《高二数学椭圆》PPT课件
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椭圆的课件ppt
$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
椭圆的简单几何性质课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
y的范围:__________
x轴，y轴
对称轴是___________，对称中心是
坐标原点
_____________
a,0 , 0,b
(±b ,0), (0,±a)
2a
2b
长轴长＝______，短轴长＝______
c,0
(0,±c)
2c
新知探究
观察不同的椭圆 ( 如图 )，我们发现，椭圆的扁平程度不同，那
么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？
新知探究
思考：下面椭圆的形状哪一个更圆，哪一个更扁？
2 2
+
=1
25 16
2 2
+
=1
25 9
新知探究
椭圆的离心率
c
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比: e
叫做离心率。
a
(1)离心率的范围：
∵a > c > 0，∴ 1 >e > 0
(2)离心率变化对椭圆形状有什么影响？
轴长
焦点坐标
焦距
M
F1
o
F2 x
x2 y 2
2 1a b 0
2
a b
y 2 x2
2 1a b 0
2
a b
a x a
-b≤ x≤ b
x的范围:__________
x的范围:__________
-a≤ y≤ a
b y b
y的范围:__________
综上可知,椭圆的标准方程为 9
+
2
=1
3
2
或27
+
2
=1.
9
典例解析
2
x轴，y轴
对称轴是___________，对称中心是
坐标原点
_____________
a,0 , 0,b
(±b ,0), (0,±a)
2a
2b
长轴长＝______，短轴长＝______
c,0
(0,±c)
2c
新知探究
观察不同的椭圆 ( 如图 )，我们发现，椭圆的扁平程度不同，那
么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？
新知探究
思考：下面椭圆的形状哪一个更圆，哪一个更扁？
2 2
+
=1
25 16
2 2
+
=1
25 9
新知探究
椭圆的离心率
c
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比: e
叫做离心率。
a
(1)离心率的范围：
∵a > c > 0，∴ 1 >e > 0
(2)离心率变化对椭圆形状有什么影响？
轴长
焦点坐标
焦距
M
F1
o
F2 x
x2 y 2
2 1a b 0
2
a b
y 2 x2
2 1a b 0
2
a b
a x a
-b≤ x≤ b
x的范围:__________
x的范围:__________
-a≤ y≤ a
b y b
y的范围:__________
综上可知,椭圆的标准方程为 9
+
2
=1
3
2
或27
+
2
=1.
9
典例解析
2
椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆及其标准方程ppt课件
二、新课讲授，探究概念
思考2:如何求椭圆的方程？
探讨建立平面直
角坐标系的方案
y
y
y
M
y
F2
M
O
F1
O
O F2
x
O
方案一
x
x x
F1
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
二、新课讲授，探究概念
y
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段
M
F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角
(, 0)
2
2
x
y
2 1
2
a
b
y
M
(a b 0)
它表示：
F1
0
F2
① 椭圆的焦点在轴
② 焦点坐标为1 (−, 0)，2 (, 0)
③ 2 − 2 = 2
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程
是怎样的呢？
x
二、新课讲授，探究概念
y
焦点在轴上的椭圆的标准方程：
2
2
y
x
2 1
椭圆及其标准方程
年
级：高二年级
学
科：数学（人教A版）
一、新课引入，图片感知
压扁
一、新课引入，图片感知
二、新课讲授，探究概念
M
F1
F2
椭圆的产生
二、新课讲授，探究概念
思考1:
1.在椭圆形成的过程中，绳子的两端是固定的还是运动的？
M
F1F2 2c
F1
F2
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
2
a
b
(a b 0)
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
高二数学椭圆的性质PPT课件
②在椭圆标准方程的推导过程中令能使方程简单整齐， 其几何意义是什么？
答： c 表示半焦距， b 表示短半轴长，因此，联结顶点 B2 和焦点 F2 ， 可以构造一个直角三角形，在直角三角形内， OF2 2 B2F2 2 OB2 2 ，即
a2 c2 b2
问题3：
①若椭圆方程为
x2 a2
b y2 2
1(ab0),
其中，x 、y的取值范围是什么？
x2 a2
y2 b2
1变形为：
y b
2 2
1 x2 a2
0，x2
a2
x
a a x a
这就得到了椭圆在标准方程下 x 的范围： a x a ；
同理，我们也可以得到 y 的范围： b y b .
②分别过椭圆的顶点作所在对称轴的垂线，这四条垂线所在 的直线方程是什么？这个图形与椭圆的位置有何关系？
2、分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的草图
③ x2 y2 1
94
④ x2 y2 1
49 36
例 1 已知椭圆的方程为 9x 2 4 y 2 36 。
（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标； （2） 写出与椭圆 9x 2 4 y 2 36 有相同焦点的至少两个不同的椭圆
方程。
例 2：（1）求以原点为中心，一个焦点为 (0,1), 且长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆方程；
a2 b2
y
B1
A1
F1
F2
A2
x
B2
答：各两个交点, x轴与椭圆交点A (a,0), A (a,0)
1
2
y轴与椭圆 B1(的 0,b)交 ,B2(0点 ,b)我 , 们把这四个点
叫做椭圆的顶点
高中数学课件圆锥曲线基本知识-椭圆课件.ppt
2024/9/27
15
练习 3
椭圆 4x2 y2 16
长轴长是 短轴长是 离心率是 焦点坐标 准线方程
2024/9/27
16
练习 4
椭圆
x2 y2 1 a8 9
的离心率是0.5，求a的值？
2024/9/27
17
练习 5
假设椭圆x2行于x轴，那么m的
2024/9/27
7
练习 7
过点〔3，-2〕且与椭圆 4x2+9y2=36有相同焦点的 椭圆方程是
2024/9/27
8
练习 8
椭圆x+2 4y 2=36的弦被点〔4， 2〕所平分，那么此弦所在 的直线方程是
2024/9/27
9
练习 9
P(x,y)是椭圆4x2+9y2 =36 上的动点，定点A(a,0) (o<a<3),|AP|的最小值是1， 那么a的值为
P x
(a>b>0)
12
椭圆中的根本元素
长轴：2a 短轴：2b 焦距：2c 离心率：e=
2024/9/27
13
练习 1
过椭圆 4x2 y2 16的一个
焦点F1的直线与椭圆交于A、 B两点，F2为椭圆的另一个焦 点，那么三角形ABF2的周长 是
2024/9/27
14
练习 2
假设方程x2 ky2 2 表示焦 点在y轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是
2024/9/27
10
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和 等于常数〔大于|F1F2|〕的点的轨迹 叫做椭圆
到一个定点的距离和它到一条定 直线的距离的比是常数e (0<e<1) 的点的轨迹叫做椭圆
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
椭圆及其标准方程课件课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
得k ( 2, ) ( ,1)
1 k 2 k
2
2
2 k 1 k
1 k 0
2
2
x
y
1
1何时表示焦点在y轴上的椭圆? 析 : 2 k 0
得k ( ,1)
1 k 2 k
2
x
2 k 1 k
2
2
应用新知
例题1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是1 −2，0 、2 2，0 ，
x2 y2
所以所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
应用新知
求椭圆标准方程的主要方法有：
(1) 定义法：用定义寻找a, b, c的方程；
(2) 待定系数法：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.
待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.
(3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”， 即确定焦点的位置；
(0, ) ，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
+ = >>
新知探究
思考：观察两个标准方程，从椭圆的标准方程如何判断焦点的位置？
焦点在 轴的椭圆的标准方程:
+ = >>
焦点在 轴的椭圆的标准方程:
+ = >>
x2
y2
(1)
1
(4)9x 2 25y 2 225 0
16
16
2
2
x2
y2
(
5
)
3
x
2
y
1
( 2)
1 k 2 k
2
2
2 k 1 k
1 k 0
2
2
x
y
1
1何时表示焦点在y轴上的椭圆? 析 : 2 k 0
得k ( ,1)
1 k 2 k
2
x
2 k 1 k
2
2
应用新知
例题1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是1 −2，0 、2 2，0 ，
x2 y2
所以所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
应用新知
求椭圆标准方程的主要方法有：
(1) 定义法：用定义寻找a, b, c的方程；
(2) 待定系数法：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.
