特征值和特征向量
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于是有
()ξTξ0
由于0, 所以T0, 因此, 即是实数.
显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.
定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 是正交的.
证 设1, 2是实对称矩阵A的特征值, 1, 2分别是 属于它们的特征向量, 则有
而且
ξT 2Aξ1= 1ξT 2ξ1
于是
ξT 2Aξ1=ξT 2ATξ1= (Aξ2)Tξ1= 2ξT2ξ1
证 首先证明λ≠0. 用反证法: 假设λ=0是A的特征
值, 则
0E - A=-A=0 , 这与A可逆矛盾, 故λ≠0.
再设是A的属于特征值λ的特征向量 , 则
A=λ
A-1 =1/λ
所以1/λ是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量.
类似地, 若λ是A的特征值, 则λk是Ak的特征值.
一般地, 若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm 是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.
(12)ξT 2ξ1=0
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
2E
-
A
6
6
0
0
1
3
2 1 3 0 0 0
可见属于特征值λ3=2的一个特征向量为3=(3, 3, 1)T.
令
1 0 3 P=(ξ1,ξ2,ξ3)=2 0 3
0 1 1
则有
3 3 05 3 01 0 3 1 0 0
P-1AP1 322
1 1
36 02
4 1
02 10
0 1
3 1
如果 是A的属于的特征向量，那么对k≠0, k 也是A的
属于的特征向量，这是因为
A（k)=kA =k = (k ) 可见,特征向量不唯一，可有无穷多个。下面考虑如何求出A的特 征值和相应的特征向量.
由A= ，可得 (E A)=0
可见, 是n元齐次线性方程组 (E A)x=0
的非零解. 所以有|E A|=0.
Ak=P-1Λk P, (A)=P-1(Λ)P
λ
k 1
Λk
λ
k 2
,
φλ1
φΛ
φλ2
λ
k n
φλn
5 3 0
例5 设
A
6
4
0
2 1 1
求A50.
解 矩阵A的特征多项式为
5 3 0
|E-A| 6 4 0 =(λ+1)2(λ-2)
2 1 1
可见, A的特征值是λ1=λ2=-1, λ3=2. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由于
的所有非零解.
例1 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 3 1
的全部特征值和相应的特征向量. 解 A的特征多项式为
2 1 0 1 2 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1 3 1
所以A的特征值为1=2=1, 3=3. 对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1 1 0 1 0 0
解
由于
1 A(1,3,2)(1,3,2)
3
2
所以，应选“A”.
推论 若n阶矩阵A有n个互异特征值, 则A与对角矩阵 相似.
注意, 若矩阵A与对角矩阵Λ相似, 则Λ的对角线元素 恰是A的n个特征值, 故如不计对角线上元素的顺序, 则与 A相似的对角矩阵是唯一的.
若A= P-1P, 则有:
而且有:
_____
(3) AB=AB ; _____
(4) AT = AT ;
定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数.
证 设λ为实对称矩阵A的特征值, 是属于λ的特征 向量, 则有
ξ T A ξ= ξ Tξξ T ξ,
由于AT=A,A=A, 故有
____
ξTAξ=(ξTAT)ξ ( A ξ)T ξ ξTξ
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. 对A进行运算 P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
矩阵的相似关系具有下述性质: (ⅰ) 反身性: A~A; (ⅱ) 对称性: 若A~B, 则B~A; (ⅲ) 传递性: 若A~B, B~C, 则A~C.
1 0 1
相似变换矩阵P=(1, 2, 3)=
1
0
-
1
1
0 1 1
对角矩阵
1
3
1 1 0
事实上P的逆矩阵为 与A相似的对角矩阵为
P 1
1 2
1 1
1 1
2
0
Λ=P-1AP
1 1 02 1 01 0 1 1
1 211
1 1
21 01
2 1
01 10
0 1
1 1
1
3
对3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于
1 1
3E
A
1
1
1 1
0
0
2
~
1 0 0
0 1 0
1 1 0
得同解方程:
x1 x2
x3 x3
,
基础解系为3=(1, -1, 1)T.
所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例3 设方阵A可逆, 且λ是A的特征值, 证明λ≠0 且 1/λ是A-1的特征值.
可见, 前面的分析不但证明了定理6.5, 还给出了相似 变换矩阵P和对角矩阵的求法：
A的n个线性无关的特征向量作为列向量构成的矩阵P为相似变换矩阵 A的n个特征值作为对角元构成了相应的对角矩阵 。
例：在例2中的矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 1 1
由于其3个特征值为1=2=1, 3=3. 对应的特征向量: 1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T, 3=(1, -1, 1)T线性无关, 所以
定理6.4 相似矩阵有相同的特征值.
证 若矩阵A与B相似, 则存在矩阵P, 使P-1AP=B , 故 E - B=P-1(E)P- P-1AP=P-1(E - A)P
=P-1E - AP=E -A
注意: 定理6.4的逆命题不成立. 例如矩阵
1 0
10和10
1 1
的特征多项式都是(-1)2, 但它们不相似.
二. 与对角矩阵相似的条件
假设n阶方阵A与对角矩阵
1
2
n
相似. 也就是存在可逆矩阵P, 使得
P-1AP= 即
AP=P
记P=(1, 2,…, n), 则有
(A1, A2,…, An)=(11, 22,…, nn)
即 Ai=ii , i=1,2,…,n
因为矩阵P可逆, 所以1, 2,…, n线性无关, 故i0, 于是i 是矩阵A属于特征值i的特征向量. 可见, 矩阵A与对角矩 阵相似, 则A有n个线性无关的特征向量.
定义6.2 设A是n阶方阵, 是参数, 则行列式
a11 a12 det(E-A) a21 a22
a1n a2n
an1 an2
ann
称为方阵A的特征多项式. 称det(E A)=0为方阵A的特
征方程.
A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值.
A的属于特征值 ＝i的特征向量就是齐次线性方程组 (iE A)x=0
6 3 0 2 1 0
-E
-
A
6
2
3 1
0
0
0 0
0
0
0 0
所以, 齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为:
1=(1, 2, 0)T, 2=(0, 0, 1)T.
1, 2就是属于特征值λ1=λ2=-1的线性无关的特征向量.
对于特征值λ3=2, 由于
3 3 0 1 0 3
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
所以向量组1, 2,…,s线性无关. 定理6.3 设1, 2是A 的两个互异特征值, 1, 2,…, s
和1, 2,…, t分别是属于1, 2的线性无关的特征向量, 则 1, 2,…, s, 1, 2,…, t线性无关.
证明 设k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0 , =k11+k22+…+kss , =l11+l22+…+ltt。则 +=0 而, 是属于不同特征值1, 2的特征向量, 根据定理6.2， 必有==0, 即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0, 线性无关.
反之, 设A有n个线性无关的特征向量1, 2,…, n, 且 Ai=ii , i=1,2,…,n, 令P=(1, 2,…, n), 则P可逆, 且
AP=(A1, A2,…, An)=(11, 22,…, nn)=P 即, P-1AP=, 也就是说矩阵A与对角矩阵相似.
定理6.5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件 是矩阵A有n个线性无关的特征向量.
0 0
1
0
0 2
即
1 0 0
A P 0
1
0
P-1
0 0 2
所以有
1 0 0 251 1 1250 0
A50 P0 1 0 P-1 251 2
2250 0
0 0 250
2 3
(250
1)
1 3
(1250)
1
定理6.6 矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是： 对A的任意特征值(重数为k), 属于的线性无关的特征向 量有k个.
解 由于 A1 1 A* A*
| A|
所以，A*=－A－1 由于－1 的倒数也是A－1的特征值，因此A*必有特征值：1 故，应选“B”。
二. 特征值和特征向量的性质
由于
a11 det(E-A) a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2
ann
=n-(a11+Leabharlann Baidu22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|
利用多项式方程根与系数的关系可得:
定理6.1 设1,2,…,n是n阶方阵A 的全部特征值, 则 1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1, 2,…, s是方阵A 的互异特征值, 1, 2,…, s是分别属于它们的特征向量, 那么1, 2,…, s线性 无关.
证明 设x11+x22+…+xss=0
|A*+3A-2E|= μ1 μ2 μ3=(-1)(-3)3=9
例 求矩阵A和AT的特征值的关系。 解。A的特征值满足 | E-A|=0， AT的特征值满足 | E-AT|=0, 而 | E-AT|= | (E-A)T |＝ | E-A|=0，所以矩阵A和AT 有相同的特征值。
§2 相 似 矩 阵
得同解方程:
xx12
x3 x3
,
基础解系为2=(-1, 1, 1)T.
所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例2 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 1 1
的全部特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为
2 1 0 1 2 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1 1 1
第五章 矩阵的特征值和特值向量
矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之 一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的 概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.
§1 矩阵的特征值和特征向量
一. 定义和求法
定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量 满足关系式
A= 则称为A的特征值, 为A的属于的一个特征向量.
§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记
A=(aij )
称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A.
共轭矩阵具有下列性质:
________
(1) A+B=A+B ;
____
(2) A=A , 其中是常数;
则, A(x11+x22+…+xss)=0, 即
1x11+2x22+…+sxss=0 类似地有:
1kx11+2kx22+…+skxss=0 (k=0,1,…,s-1), 即
1 (x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)1
1 2
1 s
12ss 11(0,0,
,0)
ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
E
A
1
1
0
~
0
1
0
1 3 0 0 0 0
得同解方程:
x1 x2
0 0
, 基础解系为1=(0,0,1)T.
所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.
对3=3, 解方程(3E-A)x=0, 由于
1
3E
A
1
1 1
0 0
1 ~ 0
0 1
1 1
1 3 2 0 0 0
所以A的特征值为1=2=1, 3=3.
对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1
EA
1
1 1
0
0
~
1 0
1 0
0 0
1 1 0 0 0 0
得同解方程: x1x2, 基础解系为1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T.
所以属于1=2=1的全部特征向量为
K11+k22 (k1,k2 不同时为0)
例4 设3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆. 并且
|A|= 1 2 3= -2， A*=AA －1=－2A －1. A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E＝B 的3个特征值为
μ1＝－2 1 -1 +3 1 －2 1 =－1 , μ2＝－3， μ3＝3, 于是
()ξTξ0
由于0, 所以T0, 因此, 即是实数.
显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.
定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 是正交的.
证 设1, 2是实对称矩阵A的特征值, 1, 2分别是 属于它们的特征向量, 则有
而且
ξT 2Aξ1= 1ξT 2ξ1
于是
ξT 2Aξ1=ξT 2ATξ1= (Aξ2)Tξ1= 2ξT2ξ1
证 首先证明λ≠0. 用反证法: 假设λ=0是A的特征
值, 则
0E - A=-A=0 , 这与A可逆矛盾, 故λ≠0.
再设是A的属于特征值λ的特征向量 , 则
A=λ
A-1 =1/λ
所以1/λ是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量.
类似地, 若λ是A的特征值, 则λk是Ak的特征值.
一般地, 若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm 是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.
(12)ξT 2ξ1=0
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
2E
-
A
6
6
0
0
1
3
2 1 3 0 0 0
可见属于特征值λ3=2的一个特征向量为3=(3, 3, 1)T.
令
1 0 3 P=(ξ1,ξ2,ξ3)=2 0 3
0 1 1
则有
3 3 05 3 01 0 3 1 0 0
P-1AP1 322
1 1
36 02
4 1
02 10
0 1
3 1
如果 是A的属于的特征向量，那么对k≠0, k 也是A的
属于的特征向量，这是因为
A（k)=kA =k = (k ) 可见,特征向量不唯一，可有无穷多个。下面考虑如何求出A的特 征值和相应的特征向量.
由A= ，可得 (E A)=0
可见, 是n元齐次线性方程组 (E A)x=0
的非零解. 所以有|E A|=0.
Ak=P-1Λk P, (A)=P-1(Λ)P
λ
k 1
Λk
λ
k 2
,
φλ1
φΛ
φλ2
λ
k n
φλn
5 3 0
例5 设
A
6
4
0
2 1 1
求A50.
解 矩阵A的特征多项式为
5 3 0
|E-A| 6 4 0 =(λ+1)2(λ-2)
2 1 1
可见, A的特征值是λ1=λ2=-1, λ3=2. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由于
的所有非零解.
