结构力学_力法(二)对称性的利用

X1
3P 14
P4
3Pl 28
M M1 X1 M p
Pl 7
M
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
【例2】试用力法求作图示对称结构的弯矩图。
l
P
EI=c
P
左右 对称
P
上下 对称
P2
P2
X1
利用对称性，可将原高阶方程组解耦降阶，化为两个低阶方程(组)
Strucural Analysis
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征
X1 1
X3 1
X2 1
11 X 1 12 X 2 1 p 0 21 X 1 22 X 2 2 p 0 33 X 3 3 p 0
P P
荷载？还是一般性荷载?
P
对称荷载
l l l
M
l
P
P
P
反对称荷载
l l l l
M
EI=C
EI=C
Strucural Analysis
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对 称荷载均为原荷载值的一半。
①中柱有弯矩和弯曲变形—必须保留； ②结点A有转角和水平线位移（反对 称位移），无竖向线位移（对称 位移且不计中柱伸缩变形）。
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原结构
Strucural Analysis
半结构
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
P2
P4
EI
EI
P4 P4
EI
EI EI 反对称
P4 P4
EI EI
P4
EI EI
对称 无弯矩
X1
基本结构
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l M 1 2
Strucural Analysis
P4
Pl 4
11 X1 1 p 0
Mp
7l 3 Pl3 11 , 1 p 24EI 16EI
Strucural Analysis
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI C
。
【解】利用对称性简化为一次超静定。
11 X1 1 p 0
11
144 1800 , 1 p EI EI
l
2l
Pl/8
Pl/2 Pl/8 Pl/8
1
M1
P
M
3Pl/8 3Pl/8
P
X1 1
P2
Mp
P2
3Pl/8 Pl/8
Pl/8
11 X1 1 p 0
Strucural Analysis
11
2l 3Pl , 1 p EI 4 EI
2
X1
3Pl 8
M M1 X1 M p
3 p 0, X 3 0
Strucural Analysis
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征
综上所述，将利用对称性简化力法计算的要点归纳如下：
⑴选择对称的基本结构，取对称约束力或反对称约束力作为基本未知量。 ⑵对称荷载作用下，只考虑对称未知力。（反对称未知力为零） ⑶反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力。（对称未知力为零） ⑷一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载。 【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。 各杆 EI C 。
征，再判别对称轴上截面的位移特征。
对称荷载
A EI
P
EI EI
EI
EI
P P
EI EI
①中柱无弯矩和弯曲变形； ②结点A无转角和水平线位移（反对 称位移），无竖向线位移（不计 中柱伸缩变形）。 不计中柱伸缩变形，可取消
原结构
反对称荷载
半结构
P
EI EI EI
EI EI
P P
EI EI
EI 2
X 1 12.5kN
M M1 X1 M p
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
根据对称结构的受力特征，在对称或反对称荷载作用下，可以取半结构 计算，另外半结构的内力可通过对称或反对称镜像得到。
X1 基本未知量 X 2 X 3
对称 反对称
M 3图
11 X 1 12 X 2 1 p 0 13 31 0 只包含两个对称基本未知量 力法方程简化为 21 X 1 22 X 2 2 p 0 23 32 0 33 X 3 3 p 0 只包含一个反对称基本未知量
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 下面这些荷载是对称？反对称
取半结构计算
奇数跨对称结构：对称轴上截面的约束既可根据变形特征判别，也可根据内力
特征判别。
对称荷载
P
EI
EI
原结构
EI P P
EI EI 半结构
轴力 对称 梁跨中截面内力 弯矩 剪力 反对称(×) 水平线位移 反对称(×) 梁跨中截面位移 角位移 竖向线位移 对称 轴力 对称(×) 梁跨中截面内力 弯矩 剪力 反对称 水平线位移 反对称 梁跨中截面位移 角位移 竖向线位移 对称(×)
×
×
×
√
×
√
√
×
√
√
×
√
×
√
×
变形(位移)与约束力是一一对应的；有变形(或位移)，则无约束力，也就 没有约束；反之，无变形(或位移)，则有约束力，也就存在约束。