待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.
(3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”， 即确定焦点的位置；
(0, ) ，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
+ = >>
新知探究
思考：观察两个标准方程，从椭圆的标准方程如何判断焦点的位置？
焦点在 轴的椭圆的标准方程:
+ = >>
焦点在 轴的椭圆的标准方程:
+ = >>
x2
y2
(1)
1
(4)9x 2 25y 2 225 0
16
16
2
2
x2
y2
(
5
)
3
x
2
y
1
( 2)
《高二数学椭圆》PPT课件
|MF2|＝10－|MF1|＝8，|ON|＝12|MF2|＝4.
答案：B
第二章 2.1 第11课时
第13页
人教A版·数学·选修1-1
45分钟作业与单元评估
二合一
5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，|F1F2|＝4，P为椭圆上的
点，|PF1|＋|PF2|＝4 2，且PF1⊥PF2，则点P的个数为( )
() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
第二章 2.1 第11课时
第11页
人教A版·数学·选修1-1
45分钟作业与单元评估
二合一
解析：由k－2>0,5－k>0，k－2≠5－k得2<k<5，k≠
7 2
，所
以“k>2”是“方程
x2 k－2
＋
y2 5－k
＝1表示的曲线是椭圆”的必要不
第二章 2.1 第11课时
第23页
人教A版·数学·选修1-1
45分钟作业与单元评估
二合一
①＋②，得|MC1|＋|MC2|＝10>|C1C2|＝6.∴M的轨迹为以 C1、C2为焦点的椭圆，2a＝10,2c＝6.∴b2＝16.∴所求轨迹方程
为2x52 ＋1y62 ＝1.联立方程2xx52＋＋31y622＋＝y12，＝9，
二合一
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若椭圆的两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且经 过(5,0)点，则该椭圆的标准方程是________．
解析：由已知可得c＝4，a2＝25，b2＝9，∴椭圆的标准方 程为2x52 ＋y92＝1.
答案：2x52 ＋y92＝1
第二章 2.1 第11课时
高二数学人教A版选择性必修第一册课件：3.1.1椭圆及其标准方程
解析：若 0 m 4 ，则 m 3 4 ，得 m 7 (舍去)；
若 m 4 ，则 m 3 2 m ，解得 mm 9 ，所以焦点坐标为 0, 5 .
x2
4. 设 F1 ，F2 分别为椭圆 y 2 1 的左右焦点，点 A ，B 在椭圆上，若
笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如
果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点1 ， 2 （如图
），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持
的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 P {M | | MF1 | | MF2 | 2a} .
因为 | MF1 | ( x c)2 y 2 ，
| MF2 | ( x c)2 y 2 ，
所以 ( x c)2 y2 ( x c)2 y 2 2a .①
2
解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：寻求点 M 的坐标 ，
中 ，与 0 ，0 之间的关系，然后消去0 ，0 ，得到点M的轨迹方
程.
例 3 如图，设 A，B 两点的坐标分别为 (5 ，
0) ，
(5 ，
0) .直线
4
AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 ，求点 M 的轨迹
2
−
2.
令 = || =
2
−
2
2 ，那么方程⑤就是 2
+
2
2
= 1 ( >
> 0) .⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都
人教A版高二数学《椭圆及其标准方程》课件
y
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
椭圆及其标准方程(24张PPT)
知识生成
• (1)取一条细绳 • (2)把它的两端固定在图板上的两
点F1、F2 • (3)用铅笔尖把细绳拉紧，在图板上
慢慢移动看看画出的图形
知识生成
思考1
（1）在画图的过程中，F1、F2的位置是固定的
还是运动的？
固定的
F11
（2）在画图的过程中，绳子的长度变了没有？
说明了什么？
|MF1|+|MF2|为定值
x2
y2
(4) 1
m2 m2 1
焦点坐标为： F1(0,1)，F2 (0,1)
应用拓展
2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
y
并且经过点P
5 ， 3 2 2
，求它的标准方程.
F1 O
解：因为椭圆的焦点在x轴上，设 由椭圆的定义知
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
2a
椭得圆，的b焦2 x距2 为a22 yc，2 则a有2bF2 1(-c，0)、F2(c，0).
