熊伟编《运筹学》习题十二详细解答
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习题十二
12.1 证明本章中的定理4
12.2求出下列得益矩阵中所表示的对策中的混合策略纳什均衡．
L R L
2，1
0，2
R 1，2 3，0
【解】设局中人1分别以21x x 和的概率选择L 和R 策略，局中人2分别以21y y 和的概率选择L 和R 策略，用方程组方法，则可得到：
1212122201x x x x x x +=+⎧⎨
+=⎩ 1212
12
20131y y y y y y +=+⎧⎨+=⎩ 解出：122/3,1/3x x ==， 123/4,1/4y y ==。混合策略纳什均衡为：G=(**,y x )
其中： ()*
*
(2/3,1/3),3/4
,1/4T
T
x y ==
12.3 求解下列矩阵对策，其中赢得矩阵A 分别为
(1)5692354810⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， (2) 632745206⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， (3)75
91066
4132321452
34675
57
8
6⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【解】（1）有鞍点。最优解13(,)αβ，V G =5 (2) 有鞍点。最优解11(,)αβ，V G =2
(3) 有鞍点。最优解12(,)αβ及52(,)αβ，V G =5 12.4利用优超原则求解下列矩阵对策
（1）A=13
9225
76302522
40-⎡⎤⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦
， (2) 2
343
56
41324
2145734645
41
2
6A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=--⎢
⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【解】（1）
9113
213-2256256252525630530530332762542-200305220A -⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=→→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
-⎣⎦⎣⎦
- 由公式（12.19）～（12.23）得
11221221()()15a a a a +-+=-
*110,,,022X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*51,,0,066Y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；52G V =
(2) 4132
4132621424
13234643421453346441263464412654
75
2654
1A ---⎡⎤
-⎡⎤
⎢⎥-⎡
⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→---⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦⎢⎥⎣⎦
-- 34434441642166--⎡⎤⎡⎤
→→⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
第2列与第3列的凸组合(如：0.5(4,1)+0.5(-4,6)<(3,4))优超于第1列
4416-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
最优解：
58103280,0,0,,;0,0,,0;1313131313G X Y V ⎛⎫⎛
⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12.5用线性规划法求解矩阵对策
732645307A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
【解】局中人Ⅰ：
123
12312
123
1,2,3min 76313412571
z x x x x x x x x x x x x x x ⎧=++⎪
+-≥⎪⎪
+≥⎨⎪-+≥⎪⎪≥⎩ 局中人Ⅱ：
1231231231312,3max 73216451371,0
w y y y y y y y y y y y y y y ⎧=++⎪
++≤⎪⎪
+-≤⎨⎪-+≤⎪⎪≥⎩ 模型Ⅱ的最优表：
C(j)
1
1
1
b
Basis C(i) Y1 Y2
Y3 Y4 Y5 Y6 Y2 1 2.619 1 0 0.333 0 -0.0952 0.2381 Y5 0 -6.619 0 0 -1.33 1 1.0952 0.7619 Y3
1
-0.4286 0 1 0 0 0.1429 0.1429 C(j)-Z(j)
-1.1905
-0.3333
-0.0476
0.381
线性规划的最优解：Y=(0，0.2381，0.1429)，X=(0.3333，0，0.0476)；w=0.381 作变换得到对策的解：X *=（0.8748，0，0.1251），Y *=(0，0.6249，0.3751)；V G =2.6247
12.6 若二人零和对策的赢得矩阵为
(1) A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3542; (2) A=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡535442632; (3) A=0000,0,0,0a b c c a b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦>⎣ 求混合策略纳什均衡．
【解】（1）列方程组。混合策略纳什均衡：X ＝(0.5，0.5)，Y ＝(0.25，0.75)；V G ＝3.5 （2）用优超法。混合策略纳什均衡：X ＝(0，0.5，0.5)，Y ＝(0.25，0.75，0)；V G ＝3.5 （3）原题有误，改为
0000,0,0,0a b c c a b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦
>⎣ 列方程组：
12
31231
ax V
bx V cx V x x x =⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪++=⎩ ， 12
31231
ay V
by V cy V y y y =⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪++=⎩ 求解得到混合策略纳什均衡：
123,,bc ac ab
x x x bc ac ab bc ac ab bc ac ab
=
==
++++++ 123,,bc ac ab
y y y bc ac ab bc ac ab bc ac ab
===
++++++ abc
V bc ac ab =
++
12.7 求下列二人非零和非合作型对策的纳什均衡．
（1）()()()()⎥⎦⎤⎢
⎣⎡4,41,13,32,2； （2）()()()()⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡1,32,62,41,2 【解】(1)划线法：有纯策略纳什均衡，双方都取策略2。