公因式的提取方法及常见题型

因式分解

概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式

分解，也可称为将这个多项式分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形：

()

m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解

式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式

因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法.

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式、十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式.

在分解因式时，结果的形式要求：

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要

注意能否再分解；

③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.

例题：

判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.

⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+

⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++

（1） 提取公因式：

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

1、ad bd d -+；

2、23361412abc a b a b --+

3、32461512a a a -+-

4、3222524261352xy z xy z x y z -++

5、22224()x a x a x +--

6、 346()12()m n n m -+-

7、(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-

8、2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--n 为正整数.

（2） 公式法：

平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+

2222()a ab b a b -+=-

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.

需要了解的公式：

3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

1、44a b -

2、22()()a b c d a b c d +++--+-

3、481y -

4、22122

x y -+

5、44()()a x a x +--

6、81644

x -

7、2292416x xy y -+= 8、22222()4x y x y +-

9、22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；

10、在实数范围内分解因式：42514a a --

11、26a -+

12、66a b -

13、()()()()2432

2121212

11+++++

14、232

2

1111

(1)(1)(1)(1)23410----

（3） 十字交叉法：

一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成

1

2

a a 1

2

c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++

若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解

1、256x x ++

2、256x x -+

3、26x x --

4、2672x x -+

5、2121115x x --

6、21220x x ++

7、256x x -++ 8、26136x x -+

9、222064xy y x -++ 10、2273320x x --

11、2214425x y xy +- 12、2212197x xy y -+

13、633619216x x y y -- 14、42730x x +-

15、2222()abcx a b c x abc +++ 16、2()()x a b c x a b c +++++