连续型随机变量及其分布(精)

连续型随机变量及其分布
知识要点
1．分布函数
随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X 取值不大于实数x 的概率
()P X x ≤称为随机变量X 的分布函数，记作()F x , 即
()(),F x P X x x =≤-∞<<∞．
2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤
(２) ()F x 是非减函数，即当12x x <时，有12()()F x F x ≤；
(3) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞
→+∞
==;
(4) ()F x 是右连续函数，即0()()lim x a F x F a →+=．
由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率
()()();P a X b F b F a <≤=-
也可以求得 ()()(0)P X a F a F a ==--．
3．联合分布函数
二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即
(,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞．
4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；
(2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3)
(,)0,(,)0
lim lim x y F x y F x y →-∞
→-∞
==，
(,)0,(,)1
lim lim x x y y F x y F x y →-∞
→+∞→-∞
→+∞
==；
(4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数；
(5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．连续型随机变量及其概率密度
设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有
()()x
F x f x dx
-∞
=⎰
成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度．
6．概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２）
()1
f x dx +∞
-∞
=⎰
；
（３）连续型随机变量X 的分布函数为()F x 是连续函数，且在()F x 的连续点处有
()()F x f x '=；
（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有
()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤
＝()b
a f x dx
⎰
．
7．常用的连续型随机变量的分布
(1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为
1
,;()0,
a x
b f x b a
⎧<<⎪
=-⎨⎪⎩其余. 其中，)a b -∞<<<+∞．
(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为
,0;()0,
x e x f x λλ-⎧>=⎨
⎩其余. 其中，0λ>．
(3) 正态分布
2
(,)N μσ，它的概率密度为
2
2
()2(),x f x x μσ--
=
-∞<<+∞，
其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密
度为
2
2
(),x f x x -=-∞<<+∞
，
标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即
()x
Φ2
2
()t x
x dt
-Φ=⎰，
当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到
()1()x x Φ-=-Φ．
设2
~(,)X N μσ，则有
()()
x F x μ
σ
-=Φ；
()(
)(
)
b a P a X b μ
μ
σ
σ
--<≤=Φ-Φ．
８．二维连续型随机变量及联合概率密度
对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有
(,)(,)x
y
F x y f s t dtds
-∞-∞
=⎰
⎰
成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)
(,)1
f x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
；
(3) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L ，有
((,))0P X Y L ∈=； ’
(4) 在(,)f x y 的连续点处有
2(,)
(,)
F x y f x y x y ∂=∂∂;
(5) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有
((,))(,)D
P X Y D f x y dxdy
∈=⎰⎰．
1０，二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度
设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为
()(,)X f x f x y dy
+∞
-∞
=⎰
；
Y 的边缘概率密度为
()(,)Y f y f x y dx
+∞
-∞
=⎰
．
1１．二维连续型随机变量(,)X Y 的条件概率密度
设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 在给定Y y =的条件下的条件
概率密度为
|(,)
(|),()X Y Y f x y f x y x f y =
-∞<<+∞，
其中()0Y f y >；
Y 在给定X x =的条件下的条件概率密度为
|(,)
(|),()Y X X f x y f y x y f x =
-∞<<+∞，
其中()0X f x >．
1２．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布
如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为
1,(,)x y f x y G ⎧
∈⎪
=⎨⎪⎩，（)G;的面积
0,其余. (2) 二维正态分布
22
1212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度
22
1121
222
1121
()()()()
1
(,)2
2(1)
x x y x
f x y
μμμμ
ρ
ρσσσσ
⎧⎫
⎡⎤
----
⎪⎪=--+
⎨⎬
⎢⎥
-
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭则称(,)
X Y服从二维正态分布，并记为
22
1212
(,)~(,,,,)
X Y Nμμσσρ.
如果
22
1212
(,)~(,,,,)
X Y Nμμσσρ，则2
11
~(,)
X Nμσ，2
22
~(,)
Y Nμσ，即二维正
态分布的边缘分布还是正态分布．
1３．随机变量的相互独立性．
如果X与Y的联合分布函数等于,X Y的边缘分布函数之积，即
(,)()(),,
X Y
F x y F x F y x y
=-∞<<+∞
对一切，
那么，称随机变量X与Y相互独立．
设(,)
X Y为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为
(,)()(),
X Y
f x y f x f y
=在一切连续点上.
如果
22
1212
(,)~(,,,,)
X Y Nμμσσρ．那么，X与Y相互独立的充分必要条件是0
ρ=．多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维随机变量的联合分布函数等于每个随
机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论．1４．随机变量函数的分布
（１）一维随机变量函数的概率密度
设连续型随机变量X的概率密度为()
X
f x，则随机变量()
Y g X
=的分布函数为
()()(())()()
y
Y y X
I
F y P Y y P g X y P X I f x dx
=≤=≤=∈=⎰
其中，
{}
y
X I
∈与{()}
g X y
≤是相等的随机事件，而{||()}
y
I x g x y
=≤是实数轴上的某
个集合．随机变量Y的概率密度
()
Y
f y可由下式得到：
'
()()
Y Y
f y F y
=．
连续型随机变量函数有下面两条性质：
(i)设连续型随机变量的概率密度为
()
X
f x，()
Y g X
=是单调函数，且具有一阶连续
导数，()
x h y
=是()
y g x
=的反函数，则()
Y g X
=的概率密度为
()(())|'()|
Y
f y f h y h y
=⋅．
(ii) 设
2
~(,)
X Nμσ，则当0
k≠时，有22
~(,)
Y kX b N k b k
μσ
=++，特别当
1
,
k b
μ
σσ
==-
时，有~(0,1)
Y kX b N
=+，
~(0,1)
X
N
μ
σ
-
．
（２）二维随机变量函数的概率密度
设二维连续型随机变量(,)
X Y的联合概率密度为(,)
f x y,则随机变量函数
(,)
Z g X Y
=的分布函数为
()()((,))((,))(,)
Z
Z Z
D
F z P Z z P g X Y z P X Y D f x y dxdy
=≤=≤=∈=⎰⎰
,
其中，
{(,)}
Z
X Y D
∈是与{(,)}
g X Y z
≤等价的随机事件，而{(,):(,)}
Z
D x y g x y z
=≤是
二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集)．
随机变量函数(,)
Z g X Y
=的概率密度为
'()()Z Z f z F z =.
当X 与Y 相互独立，且X 的概率密度为()X f x ,Y 的概率密度为()Y f y 时，随机变量函数Z X Y =+的概率密度为
()()()Z X Y f z f x f z x dx
+∞
-∞
=-⎰
, 或 ()()()Z X Y f z f x f z x dx
+∞
-∞
=-⎰
．
以上两个公式也称为卷积公式．
当X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为()X F x ,Y 的分布函数为()Y F y 时，随机变量函数max(,)Z X Y =的分布函数为
()()()Z X Y F z F z F z =，
随机变量函数max(,)W X Y =的分布函数为
()1(1())(1())W X Y F w F w F w =---．
通过求导，可以求得,Z W 的概率密度． 特别有下面的结论：
设211~(,)X N μσ，
2
22~(,)Y N μσ，且X 与Y
相互独立，则
22
1212~(,)X Y N μμσσ+++．。