化 两边同又除设以Ma与2bF2得1，axF222的 距by22离的1.和(a等于b 2a0)
构建方程
焦点在 x 轴上,椭圆的 标准方程
y
M (x, y)
F1 O
F2
x
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当2a<2c时，即距离之和小于焦距时
知识生成
1.当2a 2c时，M点的轨迹是 椭圆 2.当2a 2c时，M点的轨迹是 线段F1F2 3.当2a 2c时，M点的轨迹是 不存在
知识深化
思考3
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为
10,则M点的轨迹是什么？
高中数学椭圆公开课全省一等奖PPT课件
03
提高数学思维能力
通过学习和练习，提高数学思 维能力，包括逻辑推理、归纳 分类、化归等思想方法的应用 能力。
04
关注数学文化
了解数学史、数学名著和数学 家的故事等数学文化内容，丰 富自己的数学素养和视野。
2024/1/25
30
感谢您的观看
THANKS
2024/1/25
31
PF_2$，若$Delta PF_1F_2$的面积为9，求椭圆的方程。
7
02
椭圆与直线关系
2024/1/25
圆方程的解的情况，可以确定直线与椭圆的位置关系， 如相切、相交或相离。
判别式法
将直线方程代入椭圆方程，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的二 次方程，通过判别式Δ的值来判断位置关系。当Δ>0时，直线与椭圆相交；当 Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离。
例题4
结合实际问题，利用参数方程求 解最值问题。
01
02
例题1
已知椭圆的参数方程，求其普通 方程和焦点坐标。
03
04
例题3
利用参数方程研究椭圆上点的运 动轨迹和性质。
2024/1/25
22
05
高考真题回顾与拓展延伸
2024/1/25
23
历年高考真题回顾
（2019年全国卷II）椭圆的焦点 三角形面积问题
解题思路
首先根据题目条件列出方程或不等式，然后结合图形分析，运用相关知识点进行 求解。在解题过程中，需要注意数形结合思想和转化与化归思想的应用。
2024/1/25
12
03
椭圆在几何图形中应用
2024/1/25
13
利用椭圆性质求最值问题
高二数学《椭圆的简单几何性质》PPT课件
►
► 椭圆标准方程表示的椭圆是关于x轴、y轴及
原点对称的 ► 此时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆 的对称中心即椭圆的中心。
4.离心率
2c c e ► 定义：椭圆的焦距与长轴长的比 2a a ► e的取值范围：0<e<1
► 椭圆性质
:离心率e
► 离心率e表示椭圆的圆扁度，e越接近1椭圆越
扁，e越接近于0，椭圆就越圆。
四、课堂小结
►比较两种不同的椭圆标准方程所表示的
椭圆几何性质的异同
方程
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y
y2 x2 2 1 2 a b
y
a b 0
图 性
O x O x
象
质
顶点坐标 范 围
（±a，0）、（0，±b）
（0，±a）、（±b，0）
-a≤x≤a -b≤y≤b (±c，0)
2 2
2
2.范围
观察图形
y b
-a
F1
O
F2
a
x
-b
利用方程来判断
椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里
3.对称性
观察图形 ► 利用方程判断椭圆（曲线）的对称性： 若以－y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若以－x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若以－y代y，以－x代x，方程不变，则曲线关于原点对称。
8.2椭圆的简单几何性质 （一）
一、复习
► 椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆。
► 焦点在x轴上的椭圆的标准方程
x2 y2 2 1 2 a b
二、讲授新课
a b 0
► 椭圆标准方程表示的椭圆是关于x轴、y轴及
原点对称的 ► 此时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆 的对称中心即椭圆的中心。
4.离心率
2c c e ► 定义：椭圆的焦距与长轴长的比 2a a ► e的取值范围：0<e<1
► 椭圆性质
:离心率e
► 离心率e表示椭圆的圆扁度，e越接近1椭圆越
扁，e越接近于0，椭圆就越圆。
四、课堂小结
►比较两种不同的椭圆标准方程所表示的
椭圆几何性质的异同
方程
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y
y2 x2 2 1 2 a b
y
a b 0
图 性
O x O x
象
质
顶点坐标 范 围
（±a，0）、（0，±b）
（0，±a）、（±b，0）
-a≤x≤a -b≤y≤b (±c，0)
2 2
2
2.范围
观察图形
y b
-a
F1
O
F2
a
x
-b
利用方程来判断
椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里
3.对称性
