2016-2017学年安徽省宿州市十三校联考高一(下)期中数学试卷

2016-2017学年安徽省宿州市十三校联考高一（下）期中
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.集合A={x|3x+2＞0}，B={x|＜0}，则A∩B=（）
A.（-1，+∞）
B.（-1，-）
C.（3，+∞）
D.（-，3）
【答案】
D
【解析】
解：由A中不等式解得：x＞-，即A=（-，+∞），
由B中不等式解得：-1＜x＜3，即B=（-1，3），
则A∩B=（-，3），
故选：D．
求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）
A.a2＞b2
B.ac＞bc
C.a+c＞b+c
D.ac2＞bc2
【答案】
C
【解析】
解：∵a，b，c为任意实数，且a＞b，∴由不等式的性质可得a+c＞b+c，
故选：C．
由条件a＞b，利用不等式的性质可得a+c＞b+c，从而得出结论．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
3.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b=，a=2，B=，则c=（）
A. B. C.2 D.
【答案】
B
【解析】
解：∵b=，a=2，B=，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，可得：2=4+c2-2c，整理可得：c2-2c+2=0，∴解得：c=．
故选：B．
由已知利用余弦定理即可计算得解c的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.在数列{a n}中，已知a1=0，a n+2-a n=2，则a7的值为（）
A.9
B.15
C.6
D.8
【答案】
C
【解析】
解：由a n+2-a n=2，可得数列{a n}的奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列，则a7=a1+3×2=0+6=6．
故选：C．
由题意可得，数列{a n}的奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案．
本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．
5.在下列函数中，最小值为2的是（）
A.y=2x+2-x
B.y=sinx+（0＜x＜）
C.y=x+
D.y=log3x+（1＜x＜3）
【答案】
A
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A、y=2x+2-x=2x+，而2x＞0，则有y≥2，符合题意，
对于B、y=sinx+，令t=sinx，0＜x＜，则0＜t＜1，
有y＞2，y=sinx+没有最小值，不符合题意；
对于C、y=x+，有x≠0，则有y≥2或y≤-2，不符合题意；
对于D、y=log3x+，令t=log3x，1＜x＜3，则有0＜t＜1，
有y＞2，y=log3x+没有最小值，不符合题意；
故选：A．
根据题意，有基本不等式的性质依次分析4个选项函数的最小值，即可得答案．
本题考查基本不等式的性质，注意基本不等式的使用条件．
6.若点A（4，3），B（2，-1）在直线x+2y-a=0的两侧，则a的取值范围是（）
A.（0，10）
B.（-1，2）
C.（0，1）
D.（1，10）
【答案】
A
【解析】
解：点A（4，3），B（2，-1）在直线x+2y-a=0的两侧，
则（4+2×3-a）×（2-2-a）＜0，
∴a（a-10）＜0，
解得0＜a＜10，
故选：A．
由已知点A（4，3），B（2，-1）在直线x+2y-a=0的两侧，我们将A，B两点坐标代
入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，根据A、B在直线两侧，则A、B坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式是解答本题的关键．
7.在等比数列{a n}中，3a5-a3a7=0，若数列{b n}为等差数列，且b5=a5，则{b n}的前9项的和S9为（）
A.24
B.25
C.27
D.28
【答案】
C
【解析】
解：由题意{a n}是等比数列，3a5-a3a7=0，
∴3a5-a52=0，
解得a5=3．
∵b5=a5，即b5=3．
b1+b9=2b5
那么=27．
故选C
根据{a n}是等比数列，3a5-a3a7=0，可得3a5-a52=0，解得a5=3．即b5=3，，利
用b1+b9=2b5即可求解．
本题主要考查等差等比数列的应用，根据{a n}是等比数列，3a5-a3a7=0，求出a5是解决本题的关键；基础题．
8.若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）
A.9
B.4
C.6
D.3
【答案】
A
【解析】
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，3），
化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，
由图可知，当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9．
故选：A．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立
方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a-c）=3ab，则C=（）
A.150°
B.60°
C.120°
D.30°
【答案】
B
【解析】
解：∵（a+c+b）（b+a-c）=3ab，
∴a2+b2-c2=ab，
∴cos C===，
∵C∈（0，180°），
∴C=60°．
故选：B．
由已知整理可得a2+b2-c2=ab，利用余弦定理可求cos C=，结合范围C∈（0，180°），
可求C=60°．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10.在等差数列{a n}中，a1=-2012，其前n项和为S n，若-=2002，则S2017=（）
A.8068
B.2017
C.-8027
D.-2013
【答案】
B
【解析】
解：∵数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为S n=na1+d，
∴=a1+d，
∴-=，
∴{}为公差是的等差数列，
∴-=2002d=2002，解得d=1，
∴S2017=2017×（-2012）+=2017．
故选：B．
推导出{}为公差是的等差数列，从而-=2002d=2002，解得d=1，由此能求出
S2017．
本题考查等差数列的第2017项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
11.设x＞0，y＞0，满足+=4，则x+y的最小值为（）
A.4
B.
C.2
D.9
【答案】
B
【解析】
解：根据题意，+=4，
则x+y=×（+）（x+y）=×（5++）≥4×（5+2）=（5+4）=，
即x+y的最小值为，
故选：B．
根据题意，将x+y变形可得x+y=×（+）（x+y）=×（5++），由基本不等式分
析可得答案．
本题考查基本不等式的应用，关键是对基本不等式的灵活变形应用．
12.已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n=，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，
b n≥T恒成立，则T的最大值为（）
A.1
B.2
C.4
D.3
【答案】
D
【解析】
解：∵a n+1=a n+2n，
∴a n+1-a n=2n，
∴a2-a1=2，
a3-a2=4，
…
a n-a n-1=2（n-1），
累加可得a n-a1=2（1+2+3+…+n-1）=n（n-1），
∴a n=n（n-1）+4，
∴b n==n-1+≥2-1=4-1=3，当且仅当n=2时取等号，
∴T≤3，
∴T的最大值为3，
故选：D
利用累加法求出数列的通项公式，再根据基本不等式求出b n的范围，即可求出T的范围．
本题考查了数列的递推关系式和通项公式的求法和基本不等式的应用，属于中档题
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为______ ．
【答案】
2
【解析】
解：由△ABC中，a=18，b=24，A=30°，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得182=242+c2-2×24ccos30°，
化简整理，得c2-24c+252=0，
由于△=（24）2-4×252=720＞0，
可得c有2解，可得此三角形解的个数有2个．
故答案为：2．
根据余弦定理，建立a2关于b、c和cos A的式子，得到关于边c的一元二次方程，解之得c有2解，由此可得此三角形有两解，得到本题的答案．
本题给出三角形两边及一边对夹角的大小，求三角形的解的个数，着重考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
14.设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解
集为______ ．
【答案】
（-1，2）∪（6，+∞）
【解析】
解：由题意，b=-2，关于x的不等式＞0化为（x+1）（x-2）（x-6）＞0，
∴关于x的不等式＞0的解集为（-1，2）∪（6，+∞），
故答案为（-1，2）∪（6，+∞）．
求出b，利用根轴法，即可得出结论．
本题考查不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
15.若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2，则AB边的最小值是______ ．
【答案】
2
【解析】
解：△ABC中，A、C、B成等差数列，故2C=A+B，故C=，A+B=．
∵△ABC的面积为•ab•sin C==2，
∴ab=8，
∴AB2=c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=8，（当且仅当a=b时等号成立），∴AB边的最小值为2．
故答案为：2．
由条件利用等差数列的定义求得C=，再利用三角形的面积公式求得ab=8，再利用余
弦定理，基本不等式即可求得AB边的最小值．
本题主要考查等差数列的定义，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于基础题．
16.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为______ 万元
【答案】
13
【解析】
解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，
利润为z元，
，
则
，
目标函数为z=4x+3y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴
影部分）即可行域．
由z=4x+3y得y=-，
平移直线y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
解方程组，解得：A（，），
∴z max=4x+3y=10+3=13．
则每天生产甲乙两种产品分别为2.5，1吨，能够产生最大的利润，最大的利润是13万元．
故答案为：13．
设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
此题考查了线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解本题的关键，是中档题．
三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)
17.如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一
点，AD=4，AC=2，DC=2
（1）求cos∠ADC
（2）求AB．
【答案】
解：（1）在△ADC中，AD=4，AC=2，DC=2，
由余弦定理得cos∠ADC==-；…（5分）
（2）∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
在△ABD中，AD=4，∠B=45°，∠ADB=60°，（9分）
由正弦定理得AB=°=2…（10分）
【解析】
（1）在△ADC中，利用余弦定理表示出cos∠ADC，把三角形的三边长代入，化简可得值，
（2）根据由∠ADC的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出∠ADC的度数，根据邻补角定义得到∠ADB的度数，再由AD和∠B的度数，利用正弦定理即可求出AB的长．此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
