初一数学第12讲：数与式的规律(学生版)

第十二讲数与式的规律
常见的数列有
等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。

混合数列
探索规律的一般步骤：观察、比较、归纳、验证。

1.利用代数式表示规律
2.探索规律的方法
例1 1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水。

2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水。

3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水。

……
n只青蛙张嘴，只眼睛条腿，声扑通跳下水。

例2 （出示某年某月的日历）
星期日星期
一
星期
二
星期
三
星期
四
星期
五
星期
六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
1.请看看日历中的数字有什么特征？
2.在日历中随意选取一个数，观察该数的前后两个数，上下两个数，左下右上两个数及左上右下两个数与这个数分别有什么关系？
3.在日历中的某一天设定为a，能用a表示相邻的日期吗？
4.在日历中圈出一个3×3的方框，这九个数的和与该框正中间的数有什么关系？
例3 按下列程序计算，把答案写在表格内：
（1）填写表格：
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
例4 老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，… （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性．
例5 计算：21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22 006－1的个位数字是（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．5
例6 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
（2）通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．
A 档
1. 观察下面的一列单项式：﹣x ，22
x ，﹣43
x ,84
x ，﹣165
x ，…根据其中的规律，得出的第10个代数式是（ ）
A. 1092x -
B. 1092x
C. 9
92x - D. 992x
2. 根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形的个数是（ ）
（1） （2） （3） A. 3n B. 3n （n ＋1） C. 6n D. 6n （n ＋1）
输入 (1)
2
3
4
5
... 输出
...
21 52 103 174 26
5 ...
那么，当输入数据是8时，输出的数据是（ ）
A.
618 B. 638 C.658 D. 67
8 分析：可列式为1
n n
2 ，当n=8时，选C
4. 如图，是2009年9月的日历表，任意圈出一竖列上相等的三个数，这三个数的和不可能是（ ）
A. 27
B. 36
C. 40
D. 54
5. 观察下列等式： 第1行 3=4﹣1 第2行 5=9﹣4 第3行 7=16﹣9 第4行 9=25﹣16 ... ...
按照上述规律，第n 行的等式为
6. 根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空。

日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
8 5
6 35
3 4 15 1
2 3
7. 观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有个圆。

8. 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f （1）=0 f （2）=1 f （3）=2 f （4）=3，...
（2）f （
21）=2 f （31）=3 f （41）=4 f （5
1
）=5，... 利用以上规律计算f （2009
1
）﹣f （2009）的值。

B 档
9. 观察下列顺序排列的等式： 9×0＋1=1，9×1＋2=11， 9×2＋3=21，9×3＋4=31， 9×4＋5=41，...
猜想：第n 个等式（n 为正整数）
10. 已知：3223222⨯=+
，8338332⨯=+，154415442⨯=+，...若b
a b a ⨯=+21010（b a ,为正整数），求b a +得值？
11. 观察下列算式：23451=+⨯ ，24462=+⨯，25473=+⨯，24846⨯+=，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：2
50___________=+⨯, 第n 个式子呢?
12. 一张长方形桌子可坐6人，按下列方式讲桌子拼在一起。

2张桌子拼在一起可坐______人。

3张桌子拼在一起可坐____人，n 张桌子拼在一起可坐______人。

C 档
13. 如图1-29所示,图①是一个三角形,分别连结这个三角形三边的中点(将这条边分为相等的两部分的点)得到图②;再分别连结图②中间的小三角形三边的中点,得到图③,按此方法继续下去,请你根据图中三角形个数的规律,完成下列问题:
① ② ③ 图1-29 (1) 将下表填写完整.
(2) 在第n 个图形中有几个三角形?(用含n 的代数式表示)
14. 22
3214
111⨯⨯=
=， 2233324
1
921⨯⨯==+，
22333434
1
36321⨯⨯==++，
…… …
(1)猜想填空：⨯=++++4
1
3213333n ( )2⨯( )2 (2)若233332404
1
321⨯=
++++n ,试求n 的值.
15. 探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形
1. 观察下面的几个算式： 1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=_ ___。

2. 已知下列等式：
① 13＝12
；
② 13＋23＝32
；
③ 13＋23＋33＝62
；
④ 13＋23＋33＋43＝102
； …… ……
由此规律知，第⑤个等式是 。

3. 观察下列等式：
221 2111222222223332 ⨯⨯⨯⨯⨯⨯2
＋＝（＋）＋＝（＋）3＋＝（＋）……
则第n 个等式可以表示为。

4. 如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n 根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S ＝ （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．
5. 如图是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形。

照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形
是（ ）
6. 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴根。

……
1. 黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋 子（ ）枚（用含有n 的代数式表示）
2. 在计算机程序中，二杈树是一种表示数据结构的方法。

如图，一层二杈树的结点总数是1，二层二杈树的结点总数是3，三层二杈树的结点总数是7，四层二杈树的结点总数是15……
D
C B A 1条 2条 3条
照此规律七层二杈树的结点总数是。

3. 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据、
591216⋯⋯32
36
2125、、中得到巴尔末公式，
从而打开了光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第n 个数据是_________。

4. 观察下列数表：
1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行
第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列
根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为______，第n 行（n 为正整数）与第n 列的交叉点上的数应为_________。

5. 在数学活动中，小明为了求23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计如图所示的几何图形。

请你利用这个几何图形求
23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值为__________。

6. 如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1； 把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去···， 则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为__________。

7. 如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础
图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由个基础图形组成。

（1） A 1 1 C 1
D 1 A B C D D 2 A 2
B 2
C 2
D 1 C 1
B 1
A 1 A
B
C
D （2）
-
……
(1) (2) (3)
8. 观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★。

课程顾问签字： 教学主管签字：。