曲面与空间曲线方程
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特别,当M 0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
z
M0
o
M
y
x
§1.4 曲面及其方程
2.柱面
二、常见的曲面方程
——柱面的准线 ——柱面的母线
C
l
z
椭圆柱面
x2 y2 2 1 2 a b
抛物柱面
o x
y
双曲柱面
z
x2 y 2 2 1 z 2 a b
y
y 2 px( p 0)
2
o x
y
O
x
§1.4 曲面及其方程
(3)椭球面
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
(4)双曲面
单叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
双叶双曲面
x
a
O
c
b y
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
§1.4 曲面及其方程
(5)抛物面
椭圆抛物面
z
x2 y 2 2 2 pz ( p 0) 2 a b
双曲抛物面（马鞍面）
x
y
x2 y 2 2 2 pz ( p 0) 2 a b
2 2 2 x y z 绕 z轴： 2 1 2 a c
z
旋转双叶 双曲面
x
y
Байду номын сангаас旋转单叶 双曲面
§1.4 曲面及其方程
二、常见的曲面方程
1.球面
以点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )为球心，以 R 为半径的球面方程
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2
§1.4 曲面及其方程
1.曲面方程的概念
一、曲面方程的概念
F ( x, y, z ) 0
坐标平面
轴
xOy的方程: z 0
母线
2.旋转曲面
§1.4 曲面及其方程 建立 yOz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: z 给定 yOz 面上曲线: f ( y, z ) 0
若点 M1 (0, y1 , z1 ) C ,
xOz 平面上曲线
f ( x, z ) 0
f ( x, y 2 z 2 ) 0
f ( x 2 y 2 , z ) 0
§1.4 曲面及其方程
2 2 x z 例 1 求 xOz 坐标面上的双曲线 2 2 1 分别绕x 轴和 z 轴旋转一周所得曲面 a c 的方程。
2 2 2 x y z 解：绕 x轴： 2 1 2 a c
绕 x轴
xOy平面上曲线 f ( x, y ) 0 yOz 平面上曲线 f ( y, z ) 0
f ( y, x 2 z 2 ) 0 f ( x 2 y 2 , z ) 0
绕y轴
绕z 轴
f ( x, y 2 z 2 ) 0 f ( x 2 z 2 , y ) 0
f ( y1 , z1 ) 0
则有
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M ( x, y, z ) , 则有
o
y
z z1 ,
x 2 y 2 y1
x
故旋转曲面方程为
f ( x 2 y 2 , z) 0
§1.4 曲面及其方程 坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成曲面的方程:
x2 y2 z 2 R2
z
M0
o
M
y
x
§1.4 曲面及其方程
2.柱面
二、常见的曲面方程
——柱面的准线 ——柱面的母线
C
l
z
椭圆柱面
x2 y2 2 1 2 a b
抛物柱面
o x
y
双曲柱面
z
x2 y 2 2 1 z 2 a b
y
y 2 px( p 0)
2
o x
y
O
x
§1.4 曲面及其方程
(3)椭球面
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
(4)双曲面
单叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
双叶双曲面
x
a
O
c
b y
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
§1.4 曲面及其方程
(5)抛物面
椭圆抛物面
z
x2 y 2 2 2 pz ( p 0) 2 a b
双曲抛物面（马鞍面）
x
y
x2 y 2 2 2 pz ( p 0) 2 a b
2 2 2 x y z 绕 z轴： 2 1 2 a c
z
旋转双叶 双曲面
x
y
Байду номын сангаас旋转单叶 双曲面
§1.4 曲面及其方程
二、常见的曲面方程
1.球面
以点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )为球心，以 R 为半径的球面方程
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2
§1.4 曲面及其方程
1.曲面方程的概念
一、曲面方程的概念
F ( x, y, z ) 0
坐标平面
轴
xOy的方程: z 0
母线
2.旋转曲面
§1.4 曲面及其方程 建立 yOz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: z 给定 yOz 面上曲线: f ( y, z ) 0
若点 M1 (0, y1 , z1 ) C ,
xOz 平面上曲线
f ( x, z ) 0
f ( x, y 2 z 2 ) 0
f ( x 2 y 2 , z ) 0
§1.4 曲面及其方程
2 2 x z 例 1 求 xOz 坐标面上的双曲线 2 2 1 分别绕x 轴和 z 轴旋转一周所得曲面 a c 的方程。
2 2 2 x y z 解：绕 x轴： 2 1 2 a c
绕 x轴
xOy平面上曲线 f ( x, y ) 0 yOz 平面上曲线 f ( y, z ) 0
f ( y, x 2 z 2 ) 0 f ( x 2 y 2 , z ) 0
绕y轴
绕z 轴
f ( x, y 2 z 2 ) 0 f ( x 2 z 2 , y ) 0
f ( y1 , z1 ) 0
则有
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M ( x, y, z ) , 则有
o
y
z z1 ,
x 2 y 2 y1
x
故旋转曲面方程为
f ( x 2 y 2 , z) 0
§1.4 曲面及其方程 坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成曲面的方程: