人教版九年级数学讲义阶段性测试数学试卷(含解析)(2020年最新)

第20讲阶段测试
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述
（1）理解圆及其基本性质，能够对相关概念进行辨析，着重理解圆心角与弧、
弦的关系以及圆周角定理，能够利用相关定理及推论进行解题；
（2）学习垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于
垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算；
（3）学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系
以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，理解并掌握切
线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，
了解圆的外接三角形与三角形内切圆概念；
（4）了解正多边形的相关概念和计算，能够根据正多边形性质分析处理问题，
学习弧长和扇形的相关计算，能够熟练利用公式解题，学习圆锥的侧面积和全面
积，能够根据圆锥的展开图进行有关计算。

知识梳理
讲解用时：15分钟
前9-14讲知识复习
圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

圆的相关性质与结论
（1）基本性质
圆是轴对称图形，对称轴是所有经过圆心的直线，因而有无数条对称轴；圆是中心
对称图形，圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。

（2）圆心角、弧、弦的关系
?定理
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
?推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中
的“弧”是指同为优弧或劣弧；
?正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，⊙圆心角相等；⊙所对的弧相等；⊙所对的弦相等；三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。

（3）圆周角定理
?定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
?推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
注意：⊙圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化；
⊙圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化；
⊙定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。

（4）垂径定理及其推论
?垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所
对的弧。

?相关推论
⊙如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
⊙如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；⊙如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；
⊙如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
⊙如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，
并且平分这条弦。

（5）切线的性质与判定
?切线的性质
⊙圆的切线垂直于经过切点的半径；
⊙经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
⊙经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
?切线的判定
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

⊙无交点，作垂线段，证半径；
⊙有交点，作半径，证垂直
与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有3种，判断点和圆的位置关系：
⊙点P在圆外⊙ｄ＞r
⊙点P在圆上⊙d=r
⊙点P在圆内⊙ｄ＜r
（2）直线与圆的位置关系
直线和圆的位置关系有
3种，判断直线和圆的位置关系：
⊙直线l 和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r ⊙直线l 和⊙Ｏ相切⊙d=r ⊙直线l 和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r （3）圆与圆的位置关系
圆和圆的位置关系有
5种，判断圆和圆的位置关系：
⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r ；⊙两圆外切⊙d=R+r ；
⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r ＜d ＜R+r （R ≥ｒ）；⊙两圆内切⊙d=R ﹣r （R ＞r ）；⊙两圆内含⊙ｄ＜R ﹣r （R ＞r ）．
弧长、扇形、正多边形介绍
（1）正多边形与圆的关系?
定义
把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

?
正多边形的有关计算公式
⊙多边形内角和定理：（n ﹣2）?180°（n ≥３且n 为整数）⊙多边形的外角和等于360°
③正多边形内角等于n
n
180)2(（2）弧长
弧长公式：180
R n l （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）
（3）扇形
扇形面积计算公式：S 扇形=360
2
R
n 或S 扇形=lR 2
1
（其中l 为扇形的弧长，圆心角度
数为n ，圆的半径为R ）
第Ⅰ卷（40分钟）
【测试题1】
在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）
A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等
【答案】A
【解析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论，
A、相等弦所对的弧不一定相等，需分优弧或劣弧，故本选项错误；
B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；
C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确，故选：A．
讲解用时:2分钟
解题思路：利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误。

教学建议：注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本
推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

难度：3 适应场景：当堂测试例题来源：奉贤区一模年份：2015
【测试题2】
如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为。

【答案】2
【解析】本题考查的是垂径定理的应用，，
作OD⊙AB于D，连接OA．
⊙OD⊙AB，OA=2，
⊙OD=OA=1，
在Rt⊙OAD中
AD===，
⊙AB=2AD=2．
讲解用时:3分钟
解题思路：作OD⊙AB于D，连接OA，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长。

教学建议:根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。

难度：3 适应场景：当堂测试例题来源：惠安县模拟年份：2016
【测试题3】
如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙Ｏ2的半径为1，O1O2⊙AB于点P，O1O2=6，若⊙Ｏ2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙Ｏ2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）。

A．3次B．4次C．5次D．6次
【答案】B
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，
如图，⊙Ｏ2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，
故选：B．
讲解用时:5分钟
解题思路：根据题意作出图形，直接写出答案即可。

教学建议:解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径。

难度：3 适应场景：当堂测试例题来源：广安年份：2014秋
【测试题4】
如图，正五边形ABCDE内接于⊙Ｏ，点M为BC中点，点N为DE
中点，则⊙MON的大小为（）。

A．108°B．144°C．150°D．166°
【答案】B
【解析】本题考查了正五边形的性质、垂径定理，
⊙点M为BC中点，点N为DE中点，
⊙OM⊙BC，ON⊙DE，
⊙⊙OMC=⊙OND=90°，
⊙五边形ABCDE是正五边形，
，
⊙⊙C=⊙D=（5﹣2）×180°÷5=108°
⊙⊙MON=（5﹣2）×180°﹣2×90°
，故选：B．
﹣2×108°=144°
讲解用时:3分钟
解题思路：由垂径定理得出⊙OMC=⊙OND=90°，由正五边形的性质得出⊙C=⊙D=108°，由五边形内角和即可求出结果。

教学建议:熟练掌握正五边形的性质，由垂径定理得出⊙OMC=⊙OND=90°是解决问题的关键。

难度：3 适应场景：当堂测试例题来源：江东区一模年份：2016 【测试题5】
如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是（）。

A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm2
【答案】C
【解析】本题考查了圆锥的相关计算，
圆锥的母线长==10，
（cm2），故选：C．
所以圆锥的侧面积=?2π?6?10=60π
讲解用时:2分钟
解题思路：先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和
扇形面积公式计算这个圆锥漏斗的侧面积。

教学建议:熟记相关公式，并用结合已知条件熟练运用。

难度：3 适应场景：当堂测试例题来源：番禺区一模年份：2018 【测试题6】
在直角三角形ABC中，⊙C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E，连接AD。

（1）求证：AD平分⊙BAC；
（2）已知AE=2，DC=，求圆弧的半径。

【答案】
（1）证明：连接OD，
⊙OA为半径的圆弧与BC相切于点D，
⊙OD⊙BC，⊙⊙ODB=⊙C=90°，
⊙OD⊙AC，⊙⊙ODA=⊙CAD，
又⊙OA=OD，⊙⊙ODA=⊙OAD，
⊙⊙CAD=⊙OAD，⊙AD平分⊙BAC．
（2）圆弧的半径是2
【解析】本题考查了切线性质、勾股定理、等腰三角形性质、平行线的性质和
判定等知识点，
（1）证明：连接OD，
⊙OA为半径的圆弧与BC相切于点D，
⊙OD⊙BC，⊙⊙ODB=⊙C=90°，
⊙OD⊙AC，⊙⊙ODA=⊙CAD，
又⊙OA=OD，⊙⊙ODA=⊙OAD，
⊙⊙CAD=⊙OAD，⊙AD平分⊙BAC．
（2）解：过O作OH⊙AC于H，
⊙OH⊙AC，OH过O，⊙AH=HE=AE=1，
⊙OD⊙AC，OH⊙AC，⊙C=90°，⊙OH⊙CD，
⊙OD⊙AC，⊙四边形OHCD是矩形，
⊙OH=DC=，
⊙在Rt⊙AOH中，由勾股定理得：OA===2，
即圆弧的半径是2．
讲解用时:8分钟
解题思路：（1）连接OD，求出⊙ODC=90°，推出OD⊙AC，TUIC⊙DAC=⊙ODA，根据等腰三角形性质推出⊙ODA=⊙DAO=⊙DAC，即可推出答案；（2）过过O 作OH⊙AC于H，根据垂径定理求出AE，得出矩形OHCD，求出OH，在⊙AOH 中，根据勾股定理求出半径即可。

教学建议:常规基础题，熟练运用相关性质解题。

难度：4 适应场景：当堂测试例题来源：海门市模拟年份：2014春【测试题7】
如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙Ｏ的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON。

（1）求图1中⊙MON的度数；
（2）图2中⊙MON的度数是，图3中⊙MON的度数是；
（3）试探究⊙MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）。