例1 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 3 1
的全部特征值和相应的特征向量. 解 A的特征多项式为
2 1 0 1 2 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1 3 1
所以A的特征值为1=2=1, 3=3. 对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1 1 0 1 0 0
解
由于
1 A(1,3,2)(1,3,2)
3
2
所以，应选“A”.
推论 若n阶矩阵A有n个互异特征值, 则A与对角矩阵 相似.
注意, 若矩阵A与对角矩阵Λ相似, 则Λ的对角线元素 恰是A的n个特征值, 故如不计对角线上元素的顺序, 则与 A相似的对角矩阵是唯一的.
若A= P-1P, 则有:
而且有:
_____
(3) AB=AB ; _____
(4) AT = AT ;
定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数.
证 设λ为实对称矩阵A的特征值, 是属于λ的特征 向量, 则有
ξ T A ξ= ξ Tξξ T ξ,
由于AT=A,A=A, 故有
____
ξTAξ=(ξTAT)ξ ( A ξ)T ξ ξTξ
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. 对A进行运算 P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
矩阵的相似关系具有下述性质: (ⅰ) 反身性: A~A; (ⅱ) 对称性: 若A~B, 则B~A; (ⅲ) 传递性: 若A~B, B~C, 则A~C.
1 0 1
相似变换矩阵P=(1, 2, 3)=
1
0
-
1
1
0 1 1
对角矩阵
1
3
1 1 0
事实上P的逆矩阵为 与A相似的对角矩阵为
P 1
1 2
1 1
1 1
2
0
Λ=P-1AP
1 1 02 1 01 0 1 1
1 211
1 1
21 01
2 1
01 10
0 1
1 1
1
3
对3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于
1 1
3E
A
1
1
1 1
0
0
2
~
1 0 0
0 1 0
1 1 0
得同解方程:
x1 x2
x3 x3
,
基础解系为3=(1, -1, 1)T.
所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例3 设方阵A可逆, 且λ是A的特征值, 证明λ≠0 且 1/λ是A-1的特征值.
可见, 前面的分析不但证明了定理6.5, 还给出了相似 变换矩阵P和对角矩阵的求法：
A的n个线性无关的特征向量作为列向量构成的矩阵P为相似变换矩阵 A的n个特征值作为对角元构成了相应的对角矩阵 。
例：在例2中的矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 1 1
由于其3个特征值为1=2=1, 3=3. 对应的特征向量: 1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T, 3=(1, -1, 1)T线性无关, 所以
定理6.4 相似矩阵有相同的特征值.
证 若矩阵A与B相似, 则存在矩阵P, 使P-1AP=B , 故 E - B=P-1(E)P- P-1AP=P-1(E - A)P
=P-1E - AP=E -A
注意: 定理6.4的逆命题不成立. 例如矩阵
1 0
10和10
1 1
的特征多项式都是(-1)2, 但它们不相似.
二. 与对角矩阵相似的条件
假设n阶方阵A与对角矩阵
1
2
n
相似. 也就是存在可逆矩阵P, 使得
P-1AP= 即
AP=P
记P=(1, 2,…, n), 则有
(A1, A2,…, An)=(11, 22,…, nn)
即 Ai=ii , i=1,2,…,n
因为矩阵P可逆, 所以1, 2,…, n线性无关, 故i0, 于是i 是矩阵A属于特征值i的特征向量. 可见, 矩阵A与对角矩 阵相似, 则A有n个线性无关的特征向量.
定义6.2 设A是n阶方阵, 是参数, 则行列式
a11 a12 det(E-A) a21 a22
a1n a2n
an1 an2
ann
称为方阵A的特征多项式. 称det(E A)=0为方阵A的特
征方程.
A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值.
A的属于特征值 ＝i的特征向量就是齐次线性方程组 (iE A)x=0
6 3 0 2 1 0
-E
-
A
6
2
3 1
0
0
0 0
0
0
0 0
所以, 齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为:
1=(1, 2, 0)T, 2=(0, 0, 1)T.
1, 2就是属于特征值λ1=λ2=-1的线性无关的特征向量.