18.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2-a3=2b3，a3-2b2=-1
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式
（2）设c n=a n+b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和S n．
【答案】
解：（1）设数列{a n}是公差为d的等差数列，
{b n}是各项均为正数且公比为q的等比数列，
由a1=b1=1，b2-a3=2b3，a3-2b2=-1，
可得q-（1+2d）=2q2，1+2d-2q=-1，
解得d=-，q=，
可得a n=a1+（n-1）d=1-（n-1）=（3-n）；
b n=b1q n-1=（）n-1，n∈N*；
（2）c n=a n+b n=（3-n）+（）n-1，
可得数列{c n}的前n项和S n=n（1+）+
=-n2+n-+2．
【解析】
（1）设数列{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项均为正数且公比为q的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求出c n=a n+b n=（3-n）+（）n-1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差
数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边且asin B=bcos A
（1）求A
（2）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．
【答案】
解：（1）由asin B=bcos A得sin A sin B=sin B cos A，∴tan A=，
∴A=…（6分）
（2）由余弦定理得9=4c2+c2-2•2c•c•，∴c=，∴b=2…（10分）
所以△ABC的面积为S=××2×=…（12分）
【解析】
（1）由条件，利用正弦定理，即可得出结论；
（2）由余弦定理求出c，可得b，即可求△ABC的面积．
本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．
20.已知数列{a n}和{b n}（b n≠0，n∈N*），满足a1=b1=1，a n b n+1-a n+1b n+b n+1b n=0 （1）令c n=，证明数列{c n}是等差数列，并求{c n}的通项公式
（2）若b n=2n-1，求数列{a n}的前n项和S n．
【答案】
（1）证明：由a n b n+1-a n+1b n+b n+1b n=0，得
-=1，
因为c n=，
所以c n+1-c n=1，
所以数列{c n}是等差数列，所以{c n}=n；
（2）由b n=2n-1得a n=n•2n-1，
所以S n=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1，①
2S n=1×21+2×22+3×33+…+n•2n，②
由②-①，得S n=2n（n-1）+1．
【解析】
（1）数列{a n}和{b n}（b n≠0，n∈N*），满足a1=b1=1，a n b n+1-a n+1b n+b n+1b n=0，又c n=，
可得c n+1-c n=1，即可证明；
（2）利用错位相减法求和即可．
本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减求和法是解决本题的关键．
21.已知f（x）=x2-（m+）x+1
（1）当m=2时，解不等式f（x）≤0
（2）若m＞0，解关于x的不等式f（x）≥0．
【答案】
解：（1）m=2时，不等式化为（x-）（x-2）≤0，
∴，
∴不等式的解集为{x|}；…（4分）
（2）由题意得f（x）=（x-m）（x-）…（6分）
当0＜m＜1时，m＜，不等式解集为{x|x≤m或x≥}…（8分）
当m=1时，m=，不等式解集为R…（10分）
当m＞1时，m＞，不等式解集为{x|x≥m或x≤}…（12分）
【解析】
（1）m=2时，不等式化为（x-）（x-2）≤0，即可解不等式f（x）≤0（2）若m＞0，
分类讨论解关于x的不等式f（x）≥0．
本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
22.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=a n-n（t＞0且t≠1，n∈N*）
（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式（用t，n表示）
（2）当t=2时，令c n=，证明≤c1+c2+c3+…+c n＜1．
【答案】
证明：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=a n-n（t＞0且t≠1，n∈N*），
∴由题意当n=1时，a1=t-1，…（2分）
∵S n=a n-n，①
∴S n+1=a n+1-（n+1），②
②-①得a n+1=ta n+t-1，即a n+1+1=t（a n+1），
∴{a n+1}是以t为首项，以t为公比的等比数列…（4分）
∴数列{a n}的通项公式．…（6分）．
（2）==．…（8分）
令T n=c1+c2+c3+…+c n，
则T n=（1-）+（）+（）+…+（）=1-．…（10分）
∵T n单调递增，∴当n=1时，（T n）min=，当n趋向无穷大时，T n趋近1．
∴≤c1+c2+c3+…+c n＜1．…（12分）
【解析】
（1）当n=1时，a1=t-1，a n+1+1=t（a n+1），由此能证明{a n+1}是以t为首项，以t为公比的等比数列，并能求出数列{a n}的通项公式．
（2）=，利用裂项求和法求出T n=c1+c2+c3+…+c n=1-，由此能证明≤c1+c2+c3+…+c n＜1．
本题考查等比数列定义、通项公式、裂项求和法等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．。