观察图形 ► 利用方程判断椭圆（曲线）的对称性： 若以－y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若以－x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若以－y代y，以－x代x，方程不变，则曲线关于原点对称。
8.2椭圆的简单几何性质 （一）
一、复习
► 椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆。
► 焦点在x轴上的椭圆的标准方程
x2 y2 2 1 2 a b
二、讲授新课
a b 0
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第二章
2.1 第11课时
第21页
人教A版· 数学· 选修1-1
45分钟作业与单元评估
二合一
解：设所求椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1. 1 m＝15， 3m＋4n＝1， 将两点的坐标代入，得 解得 12m＋n＝1， n＝1. 5 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
第28页
人教A版· 数学· 选修1-1
45分钟作业与单元评估
二合一
∴(2a－m)2＝m2＋(2c)2，且c2＝a2－1， ∴am＝1. → |AF2| m → → 又cos〈AF1，AF2〉＝ ＝ ， → 2a－m |AF1| m ∴9· (2a－m)· m· ＝(2a－m)2. 2a－m
2 a x 解得m＝2.∴a2＝2.∴椭圆M的方程为 2 ＋y2＝1.
答案：C
第二章
2.1 第11课时
第16页
人教A版· 数学· 选修1-1
45分钟作业与单元评估
二合一
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若椭圆的两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且经 过(5,0)点，则该椭圆的标准方程是________．
解析：由已知可得c＝4，a2＝25，b2＝9，∴椭圆的标准方 x2 y2 程为 ＋ ＝1. 25 9
第二章
2.1 第11课时
第29页
人教A版· 数学· 选修1-1
45分钟作业与单元评估
二合一
(2)由(1)可知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x，y)， → → 则PF1＝(－1－x，－y)，PF2＝(1－x，－y)， x2 2 且 2 ＋y ＝1， → → ∴PF1· PF2＝x2＋y2－1＝1－y2. ∵点P在椭圆上，∴y∈[－1,1]， → → ∴PF1· PF2的最大值为1，最小值为0.
第二章
2.1 第11课时
第5页
人教A版· 数学· 选修1-1
45分钟作业与单元评估
二合一
基础训练 作 业设计
限时：45分钟 总分：90分
第二章
2.1 第11课时
第6页
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45分钟作业与单元评估
二合一
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) x2 y2 1．过点(3，－2)且与 9 ＋ 4 ＝1有相同焦点的椭圆方程为 ( ) x2 y2 A. ＋ ＝1 15 10 x2 y2 C.10＋15＝1 x2 y2 B. ＋ ＝1 225 100 x2 y2 D.100＋225＝1
第12页
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45分钟作业与单元评估
二合一
x2 y2 4．椭圆 ＋ ＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1 25 9 的中点，则|ON|等于( A．2 C．8 ) B．4 3 D. 2
解析：连接MF2，已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10， 1 |MF2|＝10－|MF1|＝8，|ON|＝2|MF2|＝4.
第二章
2.1 第11课时
第30页
撷取百家精妙· 荟萃时代品牌
谢谢观赏！
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飞天影音PPT
第二章
2.1 第11课时
第22页
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45分钟作业与单元评估
二合一
11．(15分)动圆M与定圆C1：x2＋y2＋6x＝0外切，且内切 于定圆C2：x2＋y2－6x＝40，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：定圆C1：(x＋3)2＋y2＝32，设动圆圆心M(x，y)，半径 为r， ∵动圆M与定圆C1外切，∴|MC1|＝r＋3.① 又圆M内切于定圆C2：(x－3)2＋y2＝49， ∴|MC2|＝7－r.②
作 业 设 计
挑 战 能 力
第二章
2.1 第11课时
第3页
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45分钟作业与单元评估
二合一
基础训练 作 业目标
第二章
2.1 第11课时
第4页
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45分钟作业与单元评估
二合一
1.通过探索椭圆定义的形成过程，锻炼观察能力和探索能 力. 2.能解决与椭圆有关的轨迹问题.