【答案】（1）⊙MON=120°；（2）90°，72°；（3）⊙MON=
【解析】本题考查的是正多边形和圆，
分别连接OB、OC，
（1）⊙AB=AC，⊙⊙ABC=⊙ACB，
⊙OC=OB，O是外接圆的圆心，⊙CO平分⊙ACB，
⊙⊙OBC=⊙OCB=30°，⊙⊙OBM=⊙OCN=30°，
⊙BM=CN，OC=OB，
⊙⊙OMB⊙⊙ONC，⊙⊙BOM=⊙NOC，
⊙⊙BAC=60°，⊙⊙BOC=120°；
⊙⊙MON=⊙BOC=120°；
（2）同（1）可得⊙MON的度数是90°，图3中⊙MON的度数是72°；
（3）由（1）可知，⊙MON==120°；在（2）中，⊙MON==90°；在（3）中⊙MON==72°…，
故当n时，⊙MON=．
讲解用时:10分钟
解题思路：（1）先分别连接OB、OC，可求出⊙BOM=⊙NOC，故⊙MON=⊙BOC，再由圆周角定理即可求出⊙BOC=120°；（2）同（1）即可解答；（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。

教学建议:根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键。

难度：4 适应场景：当堂测试例题来源：沙河口区一模年份：2016秋【总结】本卷难度适中，涉及的知识点都是前期讲过的内容，一般情况下，只
要熟练掌握相关知识点，解答本卷基本没有太大问题。

通过本卷的检测，可以分析学生对基础知识点的掌握程度。

知识定位
讲解用时：15分钟
A、适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：
理解事件的类型及其概率计算方法，能够准确判断必然事件和不可能事件，
能够计算随机事件的概率，其次重点掌握列表法以及树状图法表示事件出现的可
能性结果，能够利用列表法与树状图法计算事件的相关概率，最后掌握用频率估计概率的原理。

本节课的重点内容是用列表法以及树状图法表示事件出现的可能
性结果，需要各位同学熟练掌握。

知识梳理
讲解用时：10分钟前15讲知识复习
事件及其概率
（1）确定事件和随机事件
①在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件；②在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；③必然事件和不可能事件统称为确定事件；
④在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件．
（2）事件的概率及其计算
①一般地，如果一个实验共有
n 个等可能的结果，事件
A 包含其中
的k 个结果，那么事件A 的概率：=
=A k P A n
事件包含的可能结果数
所有的可能结果总数
．
②P （必然事件）=1；③P （不可能事件）=0．
用列举法求概率
用列举法求概率主要掌握列表法和树状图法计算事件的概率：
⊙当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率；
⊙列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事
件A 或B 的结果数目m ，求出概率；
⊙列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，
列表法是一种，但当一个事
件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图；
⊙树形图与列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树
的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果
n ；
⊙当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举。

第Ⅱ卷（12分钟）
【测试题8】
从一副扑克牌中选取红桃
10，方块10，梅花5，黑桃8四张扑克牌，洗匀后正
面朝下放在桌子上，甲先从中任意抽取一张后，乙再从剩余的三张扑克牌中任意抽取一张，用画树形图或列表的方法，求甲乙两人抽取的扑克牌的点数都是10
的概率。

【答案】
6
1【解析】本题考查了列表法语树状图的知识，
列树状图为：
⊙共12种情况，其中两个都是10的情况共有2种，⊙Ｐ（点数都是10）==．
讲解用时:3分钟
用频率估计概率
⊙大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度
越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；
⊙用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确；⊙当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可
能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
解题思路：列出树状图后利用概率公式求解即可。

教学建议:常规题型，解题的关键是根据题意列出树状图。

难度：3 适应场景：当堂测试例题来源：吉林年份：2017
【测试题9】
在一个不透明的箱子中装有2个红球、n个白球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别。

（1）若每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱
子里，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么估计箱子里白球的个数n为；
（2）如果箱子里白球的个数n为1，小亮随机从箱子里摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，请用画树状图或列表法求两次均摸到红球的概率。

1
【答案】（1）5；（2）
6
【解析】本题考查了利用频率估计概率以及列表法或树状图法计算概率，
（1）根据题意知，=0.25，解得：n=5，
经检验n=5是分式方程的解，即估计箱子里白球的个数n为5；
（2）列表得
红1红2白黄
红1（红2，红1）（白，红1）（黄，红1）
红2（红1，红2）（白，红2）（黄，红2）
白（红1，白）（红2，白）（黄，白）
黄（红1，黄）（红2，黄）（白，黄）
摸球的结果共有12种可能，其中两次均摸到红球的有2种，
⊙Ｐ（两次均摸到红球）==．
讲解用时:8分钟
解题思路：（1）利用频率估计概率，则摸到红球的概率为0.25，根据概率公式得到=0.25，然后解方程即可；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次均摸到红球的结果
数，然后根据概率公式求解。

