《公式法》精美教学课件

判别式的情况
>0 =0 <0 ≥0
根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
练一练
按要求完成下列表格：
3x2 4x 4 0 1 x2 x1 0 x2 1 0
3
3
的值
0
根的 情况
有两个相等 的实数根
1
4
3
没有实数根
有两个不相 等的实数根
要点归纳
根的判别式使用方法 1.化为一般式，确定a,b,c的值. 2.计算 的值，确定 的符号. 3.判别根的情况，得出结论.
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课堂小结 《公式法》精美实用课件（PPT优秀课件）
公式法
求根 公式
x b b2 4ac 2a
根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
步骤
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.
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b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程
的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公
式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个
实数根.
注意 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
视频：求根公式的趣味记忆
二 公式法解方程
典例精析
例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0 解：∵a=5,b=-4,c=-12，
x b b2 4ac 2a
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
xb b2 4ac 2a
(4) 256 4 16 = 2 8
25
10
5
x1
2,
x2
6 5
例2 解方程：x232 3x
这里的a、b、c的
值是什么？
解： 化简为一般式：x22 3x30
a1、 b-23、 c3.
b 2 4 a c （ 23 ） 2 4 1 3 0 ，
x （ -23） 023 3.
21
2
即 ：x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程：x2x10（精确到0.001）.
解： a1,b1,c1, b 2 4 a c 1 2 4 1 ( 1 ) 5 0
∴ x3 3 3.
4
即
x1=
3
x2=
3. 2
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4.关于x的一元二次方程 x22xm0 有两个 实根，则m的取值范围是 m 1 .
解：b 2 4 a ( c 2 ) 2 4 1 m 4 4 m 0
∴ m1
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+ 1 =0,a=1,b=-1,c= 1 .
4
4
∴b2-4ac=(-1)2-4×1× 1 =0.
4
∴方程有两个相等的实数根．
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例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2 .
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b
பைடு நூலகம்
b2 4ac .
2a
特别提醒
一元二次方程 的求根公式
x1b2 ba 24ac,x2b2 ba 24ac.
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时，
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例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程有两个相等的实数根．
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数根， 所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
三 一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根 的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
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讲授新课
一 求根公式的推导
合作探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2bxc，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2a bx2ba2a c2ba2.
(3) x2-x+1=0. （3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根．
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6.不解方程，判别关于x的方程 x222kxk20 的根的情况.
解： 2 2k241k2
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1× （-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根， 故选B.
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注意：一元二次方程有实根，说明方程可能 有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
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5.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+
1 4
=0;
(3) x2-x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
8k24k24k2
k2 0 4k2 0 0
所以方程有两个实数根．
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能力提升： 在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中
a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等 的实数根，求△ABC 的周长. 解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实
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2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得
x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0,
这里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96
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例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不
相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数 根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即 (2)2 4k0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
x2ba2 b24a42ac＜0.
而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程
时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，
当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子x b
= - 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
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3. 解方程：2x2 - 3 3 x + 3 = 0
解： 这里 a = 2 , b = - 3 3 , c = 3 . ∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ,
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
复习引入
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们 是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站 起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判 断的吗？
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
x 10 .6 1 8 ,x2 1 .6 1 8 .
例4 解方程：4x2-3x+2=0 解： a4 ,b 3 ,c2 . b24a c( 3 )244293 2 2 30 .
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无 实数根.
要点归纳 公式法解方程的步骤
当堂练习 《公式法》精美实用课件（PPT优秀课件）
1.解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
x7 121711.
21
2
即
x1 = -9, x2 = 2 .
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