2 4 y D．x2＋ 3 ＝1(y≠0)
)
第二章
2.1 第11课时
第15页
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45分钟作业与单元评估
二合一
x2 y2 解析：由椭圆C： ＋ ＝1可知焦点坐标为(－1,0)， 4 3 －1＋1＋x′ x′ (1,0)，设P(x′，y′)，G(x，y)，则有x＝ ＝ 3 ，y 3 0＋0＋y y′ x′2 y′2 ＝ ＝ 3 ，所以x′＝3x，y′＝3y，又 4 ＋ 3 ＝1， 3 9x2 9y2 9x2 所以 ＋ ＝1，即 ＋3y2＝1(y≠0)． 4 3 4
答案：以(0，－3)，(0,3)为焦点且曲线上的点到两焦点的 距离之和为10的椭圆
第二章
2.1 第11课时
第18页
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二合一
x2 y2 9．椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果 12 3 线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．
答案：B
第13页
第二章
2.1 第11课时
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二合一
5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，|F1F2|＝4，P为椭圆上的 点，|PF1|＋|PF2|＝4 2，且PF1⊥PF2，则点P的个数为( A．4 C．2 B．3 D．1 )
x2 y2 解析：由已知椭圆方程为 ＋ ＝1，P的个数即椭圆与圆 8 4 x2＋y2＝4交点的个数．
x2 y2 答案：25＋ 9 ＝1
第二章
2.1 第11课时
第17页
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x2＋y＋32
二合一
8．已知动点P(x，y)的坐标满足方程
＋
x2＋y－32＝10，则动点P的轨迹为________．
解析：由关系式知10>6，则此方程表示以(0，－3)，(0,3) x2 y2 为焦点，且2a＝10的椭圆，其标准方程为16＋25＝1.
第二章
2.1 第11课时
第23页
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二合一
①＋②，得|MC1|＋|MC2|＝10>|C1C2|＝6.∴M的轨迹为以 C1、C2为焦点的椭圆，2a＝10,2c＝6.∴b2＝16.∴所求轨迹方程 x＋32＋y2＝9， 2 x y 为 25 ＋ 16 ＝1.联立方程 x y2 ＋ ＝1， 25 16
2 2
10 解得x＝－ 3 ，故所
10 x2 y2 求轨迹方程为25＋16＝1－ 3 <x≤5.
第二章
2.1 第11课时
第24页
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二合一
挑基础训练 战能力
第二章
2.1 第11课时
第25页
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第8页
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二合一
x2 2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是 3 椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是( A．2 3 C．4 3 ) B．6 D．12
第二章
2.1 第11课时
第9页
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二合一
解析：设F是椭圆的另外一个焦点，由椭圆的定义知|BA| ＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，∴周长为4a＝4 3.
答案：C
第二章
2.1 第11课时
第10页
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二合一
x2 y2 3．“k>2”是“方程 ＋ ＝1表示的曲线是椭圆”的 k－2 5－k ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二合一
x2 y2 12．(5分)已知F1，F2是椭圆C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的两个焦 a b → → 点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________.
|PF1|＋|PF2|＝2a， |PF2|＝18， 解析：依题意，有 |PF1|· |PF |2＋|PF |2＝4c2， 1 2 4a2，即a2－c2＝9，故b＝3.
第二章
2.1 第11课时
第19页
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二合一
解析：焦点F1(－3,0)，设P(x0，y0)，M(0，y′)，则有 0＝－3＋x0， 2 0＋y0 y′＝ 2 ，
x0＝3， 所以 y0＝2y′.
2 2 2 4 y ′ x2 y 3 0 0 又12＋ 3 ＝1，则12＋ 3 ＝
答案：C
第二章
2.1 第11课时
第14页
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x2 y2 6．已知F1，F2分别为椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点，点 4 3 P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( x2 y2 A.36＋27＝1(y≠0) 4x2 2 B. 9 ＋y ＝1(y≠0) 9x2 C. 4 ＋3y2＝1(y≠0)
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二合一
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
圆锥曲线与方程