高思导引-四年级第四讲-数阵图初步教师版

第4讲数阵图初步

内容概述

各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析;学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。

典型问题

兴趣篇

1．在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.

【答案】：

【分析与解】：先如下图将空白处标上字母:

根据题意：a=11－2－5=4;b=11-4－１＝６；c＝11－2-６＝3.

２. 请分别将１,2,4,６这四个数填在图4-２中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于1５.

【答案】：

【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母

根据题意:上面圆内四个数之和等于15,可得a＋d＝15-５－７=３＝1+2;

同理,b＋ｄ＝15-５－3＝7=1+6；c＋d＝15-７－3=5=１+4。由于d属于三个圆的公共部分,经对比发现可得:d＝1；a＝2;ｂ=6；c=4.

3. 如图4-3所示,请在三个空白圆圈内填入三个数,使得每条直线上三个数之和都相等。

【答案】:

【分析与解】:如下图：

因为8+9+a=b+ａ+7可得b＝１０；那么每条线的和＝8＋３＋１０=21;那么a＝21-８－9=4；ｃ=21-8－７=6.

4. 把1至８分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之

【答案】：

1 7 ６ 4

8 2 3 ５

【分析与解】:因为1＋２+３+……+8=36;所以每行的和等于36÷2=18；每列的和＝３6÷4＝9;从列入手,可将1～8这八个数分为和等于9的四组:1＋８＝2＋７=３+6＝4＋5。再调整使行和等于1８：我们发现1+4=2+3；８+5＝6＋7．经过调整可得答案。

5．把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。

【答案】：

【分析与解】：经过观察发现,此图是个具有对称性的图案;若使三个小三角形的三边之和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。因此可将１~12对称性地分为六组如下:1＋12＝2＋1１=3＋10＝4＋9＝5＋8=6+７.

６．在如图4-６所示的３×3方格表内填入１、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。

1 3 2

3 ２１

2 1 3

【分析与解】:

利用此图的对称性;可将中间数2填入此图的正中心;然后利用每行每列都是1、2、3并注意使对角线的和等于6可将此图填写完整。

7.把1至６分别填入图4-7的六个圆圈内,使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.

【答案】：

【分析与解】:如下图所示：

根据题意有：a+b+c+d=13;ｃ+d＋e+f=13

将上述两个算式相加可得:（ａ+ｂ+c＋ｄ+e+ｆ)+ｃ+d=２6;也就是2１＋c+ｄ=26;得到：

c+d=5＝1＋４=2＋３;ａ+b=e＋ｆ＝１3－5=8；而8＝２+6=3＋5只有这两种组成方式；因此排除掉c+d=2＋3；所以c+d＝1＋4。

8．把1至6分别填入图4-8的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？

【答案】:最大１3;最小11

【分析与解】:如下图标上字母，并且设两条线上的和均为k。

ａ b c

d

e

f

依据题意有：a+b+ｃ=ｋ；b＋d＋e+f＝k；将这两个等式相加可得:

（ａ+b+c＋d+ｅ+f)+b=2k；２1＋b=2k。由奇偶性可得:b只能取1、3、５；分别对应k的值为11、12、1３.可知和最大为13,最小为１1.

9. 把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等,如果中心圆内填入数相等,那么就视为同一种填法,请写出所有可能的填法。

【答案】：

【分析与解】:如下图所示标上字母,并设每条线的和为k。

根据题意有:a+b+c＝k;a+d+e=k；a＋ｆ+g=k;将三式相加可得：

(a＋b＋ｃ＋d+ｅ＋f+ｇ）＋2ａ=3k；28＋2a=3k；经过分析可知:

当a=１时，k=10；当a=４时，k＝12；当a＝7时,k=14。

1０.在图４-１0的6个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几?

【答案】:8

【分析与解】:根据题意可知;只要上面三个数确定，那么下面三个数也就确定了;若使最下面数最小,那么必须使最上面三个数最小,并且将最小数放在最中间;经过尝试有如下填法：

拓展篇

1. 将1至9分别填入图４-11中的圆圈内,可以使得图中所有三角形（共七个)的三个顶点上的数之和都等于15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.

【答案】:

【分析与解】：先标上字母：

ｃ＝15－5－6=４;同理可得：b=2；a=7;ｄ＝３；ｅ=８；ｆ＝1．

2．在图4-１2中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完

整。

【答案】：

【分析与解】:先标上字母：

有1+16+a＝a+9+b；可得ｂ＝8;和=7＋6+8=21；c＝2１－１-7=13.

3. 图4-13是由四个交叠的长方形组成的,在交点处有八个小圆圈.请你把1、2、３、4、5、6、7、８这八个自然数分别填入这些小圆圈内,使得每个长方形上的四个数之和都相等。

【答案】:

【分析与解】:先标上字母: