最新人教版数学八年级上册模型构建专题：共顶点的等腰三角形

模型构建专题：共顶点的等腰三角形

——明模型，悉结论

◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形

1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．

(1)求证：AD＝CE；

(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．

◆类型二共顶点的等边三角形

2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.

(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；

(2)试说明AE∥BC的理由；

(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．

参考答案与解析

1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，

∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE (SAS)，∴AD ＝CE .

(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .

2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．

(2)∵△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .

(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，

∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，

∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .