重叠相加法及P141第20题作业

五、画图题（8分）

当输入信号x(n)的长度与有限长系统抽样相应h(n)相比很长时，两者卷积计算的方法可以采用重叠相加法，试通过画图说明该方法的过程，并解释该方法正确性。

解：该方法的过程如下：

设有限长系统抽样相应h(n)为M 长，将很长的x(n)以N 长等分，则h(n)与任一段长为N 的x i (n)卷积为结果为N+M-1长（2分），则实际的卷积结果应为前一段卷积的尾部M-1个点要与下一段开头的前M-1个点对应相加，才是真正的卷积结果（1分）如图（2分）：

解释该方法正确性：

前一段N+M-1点卷积中的尾部M-1个点的结果，没有当前时刻输入信号的激励产生的响应，仅是过去时刻响应的延续；而下一段N+M-1点卷积中的开头M-1个点的结果，没有过去时刻输入信号的激励产生的响应，仅是当前时刻的信号激励产生的响应，作为n 时刻完整的响应应该为当前时刻的响应和过去时刻响应的叠加，因此，两者相重叠的M-1个点的结果应相加，即所谓的重叠相加法。(3分)

2 已知序列10),()(<<=a n u a n x n

，先对)(n x 的Z 变换在单位圆上N 等分抽样，抽样值为k N j k N e W z Z X k X π2)

()(==-=，试结合画图表示，求N 点有限长序列IDFT[X(k)]。

解：)(n x 的Z 变换在单位圆（即频域内）上N 等分抽样得)(k X ，则导致时域内以N 为周期对无限长序列10),()(<<=a n u a n x n

进行周期延拓（3分）如下图（2分）。 a 0 …… a N-1 a N ……a 2N-1 a 2N ……a 3N-1 ……a 4N-1 a 4N ………

a 0 …… a N-1a N … a 2N-1 a 2N …a 3N-1 a 3N ……a 4N-1 a 4N …………

a 0 …… a N-1a N … a 2N-1 a 2N … a 3N-1 a 3N ……a 4N-1 a 4N …………

………………………………………………………………………

周期延拓时域混叠后的N 个点的情况

设周期延拓后，在任意一个周期内的N 个点为A 0，A 1……A N-1，比较上图可得：

A 0= a 0+ a N + a 2N + a 3N +……a N （N-1）+……=

N

a -11 （2分） A 1= a 1+ a N+1 + a 2N+1 + a 3N+1 +……a N （N-1）+1+……=01aA a a N =- ………

A i = 01A a a

a i N i =- （2分） ………

A N-1= 011

1A a a

a N N N --=- （1分）

注：根据若x(n)=IDFT[X(K)]计算，求出时域内的N 个离散值也算正确，但该方法计算复杂。因此应根据频域内N 等分抽样得)(k X ，则导致时域内以N 为周期对无限长序列10),()(<<=a n u a n x n 进行周期延拓这一性质来求解。