连续型随机变量及其分布(精)

连续型随机变量及其分布

知识要点

1．分布函数

随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X 取值不大于实数x 的概率

()P X x ≤称为随机变量X 的分布函数，记作()F x , 即

()(),F x P X x x =≤-∞<<∞．

2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤

(２) ()F x 是非减函数，即当12x x <时，有12()()F x F x ≤；

(3) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞

→+∞

==;

(4) ()F x 是右连续函数，即0()()lim x a F x F a →+=．

由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率

()()();P a X b F b F a <≤=-

也可以求得 ()()(0)P X a F a F a ==--．

3．联合分布函数

二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即

(,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞．

4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；

(2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3)

(,)0,(,)0

lim lim x y F x y F x y →-∞

→-∞

==，

(,)0,(,)1

lim lim x x y y F x y F x y →-∞

→+∞→-∞

→+∞

==；

(4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数；

(5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．连续型随机变量及其概率密度

设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有

()()x

F x f x dx

-∞

=⎰

成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度．

6．概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２）

()1

f x dx +∞

-∞

=⎰

；

（３）连续型随机变量X 的分布函数为()F x 是连续函数，且在()F x 的连续点处有

()()F x f x '=；

（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有

()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤

＝()b

a f x dx

⎰

．

7．常用的连续型随机变量的分布

(1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为

1

,;()0,

a x

b f x b a

⎧<<⎪

=-⎨⎪⎩其余. 其中，)a b -∞<<<+∞．

(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为

,0;()0,

x e x f x λλ-⎧>=⎨

⎩其余. 其中，0λ>．

(3) 正态分布

2

(,)N μσ，它的概率密度为

2

2

()2(),x f x x μσ--

=

-∞<<+∞，

其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密

度为

2

2

(),x f x x -=-∞<<+∞

，

标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即

()x

Φ2

2

()t x

x dt

-Φ=⎰，

当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到

()1()x x Φ-=-Φ．

设2

~(,)X N μσ，则有

()()

x F x μ

σ

-=Φ；

()(

)(

)

b a P a X b μ

μ

σ

σ

--<≤=Φ-Φ．

８．二维连续型随机变量及联合概率密度

对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有

(,)(,)x

y

F x y f s t dtds

-∞-∞

=⎰

⎰

成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)

(,)1

f x y dxdy +∞

+∞

-∞

-∞

=⎰⎰

；

(3) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L ，有

((,))0P X Y L ∈=； ’

(4) 在(,)f x y 的连续点处有

2(,)

(,)

F x y f x y x y ∂=∂∂;

(5) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有

((,))(,)D

P X Y D f x y dxdy

∈=⎰⎰．

1０，二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度

设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为

()(,)X f x f x y dy

+∞

-∞

=⎰

；

Y 的边缘概率密度为

()(,)Y f y f x y dx

+∞

-∞

=⎰

．

1１．二维连续型随机变量(,)X Y 的条件概率密度

设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 在给定Y y =的条件下的条件

概率密度为

|(,)

(|),()X Y Y f x y f x y x f y =

-∞<<+∞，

其中()0Y f y >；

Y 在给定X x =的条件下的条件概率密度为

|(,)

(|),()Y X X f x y f y x y f x =

-∞<<+∞，

其中()0X f x >．

1２．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布

如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为

1,(,)x y f x y G ⎧

∈⎪

=⎨⎪⎩，（)G;的面积

0,其余. (2) 二维正态分布

22

1212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度