解三角形中的取值范围问题

解三角形中的取值范围问题

1、已知a ,b ,c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。 （1）求角B 的大小；

（2）若ABC ∆，求b 的长度的取值范围。

解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ∆中，

sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。

又因为0,sin 0C C π<<>，所以1cos 2B =，而0B π<<，所以3

B π

=

（2）因为1

sin 2

ABC S ac B ∆=

= 所以4ac = 由余弦定理得2

2

2

2

2

2scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2

4b ≥，所以2b ≥

2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围

【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++= 即有sin sin cos 0A B A B =

因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3

B π

=.

(2)由余弦定理,有2

2

2

2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2

2113()24

b a =-+. 又01a <<,于是有

2114b ≤<,即有1

12

b ≤<.

3、已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=- ，满足0m n ⋅=

．

（I ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （II ）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2

A

(

=f ，且2a =，求b c +的取值范围．

4、已知向量,1)4x m =

，2(cos ,cos )44

x x n = ，()f x m n =

(1)若()1f x =，求cos()3

x π

+

的值；

(2)在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1

cos 2

a C c

b +=，求函数()f B 的取值范围. 【解析】

解：（1）()2111

cos cos cos sin ,4442222262

x x x x x x f x m n π⎛⎫=⋅=+=

++=++ ⎪⎝⎭ 而()1

1,sin .262

x f x π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭

21

cos cos 212sin .326262

x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（2）22211cos ,,222a b c a C c b a c b ab +-+=∴⋅+= 即2221

,cos .2b c a bc A +-=∴=

又()0,,3

A A π

π∈∴=

又20,,36262B B ππππ<<

∴<+< ()31,.2f B ⎛⎫

∴∈ ⎪⎝⎭

5、已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2

2

6cos a b ab C +=，且2

s i n 2s i n s i n C A B =.

（Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6

f x x x π

ωωω=-->，()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取

值范围.

解：（Ⅰ）因为C ab b a cos 62

2

=+,由余弦定理知C ab c b a cos 22

2

2

+=+所以ab

c C 4cos 2

=.

又因为B A C sin sin 2sin 2=,则由正弦定理得:ab c 22

=,

所以21424cos 2===

ab ab ab c C ,所以3

π

=C .

（Ⅱ）3()sin()cos cos )6

23

f x x x x x x π

π

ωωωωω=--=

-=-

由已知

2,2==ωπωπ,则()),3f A A π

=-

因为3C π=,23B A π=-,由于0,022A B ππ

<<<<,

所以62A ππ<<, 20233

A ππ<-<.

根据正弦函数图象,所以0()f A <≤

6、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

,3

2

C π

π

<<

且

sin 2sin sin 2b C

a b A C

=

--。 （1）判断的形状；（2）若||2BA BC +=

，求BA BC ⋅ 的取值范围。

答案：（1）

sin sin 2,sin sin 2,22sin sin sin sin 2B C

B C B C B C A B A C

π=∴=∴=+=--或，若2B C =，因为

2,,()323

C B B C πππππ<<∴<<∴+>舍2,,B C A C ABC π∴+=∴=∴∆为等腰三角形。 （2）2

2

2

2

2||2,2cos 4,cos a BA BC a c ac B B a

-+=∴++=∴= ，

而2

14

2cos cos 2,cos 1,1,,1233B C B a BA BC ⎛⎫=-∴<<∴<<∴⋅∈ ⎪⎝⎭

，