迎风有限元—有限体积方法求解 N-S 方程

等多种迎风参数选取方式。 迎风格式保证了质量守恒，并在某一条件下极大值原理成立。构成的刚度矩阵在某 一条件下（弱锐三角剖分下）为 M-矩阵，较易（稳定）求解。
=
1 2
∑ ∑ ∑∫
k i∈Λ k j ≠ i
k Γij
n −1 n n (uh ⋅ n)ds ⎡ ⎣(uhj − uhi )(1 − rij ) ⎤ ⎦ k
ห้องสมุดไป่ตู้
其中 Λ k 表示单元 k 的顶点指标集， Γ ij 表示位于单元 k 内的 Γ ij 。 这样，对于对流项构成的刚度矩阵，可单独由一个文件完成，即.gvs 文件。
（xx）
对上面的第二项中的第一个部分改变求和符号，并注意到对称性，即有：
∑ [−r v u ]γ
j∈Λi ij j i
ij
mij m ji
ij
∑ [−r v u ]γ
j∈Λ i ji i j j∈Λ i ij i
ji
(xxx)
∑ [(1 − r )v u ]γ
j
mij
于是（xx）的第一项与(xxx)相加就是不同于（x）的式子：
1 ns ( w, u , v) ≈ ∑ vi ∑ [(1 − rij )u j + (rij − )ui ]γ ij mij 2 i∈Λ j∈Λ i
这样子就可以利用到 [r ( z ) − ] z ≥ 0 ，保证矩阵的对角线元素都是非负的。 至于单元的局部质量守恒性，当压强是分片常数时可以得到这一点；如果分片线 形或者更高的阶次为压强近似， 此格式局部质量守恒性不能保证， 但整体上的质量守恒 是显然的。 将(x)化到每一个三角形上
n
则上式变为
n n −1 n n = ∑ vhi ⋅ n )ds ⎡ − uhi uh (uhj )(1 − rij ) ⎤ ( ∑ ∫ ⎣ ⎦ Γ ij i j∈Λ i
(x)
Angermann 上的形式实际上是另一种形式，二者差别（在计算上）不是很大。下面给出 简单的说明： 注意到文章上（11）式下面的那个式子，可以写成：
k
1， r ( z ) =
1 ( sgn ( z ) + 1) ——“全迎风” 2
2， r ( z ) = 1 −
⎤ 1⎡ z 1− ⎢ ⎥ ——“exponentially fitted scheme” z ⎣ exp z − 1 ⎦
3， r ( z ) = 4， r ( z ) =
⎤ 1⎡ z + 1⎥ ——“Samarskij” ⎢ 2 ⎣2 + z ⎦ 1 [ tanh z + 1] 2
i Ωi
= ∑ ∫ vhi (∇ ⋅ (uh uh ) − uh (∇ ⋅ uh ))dx
i Ωi
⎛ ⎞ ≈ ∑ vhi ∑ ⎜ ∫ uh ⋅ nuh ds − ∫ uhi uh ⋅ nds ⎟ Γ ij ⎠ i j∈Λ i ⎝ Γ ij = ∑ vhi ∑ ∫ (uh ⋅ n)(uh − uhi )ds i j∈Λ i Γ ij
二 基本原理
N-S 方程主要是处理非线性对流项，即 u ⋅∇u 项，迎风方法进行如下离散： 首先对区域进行初始三角形（或四边形）网格剖分，再进行对偶剖分（外心、重心）
Ω i 代表 i 的外心域
Γ
j i
ij
c(uh ; uh , vh ) = (uh ⋅∇uh , vh ) ≈ ∑ ∫ uh ⋅∇uh vhi dx
vhi —表示 vh 于 xi 的值 Λ i —表示 i 的相邻的节点指标集
此时采用线性化处理（简单线性化） （不管是静态还是动态，做线性化处理）
=
∑ v ∑ ∫Γ ( u
n hi i j∈Λ i
ij
n −1 h
n n ⋅ n )( uh − uhi ) dx
对 uh 采用迎风近似
n n n uh = uhi rij + (1 − rij )uhj
ns ( w, u , v) ≈
1 1 vi ∑ [(1 − rij )u j − ( − rij )ui ]γ ij mij ∑ 2 i∈Λ j∈Λi 2
1 1 + ∑ ui ∑ [−rij v j − ( − rij )vi ]γ ij mij 2 i∈Λ j∈Λi 2
1 ∑ 2 i∈Λ = = 1 ∑ 2 i∈Λ 1 ∑ 2 i∈Λ
rij 的选取有许多种，例如：
取 zij =
k
1 mij
∫
k Γij
n −1 k n −1 n −1 = (uhi + uhj ) / 2⋅n n ⋅uh ds 或 zij
或 zij =
1 mij
k ∩ mij ≠ 0
∑ ∫
k Γij
n −1 n ⋅ uh ds
为简单计，用 r(z)表示 rij ( zij ) 的函数关系
迎风有限元—有限体积方法求解 N-S 方程
一 概述
本文介绍用 FEPG 软件求解 Navier-Stokes 方程的一种稳定化方法——迎风方法。对于 FEPG 软件而言，则是利用有限元和有限体积（GVS 子系统）相结合，解决一些流体力学的 问题。 稳定化方法主要有两类。一类是 SUPG（流线迎风—扩散法） ，对于流体力学而言，尽 管该方法不再要求速度—压强网格匹配， 但其对参数的选取比较敏感。 而迎风方法尽管是一 阶方法，但其对迎风参数的选取不敏感。