.BC之间怎样的位置关系 和数量关系？
猜想结论: 梯形的中位线平行于底，并且等于两底和的一半
证明猜想:
已知：梯形ABCD中，AD//BC，M、N 分别为AB.CD中点。
一边中点与另一边平行的直线
B
C 必平分第三边)
∴EG为△ ABD的中位线,
EH为△ ABC的中位线
∴EG=½AD.EH=½BC
∴GH=EH-EG=½（BC-AD）
例2.
A
D
若把上题中的E、F为AB、CD中
点，改成G、H为BD.AC中点，
则结论ＧＨ＝½（ＢＣ－ＢＤ）
还成立吗？
GH
F 若成立, 请给出证明。
∴MN=ME+EN=½(AD+BC)
三、梯形的中位线定理: 梯形的中位线平行底 且等于两底和的一半。
【EF//BC//AD, EF=½ (AD+BC) 】
A
aD
⑴设梯形的上、下底为a、b, 中位线
为l;则 l=__½_(_a_+_b_),a+b=___2_l __,
E
l
F
a=___2_l-_b__,b=___2_l-_a___;
梯形的中位线定理
斜拉桥是利用一组组钢索, 把桥面重力
传递到耸立的两侧的高塔上的桥梁。它不
需要建造桥墩。
如图, 某斜拉桥的一
组钢索a,b ,c,d,e共五
条, 它们互相平行,
edcba
p5 p4 p3 p2 p1