数学论文--古典概型

古典概型中样本空间的选取

数学与应用数学专业学生张媛媛

指导教师徐伟

摘要：在古典概型计算中由于样本点总数的计算必须在已经确定的样本空间进行，如何选取适当的样本空间是研究古典概型的首要问题。即使为同一问题，考虑的角度不同，得到的样本空间也不同。如果对古典概型的样本空间只作抽象的描述，不便于真正理解不同问题样本空间的联系和区别，以至于在求事件概率时，选取错误的样本空间，滥用古典概型公式，论文正是基于这一目的，在正确思路和有关基础理论的基础上，通过对典型的例子进行研究，分析其一般原则和最佳样本空间的构思，通过结构对称压缩法构造恰当的样本空间，选择最佳的样本空间，简化古典概率的求解。关键词：古典概型概率样本空间排列组合

The selecting of sample space in the classical probability model

Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Zhang Yuanyuan

Tutor Xuwei

Abstract: In the classical probability model，the calculation of the sample points must be conducted in sample space what have been identified .How select the appropriate sample space of classical probability model .Even for the same problem. Only for the abstract description about sample space in the probability model .Due to the different research questions，Sample space is also different. It is difficult to understand the links and differences between the different sample space .When seeking the probability of something will lead to selection the wrong sample space and abuse sample space .The purpose of this paper is based on the correct ideas and theories about the underlying .By studying about typical example to analyze the general principles and best sample space. Construct the appropriate sample space by a symmetrical compression method to choose the best sample space and simplify the solution of classical probability model .

Key words: classical probability model; probability; sample space;

引言古典概型是概率论中最重要的内容之一，在概率论中占有很重要的地位。古典概型的求解包含两个步骤：第一步：选取适当的样本空间Ω，使它满足有限和等可能的要求， A是为Ω的某个子集；第二步：先计算样本点总数n，然后计算事件的有利场合数m。如何构造样本空间是古典概型解题首要问题。随着科学技术的进步，概率论在科学中得到越来越广泛的应用。样本空间在概率学习中往往被忽视，但是它的选取在问题解决中至关重要，本文避开在其构造中可能会出现的总总错误，只在正确思想的前提下，通过举例说明样本空间的选取在解题过程中的重要性。

1古典概型

变量古典概型也叫创痛概率，其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，而且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。

1.1古典概型的起源

众所周知，最先吸引数学家研究的赌博问题就是分赌本问题：甲乙两人赌技相同，各出赌资500元。约定谁先胜3局谁就拿走1000元。现在赌了三局，甲两胜一负，因故要中止赌博，问这1000元要如何分才公平？有人认为按已胜的局数分，即甲拿三分之二，乙拿三分之一，但是这样分是不合理的，因为设想继续赌下去，结果无非以下四种：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。把已赌过的三局与此对照，可以看出，对前三个结果，都是甲先胜三局，因而得1000元，只有最后一个结果乙才得1000元，在赌技相同的情况下，这四个结果出现的可能性相等，即甲乙最终获胜的可能性之比为3：1，所以全部赌本按这个比例来分，即甲分750元，乙分250元才算公平合理。

1.2古典概型的判断 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。

2 古典概型的计算

2.1样本空间的选择

古典概型的习题大多是求随机事件A 的概率，求解包含两个步骤：首先选取适当的样本空间Ω，使它满足有限性和等可能性，且把A 表示为Ω的某个子集；然后计算样本点总数和时间的有利场合数m 。在第二部中要计算需要动用排列组合方法，但是排列组合具有技巧性和灵活性，给人难做的印象，下面则通过一些典型的例子具体讨论重视第一步，即选择适当的样本空间的重要意义。

例1 袋子里有a 只黑球，b 只白球，一次随机摸取一个球，求k A 第k 次（1≤k ≤a+b ）摸出黑

球的概率。

解 方法一：球依次被摸出，知道摸完为止，这就是把（a+b ）个球全排列，所以这样样本点总数为（a+b ）！，有利场合数为a （a+b-1）！，所以p （k A ）=a （a+b-1）！f (a+b)!=a f （a+b ）。

方法二：我们换一个角度看问题，即从球的角度观察哪个球第k 次出现，一共有（a+b ）个球，也就是一共有（a+b ）总可能，有利场合数有a 个，所以p （k A ）=a f （a+b ）。

第一个方法用排列组合的方法，方法二没有。显然，方法二更简单一些。虽然方法一是最容易想到的，但是方法二也是比较容易掌握和理解的。到底两种方法的区别和联系在哪呢？其实就是选取的样本空间有所不同。方法二的样本空间为第k 次摸出球的全部可能结果，这个样本空间是最小的，所以计算的步骤简化了

例2 包括甲乙在内的n 个人随机站成一圈，甲乙相邻的概率是多少？

解 把这个问题看成圆周排列的一个应用，但是在这里不选择这种方法。设甲已经先坐好，再考虑乙的坐法。乙总共有(n-1)个位置都是等可能的，而有利场合有2个，即所求的概率为2 f （n-1）。

把上述解法作细致的分析，即我们取样本空间Ω={1E ,2E …n-1E }。i E 表示乙坐在甲左边第i 个位置上，满足有限和等可能的要求，用事件A 表示Ω的子集{1E ,2E …n-1E }.

对于例2这样选取的样本空间Ω是最小的，而且不使用排列组合。而其他方法解题选取的样本空间只会比这大，且解法复杂。

例3 有m ⨯n 个球，一个是黑色，一个是白色，其余的都是红色，把这m ⨯n 个球随意 的放进

m 个袋中，每个袋子放n 个球。求黑色球和白色球放在同一个袋中的概率。

解 如果此题用计算排列组合的方法去解，是很困难的。但是如果用类似前面例题的 方法来解