教学建议:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率。

难度：4 适应场景：当堂测试
例题来源：龙华区期末
年份：2017
【总结】本卷的试题较简单，了解概率相关原理并能熟练运用列表法和树状图
表示事件发生的可能性，基本就能解决本章的问题，本章要求学生必须熟练掌握，做到不失分的程度。

知识定位
讲解用时：3分钟
A 、适用范围：人教版初三，基础一般
B 、知识点概述：
（1）理解反比例函数的概念,能够判断一个给定的函数是否是反比例函数，能够利用待定系数法求解函数解析式，其次认识反比例函数的图像特征，能够根据图像上的点坐标特征进行一般问题的处理；
（2）学习反比例函数的性质，重点掌握反比例函数的增减性以及对称性，能够根据反比例函数的图像判断k 值得正负，能够结合其他图形进行一般题型的分析
解答；
（3）学习反比例函数在几何图形中的应用，能够结合不同的几何图形应用反比例函数知识进行问题转化。

知识梳理
讲解用时：12分钟前16-19讲知识复习
反比例函数的定义
一般地，形如x
k
y
（k 为常数，0k ）的函数称为反比例函数，
x
k y
还可以写
第Ⅲ卷（40分钟）
【测试题10】
以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，
⊙双曲线y=经过点D，
⊙第一象限的小正方形的面积是3，
⊙正方形ABCD的面积是3×4=12，故选：C．
讲解用时:5分钟
解题思路：根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解。

教学建议:过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩
形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注。

难度：3 适应场景：当堂测试例题来源：凉山州年份：2017秋【测试题11】
一次函数y=kx﹣k2﹣1与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致位置是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，
A、⊙由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，⊙﹣k2﹣1＜0，⊙一次函数y=kx﹣k2﹣1的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、⊙由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，⊙﹣k2﹣1＜0，⊙一次函数y=kx﹣k2﹣1的图象经过二、三、四象限，故本选项错误；
C、⊙由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，⊙﹣k2﹣1＜0，⊙一次函数y=kx﹣k2﹣1的图象经过二、三、四象限，故本选项正确；
D、⊙由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，⊙﹣k2﹣1＜0，⊙一次函数y=kx﹣k2﹣1的图象经过一、三、四象限，故本选项错误．
故选：C．
讲解用时:5分钟
解题思路：分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析
即可。

教学建议:先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答。

难度：4 适应场景：当堂测试例题来源：大冶市模拟年份：2018
【测试题12】
反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：
⊙常数m＜﹣1；
⊙在每个象限内，y随x的增大而增大；
⊙若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；
⊙若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．
其中正确的是（）
A．⊙⊙B．⊙⊙C．⊙⊙D．⊙⊙
【答案】C
【解析】本题考查了反比例函数的性质，
⊙反比例函数的图象位于一三象限，⊙ｍ＞0
故⊙错误；
当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故⊙错误；
将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，
⊙ｍ＞0⊙ｈ＜k
故⊙正确；
将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，
故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上
故⊙正确，故选：C．
讲解用时:7分钟
解题思路：根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可。

教学建议:牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键。

难度：4 适应场景：当堂测试例题来源：河北模拟年份：2018 【测试题13】
如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2），B（1，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是。

【答案】x＜﹣1或0＜x＜1
【解析】本题考查了有关反比例函数与一次函数交点问题，
如图，结合图象可得：
⊙当x＜﹣1时，y1＞y2；⊙当﹣1＜x＜0时，y1＜y2；⊙当0＜x＜1
时，y1＞y2；⊙当x＞1时，y1＜y2．
综上所述：若y1＞y2，则x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
讲解用时:7分钟
解题思路：先考虑临界位置：当x=﹣1或x=1时y1=y2，由于x≠０，
故可分x＜﹣1、﹣1＜x＜0、0＜x＜1、x＞1四种情况讨论，然后只需结合图象
就可解决问题。

教学建议:通过数形结合得到自变量的取值范围，是很重要的一种解题方法，应
熟练掌握这种方法。

难度：4 适应场景：当堂测试例题来源：柘城县模拟年份：2018
【测试题14】
已知一次函数y=kx+b与y轴交于点B（0，9），与x轴的负半轴交于点A，且⊙BAO=45°，今有反比例函数与一次函数y=kx+b的图象交于C、D两点，且BD2+BC2=90。

（1）求一次函数的解析式；
（2）求反比例函数的解析式。

【答案】（1）y=x+9；（2）y=﹣
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题、一元二次方程根与系数
的关系，
（1）⊙⊙BAO=45°，⊙OA=OB，
⊙点B（0，9），⊙点A（﹣9，0），
⊙，解得，
所以，一次函数的解析式为y=x+9；
（2）联立得，x2+9x﹣m=0，
设点C、D的横坐标分别为x1、x2，
⊙BD2+BC2=90，⊙２（x12+x22）=90，
⊙ｘ12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=92﹣2（﹣m）=45，
即81+2m=45，解得m=﹣18，
⊙反比例函数解析式为y=﹣．
讲解用时:10分钟
解题思路：（1）根据⊙BAO的正切值求出OA=OB，然后求出点A的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）联立两函数解析式消掉y得到关于x的一元二次方程，根据k值为1可得BD2+BC2的值点C、D的横坐标的平方和的2倍，再利用根与系数的关系列式求出m，即可得解。

教学建议:（1）求出点A的坐标是解题的关键，（2）利用根与系数的关系得到
关于m的方程是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂测试例题来源：泸州校级一模年份：2018
【测试题15】
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N。

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且⊙OPM的面积与四边形BMON的面
积相等，求点P的坐标。

【答案】（1）y=；（2）点P的坐标（4，0）或（﹣4，0）
【解析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、一次函数与反比例
函数的交点问题、矩形的性质等知识点的应用，
（1）⊙Ｂ（4，2），四边形OABC是矩形，
⊙OA=BC=2，
将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，
⊙Ｍ（2，2），
把M的坐标代入y=得：k=4，
⊙反比例函数的解析式是y=；
（2）把x=4代入y=得：y=1，即CN=1，
⊙Ｓ四边形BMON=S矩形OABC﹣S⊙AOM﹣S⊙CON
，
=4×２﹣×2×２
﹣×4×1=4
由题意得：|OP|×AO=4，
⊙AO=2，⊙|OP|=4，
⊙点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）．
讲解用时:10分钟
解题思路：（1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；（2）求出四边形BMON 的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标。

教学建议:注意交点是求解函数解析式的突破口。

难度：4 适应场景：当堂测试例题来源：甘南州年份：2018
【测试题16】
某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10⊙，待加热到100⊙，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（⊙）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和
室温为20⊙，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤８和8＜x≤ａ时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再
8：10上课前能喝到不超过40⊙的开水，问他需要在什么时
间段内接水。

【答案】
（1）当0≤x≤８时，y=10x+20；当8＜x≤ａ时，y=；（2）a=40；
（3）需要在7：50～8：10时间段内接水
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，
（1）当0≤x≤８时，设y=k1x+b，
将（0，20），（8，100）代入y=k1x+b，得k1=10，b=20，
所以当0≤x≤８时，y=10x+20；
当8＜x≤ａ时，设y=，
将（8，100）代入，得k2=800，
所以当8＜x≤ａ时，y=；
故当0≤x≤８时，y=10x+20；当8＜x≤ａ时，y=；
（2）将y=20代入y=，解得a=40；
（3）8：10﹣8分钟=8：02，
⊙10x+20≤40，⊙０＜x≤２，
＜40．
⊙≤40，⊙20≤ｘ
所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前能喝到不超过40⊙的热水，
则需要在7：50～8：10时间段内接水．
讲解用时:10分钟
解题思路：（1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待
定系数法即可求得y与x的关系式；（2）将y=20代入y=，即可得到a的值；（3）要想喝到不超过40⊙的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10。

教学建议:利用待定系数法求出两个函数的解析式，然后根据数形结合的方法分
析题意。

难度：4 适应场景：当堂测试例题来源：李沧区期末年份：2017秋【总结】本卷的试题难度中等，学生熟练掌握反比例函数的图像和性质基本可
以解决这类问题，本章的难点在于反比例函数与几何图形的结合考查，需要学生具有一定的几何基础，但是本卷相关试题难度适中，能够较好的检测学生的掌握情况。