上课 数学归纳法 徐造炎

2 解：(1)由条件得 2bn＝an＋an＋1，an ＋1＝bnbn＋1.
由此可得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立．
②假设当 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时，结论成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k ＋1)(k＋2)．
用数学归纳法证明不等式 1、当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用 其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． 2、用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成 立，推证n＝k＋1时也成立，证明时需要 （1）用上归纳假设 （2）可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、 放缩法等证明．
[例 2] 数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*，点(n， Sn)均在函数 y＝bx-1(b＞0 且 b≠1，b 为常数)的图象上．当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的 n∈N*，不等式 b1＋1 b2＋1 bn＋1 · ·„· ＞ n＋1成立． b1 b2 bn
归纳奠基，第二步是归纳递推，二者缺一不
可．
思考感悟
数学归纳法的两个步骤各有何作用？
提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，
第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是
递推的依据，也叫归纳递推，两者缺一不可．
nn－3 1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 2 条 时，第一步检验 n 等于 A． 1 C． 3 B． 2 D．0 ( )
[例 1]用数学归纳法证明： 1 1 1 1 n ＋ ＋ ＋„＋ ＝ (n∈N*)． 2×4 4×6 6×8 2n2n＋2 4n＋1
1 1 证明：(1)当n＝1时，等式左边＝ ＝ ， 2×1×2×1＋2 8 1 1 等式右边＝ ＝ . 4×1＋1 8 等式左边＝等式右边，所以等式成立．
答案：2k
5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋
1)＝f(k)＋________.
解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形．
答案：π
考点探究·挑战高考
用数学归纳法证明等式 1．用数学归纳法证明等式问题是常见题型， 其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等 式两边各有多少项，初始值n0是几． 2．由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变 化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充 分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从 而使问题得以证明．
解析：∵n≥3，∴第一步应检验n＝3.
答案：C
n＋ 2 1 － a ＋ 2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋„＋an 1＝ 1－a
(a≠1)”，在验证 n＝1 时，左端计算所得的项为
A．1 C．1＋a＋a2
B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
(
)
解析：∵等式的左端为1＋a＋a2＋…＋an＋1， ∴当n＝1时，左端＝1＋a＋a2. 答案：C
归纳、猜想与证明 “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳 法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思 路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结 论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探 索性问题、存在性问题或与正整数有关的问题中 有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
2x [例 3]设 f(x)＝ ，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)． x＋2 (1)求 x2，x3，x4 的值； (2)归纳并猜想{xn}的通项公式； (3)用数学归纳法证明你的猜想．
答案：B
1 1 1 4．用数学归纳法证明“1＋ 2 ＋ 3 ＋„＋ n ＜n(n＞ 2 －1 1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左 边应增加的项的项数是________． 1 1 1 解析：当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋„＋ k ， 2 －1
当n＝k＋1时， 1 1 1 1 1 左边＝1＋2＋3＋ k ＋2k＋„＋ k＋1 . 2 －1 2 －1 ∴共增加(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．
小结与作业
一、课堂小结 （1）一种方法：数学归纳法 （2）两个环节：验证、递推 （3）三种题型：等式、不等式、归纳猜想与证明
注：①数学归纳法思想：“有限”>>>“无限” ② 递推环节注意分析、综合、放缩、做差等方法的应用
二、课后作业：作业手册、优化方案各一节
1 1 1 1 (2)假设 n＝k 时命题成立，即 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2＜2－ . 2 3 k k 1 1 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时， 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2＋ ＜2－ ＋ 2 3 k （k＋1）2 k （k＋1）2 1 1 1 1 1 ＜2－ ＋ ＝2－ ＋ － k k（k＋1） k k k＋1 ＝2－ 命题成立． k＋1 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立． 1
(2)假设 n＝k(k∈N 且 k≥1)时等式成立，即有
*
1 1 1 1 k ＋ ＋ ＋„＋ ＝ ， 2×4 4×6 6×8 2k2k＋2 4k＋1 1 1 1 1 则当 n＝k＋1 时， ＋ ＋ ＋„＋ ＋ 2×4 4×6 6×8 2k2k＋2 1 2k＋1[2k＋1＋2] ＝ k 1 ＋ 4k＋1 4k＋1k＋2
3．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝ 2n×1×3ׄ×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变 到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是 A．2k＋1 2k＋1 C. k＋1 B．2(2k＋1) 2k＋3 D. k＋ 1 ( )
解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)„(k＋k)； 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)· (k＋1＋2)· „· (k＋1＋k－ 1)· (k＋1＋k)· (k＋1＋k＋1)， 2k＋12k＋2 则左边应增乘的式子是 ＝2(2k＋1)． k＋1
2 解：(1)x2＝f(x1)＝3， 2 2× 3 1 2 x3＝f(x2)＝2 ＝2＝4， 3＋ 2 1 2× 2 2 x4＝f(x3)＝1 ＝ 5. 2＋ 2
2 (2)根据计算结果，可以归纳猜想出 xn＝ . n＋ 1 (3)①当 n＝1 时，x1＝ 2 ＝1，与已知相符，归纳出的公式成立． 1＋1 2 2xk ， 那么， x k ＋ 1＝ k＋1 xk＋2
2 2 2
解:
(1)当 n＝1 时，左边＝1，
1· 1＋12＋1 右边＝ ＝1，左边＝右边，等式成立； 6
(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立， kk＋12k＋1 即1 ＋2 ＋„＋k ＝ ， 6
2 2 2
则当n＝k＋1时，12＋22＋„＋k2＋(k＋1)2 kk＋12k＋1 2 ＝ ＋ ( k ＋ 1) 6 k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1] ＝ 6 所以当n＝k＋1时，等式仍然成立 由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kk＋2＋1 k＋12 k＋1 ＝ ＝ ＝ 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 4k＋2 k＋1 ＝ 4k＋1＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切 n ∈N*， 等式都成立.