对于特征值λ3=2, 由于
3 3 0 1 0 3
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
所以向量组1, 2,…,s线性无关. 定理6.3 设1, 2是A 的两个互异特征值, 1, 2,…, s
和1, 2,…, t分别是属于1, 2的线性无关的特征向量, 则 1, 2,…, s, 1, 2,…, t线性无关.
证明 设k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0 , =k11+k22+…+kss , =l11+l22+…+ltt。则 +=0 而, 是属于不同特征值1, 2的特征向量, 根据定理6.2， 必有==0, 即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0, 线性无关.
反之, 设A有n个线性无关的特征向量1, 2,…, n, 且 Ai=ii , i=1,2,…,n, 令P=(1, 2,…, n), 则P可逆, 且
AP=(A1, A2,…, An)=(11, 22,…, nn)=P 即, P-1AP=, 也就是说矩阵A与对角矩阵相似.
定理6.5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件 是矩阵A有n个线性无关的特征向量.
0 0
1
0
0 2
即
1 0 0
A P 0
1
0
P-1
0 0 2
所以有
1 0 0 251 1 1250 0
A50 P0 1 0 P-1 251 2
2250 0
0 0 250
2 3
(250
1)
1 3
(1250)
1
定理6.6 矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是： 对A的任意特征值(重数为k), 属于的线性无关的特征向 量有k个.
解 由于 A1 1 A* A*
| A|
所以，A*=－A－1 由于－1 的倒数也是A－1的特征值，因此A*必有特征值：1 故，应选“B”。
二. 特征值和特征向量的性质
由于
a11 det(E-A) a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2
ann
=n-(a11+Leabharlann Baidu22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|
利用多项式方程根与系数的关系可得:
定理6.1 设1,2,…,n是n阶方阵A 的全部特征值, 则 1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1, 2,…, s是方阵A 的互异特征值, 1, 2,…, s是分别属于它们的特征向量, 那么1, 2,…, s线性 无关.
证明 设x11+x22+…+xss=0
|A*+3A-2E|= μ1 μ2 μ3=(-1)(-3)3=9
例 求矩阵A和AT的特征值的关系。 解。A的特征值满足 | E-A|=0， AT的特征值满足 | E-AT|=0, 而 | E-AT|= | (E-A)T |＝ | E-A|=0，所以矩阵A和AT 有相同的特征值。
§2 相 似 矩 阵
得同解方程:
xx12
x3 x3
,
基础解系为2=(-1, 1, 1)T.
所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例2 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 1 1
的全部特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为
2 1 0 1 2 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1 1 1
第五章 矩阵的特征值和特值向量
矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之 一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的 概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.
§1 矩阵的特征值和特征向量
一. 定义和求法
定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量 满足关系式
A= 则称为A的特征值, 为A的属于的一个特征向量.
§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记
A=(aij )
称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A.
共轭矩阵具有下列性质:
________
(1) A+B=A+B ;
____
(2) A=A , 其中是常数;
则, A(x11+x22+…+xss)=0, 即
1x11+2x22+…+sxss=0 类似地有:
1kx11+2kx22+…+skxss=0 (k=0,1,…,s-1), 即
1 (x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)1
1 2
1 s
12ss 11(0,0,
,0)
ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
E
A
1
1
0
~
0
1
0
1 3 0 0 0 0
得同解方程:
x1 x2
0 0
, 基础解系为1=(0,0,1)T.
所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.
对3=3, 解方程(3E-A)x=0, 由于
1
3E
A
1
1 1
0 0
1 ~ 0
0 1
1 1
1 3 2 0 0 0
所以A的特征值为1=2=1, 3=3.
对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1
EA
1
1 1
0
0
~
1 0
1 0
0 0
1 1 0 0 0 0
得同解方程: x1x2, 基础解系为1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T.
所以属于1=2=1的全部特征向量为
K11+k22 (k1,k2 不同时为0)
例4 设3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆. 并且
|A|= 1 2 3= -2， A*=AA －1=－2A －1. A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E＝B 的3个特征值为
μ1＝－2 1 -1 +3 1 －2 1 =－1 , μ2＝－3， μ3＝3, 于是