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
【练习】利用对称性选择半结构。
P P A B EI=c
u A 0, A 0 u B 0, B 0 v A vB 0
P A B EI=c
P
u A 0, A 0 u B 0, B 0 v A vB 0
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。
P 3Pl 28 EI
3Pl 28 3Pl 14 EI
P2
EI
EI 2EI EI EI
P2 P2
EI EI 2EI EI EI
P2
l
EI
2 Pl 7
2EI
EI
Pl 7
l
EI EI EI
l
对称无弯矩 EI
反对称
M 1图
M 2图
M 3图
进一步考虑荷载的对称、反对称性
⑴对称荷载作用下 ⑵反对称荷载作用下
P/2
Mp对称
P/2
P/2
Mp反对称
1 p 0 X 1 0 2 p 0 X 2 0
P/2
对称结构在对称荷载作用 下，只产生对称的内力、 变形和位移，反对称的内 力、变形和位移为零。 对称结构在反对称荷载作 用下，只产生反称的内力 、变形和位移，对称的内 力、变形和位移为零。
q
P 2P P
对称 无弯矩
4P
EI=c EI=c
P P 2P 2P
EI=c
q q
左右 对称
P P
反对称
上下对称
2P
2P
上下反对称
EI=c
P 2P
左右 对称
q
P P
EI=c
EI=c
P
2P
P
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征
以图示结构为例推导说明。 X1 X3 X2
P EI=C 原结构 P
X1 1
X2 1
M 2图
基本结构
M 1图
X3 1
选取对称基本结构、对称和反对称基本未知量。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0 X X X 0 33 3 3p 31 1 32 2
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反对称荷载
P
EI EI 原结构
EI P P
EI EI 半结构
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
偶数跨对称结构：对称轴上有杆件或支座，一般先判别对称轴上杆件的变形特
半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。 判别方法有两种：
根据对称轴上的杆件和截面的变形（或位移）特征判别。(适用于所有结构)
根据对称轴上的杆件和截面的内力特征判别。 (一般只适用于奇数跨结构)
对称轴上的杆件 弯曲 变形 对称 荷载 反对称 荷载 × 轴线 变形 √ 剪切 变形 × 弯矩 轴力 √ 剪力 角位移 沿对称 轴线位 移 √ 对称轴上的截面 垂直对 称轴线 位移 × 约束 力矩 √ 沿对称 轴约束 力 × 垂直对 称轴约 束力 √
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
选用成对的广义未知力简化计算
【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。
q
A B D
q 2
A B
C
q
C
A B
X1
C
D
X1 X2
a
2a
EI=c
Y1
EI=c
D
Y2
A
q 2
B
2a
C
D 求解思路： 本结构对称，为了利用对称性简化计算，应尽量选择对称位置上的多余力作为 基本未知量，从而使基本结构也对称。 2次超静定，可以选择A、C支座约束作为多余约束，对应基本结构如图所示。
EI=c
P 2
P 2
P 2
P EI1=∞
A B
EI=c EI=c
Strucural Analysis
EA=∞ EI=c
AB杆EIAB=EI/2 其它杆EI=c
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
【练习】利用对称性选择半结构。
P A EI=C
P X1 2 P X 2 2
X1
X1
A’ A
X2
X2 A’
叠加原理：
A
X1 X 2 P X1 X 2 0
原结构
Strucural Analysis
对称荷载
反对称荷载
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
刚度不对称 非对称结构
对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。
X2
q 2
为了进一步简化计算，使方程的副系数尽可能为零，将一般多余约束力Y1、Y2 重新分解与组合，即
Y1 X1 X 2 , Y2 X1 X 2
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这就形成了两个(两组)新的广义未知力。 从数学上看， X1、X 2 是Y1、Y2的线性组合，反映出来的物理含义是：将一般多 余约束力分解成了一对对称的未知力 X 1 和一对反对称的未知力 X 2 。见上图。
【练习】利用对称性选择半结构。
P P P EI EI EI
P
EI EI EI
EI
EI
EI EI EI
P
EI EI
EI=c
P 2
EI EI
P
EI EI EI
EI
P 2 EI 2
P 2
EI=c
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