nn＋12n＋1 跟踪训练： 求证：1 ＋2 ＋„＋n ＝ . 6
②假设当 n＝k(k∈N*)时， 公式成立， 即 xk＝ 2× 2 k＋1 4 2 ＝ ＝ ， 2k＋4 k＋1＋1
＝ 2 ＋2 k＋1
所以，当 n＝k＋1 时公式也成立． 由①②知，n∈N*时，有 xn＝ 2 成立． n＋ 1
思考练习：在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1 成等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列(n∈N*)． (1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测：{an}，{bn}的通项 公式，并证明你的结论； 1 1 1 5 (2)证明： ＋ ＋„＋ ＜ . a1＋b1 a2＋b2 an＋bn 12
第六单元 不等式、推理与证明
第39讲 数学归纳法
安庆二中 徐造炎
温故夯基·面对高考
1．数学归纳法的适用对象
正整数n 有关命 数学归纳法是用来证明与_________
题的一种方法，若n0是起始值，则n0是使命
最小正整数 ． 题成立的___________
2．数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)当n＝n0(n0∈N*)时，验证命题成立； (2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，推证n ＝____ k＋1 时命题也成立，从而推出命题对所有的 从n0开始的正整数n命题都成立，其中第一步是
证明：经计算 an＝2n－1，因此 bn＝2n(n∈N*)， 2＋1 4＋1 2n＋1 所证不等式为 · ·…· ＞ n＋1. 2 4 2n 3 ①当 n＝1 时，左式＝ ，右式＝ 2， 2 左式＞右式，所以结论成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，
2＋1 4＋1 2k＋1 即 · ·„· ＞ k＋1，则当 n＝k＋1 时， 2 4 2k 2＋1 4＋1 2k＋1 2k＋3 2k＋3 2k＋3 · · „· · ＞ k＋1· ＝ ， 2 4 2k 2（k＋1） 2（k＋1） 2 k＋1 要证当 n＝k＋1 时结论成立， 2k＋3 只需证 ≥ k＋2. 2 k＋1 2k＋3 即证 ≥ （k＋1）（k＋2）， 2
2 ak ＋1 bk＋1＝ b ＝(k＋2)2， k
所以当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②可知 an＝n(n＋1)， bn＝(n＋1)2 对一切正整数都成立．
1 1 5 (2)证明： ＝ ＜ . a1＋b1 6 12 n≥2 时，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 1 1 1 1 1 1 1 1 故 ＋ ＋„＋ ＜ ＋ [ ＋ ＋„＋ ] a1＋b1 a2＋b2 an＋bn 6 2 2×3 3×4 nn＋1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 5 ＝6＋2(2－3＋3－4＋„＋n－ )＝ ＋ ( － )＜ ＋ ＝ . n＋1 6 2 2 n＋1 6 4 12 综上，原不等式成立．
2k＋3 （k＋1）＋（k＋2） 由基本不等式知 ＝ ≥ 2 2 （k＋1）（k＋2）成立， 2k＋3 故 ≥ k＋2成立， 2 k＋1 所以，当 n＝k＋1 时，结论成立． b1＋1 b2＋1 bn＋1 由①②可知，n∈N 时，不等式 · ·„· ＞ b1 b2 bn
*
n＋1
成立．
1 1 1 1 跟踪训练： 用数学归纳法证明： 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2＜2－ (n∈N*， 2 3 n n n≥2)． 证明 1 5 1 3 (1)当 n＝2 时，1＋ 2＝ ＜2－ ＝ ，命题成立． 2 4 2 2