随机解释变量

对一元线性回归模型
Yt 0 1 X t t
(4-10)
在第二章曾得到如下最小二乘估计量：
ˆ1
xt yt xt 2
1
xt t
xt 2
(4-11)
随机解释变量X与随机干扰项 的关系不同，参数OLS估计量的统计
性质也会不同。
分三种不同情况：
1．如果X与 相互独立，得到的参数OLS估计量仍然是无偏一致估计量。
为讨论方便，假设(4-1)式中X1为随机解释变量。
分析:
对于随机解释变量X1，由于它和随机扰动项μi的关系不同，会使模型
参数估计量的特性发生不同变化，所以又可分三种不同情况：
（1）．随机解释变量与随机干扰项独立
即
Cov( X1, i ) E(x1i ) E(x1)E(i ) 0
(4-2)
（2）．随机解释变量与随机干扰项同期无关,但异期相关
工具变量的选取 工具变量的应用 工具变量法估计量的性质
基本思路： 当随机解释变量X与随机误差项u高度相关时， 设法找到另一个变量Z，要求它与X高度相关，但 与u无关，从而用Z替换X，变量Z称为工具变量。
注意：替换不是在模型中替换，而是在正规方程 组中替换。
一、工具变量的选取
工具变量——在模型估计过程中被作为工具使用的变量，
用以替代与随机干扰项相关的随机解释变量。
被选择为工具变量的变量必须满足以下条件：
1. 工具变量Z与所替代的随机解释变量X高度相关，即
Cov(Zi , Xi ) 0
2. 工具变量 Z 与随机干扰项 不相关，即 Cov(Zi , i ) 0
（4-16） （4-17）
3. 工具变量 Z 与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
第一，工具变量法并没有改变原模型，只是在原模型的参数估计过程中用
工具变量“替代”随机解释变量。 或者说
可等价地分解成下面的两步OLS回归：
第一步，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归
Xˆ i
ˆ 0
ˆ1Zi
（4-27）
第二步，以第一步得到的 Xˆ i 为解释变量，进行如下OLS回归；
Yˆi %0 %1Xˆi
第三，
考虑到随机解释变量与随机干扰项相关的主要来源是由于同期测量误 差引起的，就可以用滞后一期的随机解释变量作为原解释变量的工具变量。
二、工具变量的应用（以一元回归模型为例说明）
记一元线性回归模型如下：
Yi 0 1X i i
(4-18)
用普通最小二乘法估计模型(4-18)式 得正规方程组：
Yi nˆ0 ˆ1 Xi
XiYi ˆ0
Xi ˆ1
Xi2
于是
(4-19)
ˆ1
xi yi xi 2
按照工具变量的选择条件选择 z为 X 的工具变量
于是随机解释变量问题主要表现： ——用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。
但是，并不是所有包含滞后被解释变量的模型都带来“随机解释变量问题” 。
例4-1:
耐用品存量调整模型。著名的“耐用品存量调整模型”可表示为
Qt 0 1Yt 2Qt1 t t 1,量 Qt 由前一个时期的存量 Qt1和当期收入 t
（4-9）
在该模型中，作为解释变量的Ct1 不仅是一个随机解释变量，而且与模型的
随机干扰项 t t1 高度相关(因为Ct1 与 t1 高度相关)，属于随机解释变量
与随机干扰项同期相关的情况。
第二节 随机解释变量问题的后果
计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机干扰 项相关的话，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，则 不同性质的随机解释变量问题会产生不同的后果。
Ct 0 1Yte t
(4-7)
在预期收入Yt e 与实际收入Yt 之间存在假设：
Yt e
(1 )Yt
Yt
e 1
的情况下，容易推出合理预期消费函数模型：
(4-8)
Ct
0
1(1 )Yt
1Yt
e 1
t
0
1(1 )Yt
(Ct1
0
t1) t
0 (1 ) 1(1 )Yt Ct1 t t1
• 违背这个假设的情况，即是随机变量，而 且与随即误差项相关，称之为随机解释变 量问题。
2、随机解释变量问题的3种情况
例: 对于模型
Yi 0 1X1i 2 X 2i L k X ki i
i 1，2，L ，n （4-1）
其基本假设之一是解释变量X1，X2，…，Xk都是确定性变量。如果 存在一个或多个解释变量为随机变量，则称原模型存在随机解释变量问题。
§15.随机解释变量
• 一、随机解释变量问题 • 二、随机解释变量的后果 • 三、工具变量法
ui
第一节、随机解释变量问题
• 1、随机解释变量问题
单方程线性计量经济学模型假设之一：
Cov(xij , ui ) 0
即：随机解释变量与随机误差项不相关。 这一假设实际上是要求：
要求X是确定性变量，而不是随机变量； 或者要求X虽是随机变量，但与随机误差项不相关。
注意：
如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变 量，则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相 关时，OLS估计量是有偏的、且是非一致的。
即使同期无关，其OLS估计量也是有偏的， 因为此时肯定出现异期相关。
三、工具变量法
模型中出现随机解释变量并且与随机干扰项相关时，普通最小二乘估计 量是有偏的。如果随机解释变量与随机干扰项异期相关，则可以通过增大样 本容量的办法来得到一致的估计量；但如果是同期相关，即使增大样本容量 也无济于事。这时，最常用的方法是工具变量(instrument variables)法。
P lim 1 n
zi xi Cov(Zi , X i ) 0
P lim 1 n
zi i Cov(Zi , i ) 0
因此，对式（4-23），两边取概率极限得
P lim 1
P lim(%1)
1
n P lim 1
n
zi i 1
zi xi
这说明工具变量法估计量具一致性。
（4-26）
特别指出：
即
Cov( X1i , i ) E(x1ii ) 0
Cov( X1i , j ) E(x1i j ) 0
(4-3)
(4-4)
（3）．随机解释变量与随机干扰项同期相关
即
Cov( X1i , i ) E(x1ii ) 0
(4-5)
i j
二、随机解释变量问题产生的原因
在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。 但是，在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。
与
t
t
相关，因此
E
(kt
t
)
0
，于是
E(ˆ1) 1
（4-15）
即参数OLS估计量是有偏的。但是由（4-14）可看出 ˆ1 是 1 的一致估计。
3．如果 X与 同期相关，得到的参数估计量有偏且非一致。
这时Cov(Xt,μt)=E(xtμt)≠0,由（4-12）、（4-14）容易看出 参数OLS估计量有偏且非一致。
共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不
存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量
Qt 1只与
相关，与
t 1
t
不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况。
例4-2:
合理预期的消费函数模型。合理预期理论认为消费 Ct 是由对收入的预期
Yte 所决定的：
1．工具变量法估计量是有偏估计量 2．工具变量法估计量是一致估计量
1．工具变量法估计量是有偏估计量
用工具变量法所求的参数估计量 %1与总体参数真值 1 之间的关系为
%1
zi yi zi xi
zi (1xi
zi xi
i )
1
zi i
zi xi
于是
E(%1) 1 E(
zii )
zi xi
1
所以参数OLS估计量 ˆ0 , ˆ1 仍然是无偏一致估计量
(4-12) (4-13) （4-14）
分三种不同情况：
2．如果X与 同期不相关而异期相关，得到的参数OLS估计量有偏，但却
是一致的。由(4-12)式易知，尽管X t与 t同期无关，但对任一
t，k
的
t
分母中一定包含不同期的X
,由异期相关性知k
%= (Z X)-1 Z Y （4-22）
通常，对于没有选择另外的变量 作为工具变量的解释变量，可以认为 用自身作为工具变量。于是Z称为工 具变量矩阵。
其中
1 1 L
Z1
Z2 L
Z
X 21 L
X 22 L
L L
X k1 X k 2 L
1
Zn
X 2n L
X kn
三、工具变量法估计量的性质
（4-28）
特别指出：
第二，
如果一个随机解释变量可以找到多个相互独立的工具变量，人们 希望充分利用这些工具变量的信息，这就形成了广义矩方法(GMM)。
在GMM中，如何求解成为它的核心问题。 GMM是近20年计量经济学理论方法发展的重要方向之一。 工具变量法是GMM的一个特例 OLS法也可看成是工具变量法的特例。
（4-23）
（4-24）
因
Z
和
X
都是随机变量，在一般情况下
E(
zii zi xi
)
0
，故
E(%1) 1
（4-25）
上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。
2．工具变量法估计量是一致估计量
Cov(Zi , X i ) 0
Cov(Zi , i ) 0
如果工具变量 Z 选取恰当，则由（4-16）、（4-17）有
以一元线性回归模型为例进行说明。
图4-1
从图形 (图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽 取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总 体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate) 了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机 干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。
E(ˆ1) 1 E(
xt xt 2
t
)
1
E(kt t )
而 E(kt t ) E(kt )E(t ) 0 ,所以
E(ˆ1) 1
同理， E(ˆ0) 0
lim n
ˆ1
P
lim
n
1
xt t
xt 2
1
P lim( 1 n
P lim( 1
n
xt t )
xt 2 )
1 Cov( X t , t ) / Var( X t )
得正规方程组：
Yi n%0 %1 Xi
ZiYi %0
Zi %1 Zi Xi
于是
（4-20）
%1
zi yi zi xi
（4-21）
二、工具变量的应用（以多元线性回归模型为例说明）
其矩阵形式为
Y Xβ
采用工具变量法得到的 正规方程组为
采用参数估计量得到的 正规方程组为
ZY = ZX