例析处理分类讨论问题常用的几种方法

例析处理分类讨论问题常用的几种方法
上海市第五十四中学(邮编200030) 裴华明
分类讨论不仅是一种典型的逻辑方法，而且也是一种非常重要的数学思想，这是因为数学自身的概念、定理、公式、法则、性质等等有不少都是分类规定或研究的。

因此，可以说分类讨论贯穿于中学数学的始终。

由于分类讨论问题具有明显的逻辑性、综合性和探索性，对提高学生的数学能力具有及其重要的作用，所以这类问题也是当今各类考试的热点问题之一。

本文将例析处理分类讨论问题常用的几种方法，仅供参考。

1、根据数学概念的需要分类讨论
数学中的很多概念都是通过分类定义的，如：绝对值；直线的斜率与倾斜角；集合中的子集(B A ⊆)等等，处理这类问题时要注意从定义出发进行分类讨论。

例1、求不等式1|)3(log ||log |3
131≤-+x x 的解集。

解析：由于实数的绝对值是分类定义的概念，因此应先从030>->x x 及求出x 的取值范围，然后找出零点21==x x ，，对未知数x 进行分类讨论。

(1)当10≤<x 时，原不等式可化为：0)3(log log 3131≤--x x ，解之，得
14
3≤≤x 。

(2)当21≤<x 时，原不等式可化为：1)3(log log 3
131-≥-+x x ，解之，得 21≤<x 。

(3)当32<<x 时，原不等式可化为：1)3(log log 3131-≥--x x ，解之，得 4
92≤
<x 。

综上，原不等式的解集为}4
943|{≤≤x x 。

2、根据运算的要求分类讨论
数学中的一些运算有严格的限制要求，如分母不为零；实数集内偶次根式被开方数必须为非负数；对数的底数的限制；指数底数的限制以及三角函数的运算限制等等，在解答这类问题时要按要求进行分类讨论。

例2、解关于x 的不等式)10(log 31log ≠>->-a a x x a a ，
解析：应根据算术根的定义，讨论求得x a log 的范围，然后根据1>a 及10<<a 再分类讨论。

(1)当0log 3≥-x a 时，3log ≤x a ，又 x a log 01≥-，从而 3log 1≤≤x a ，
因为x a log x x a a 2
log log 691+->-，所以 5log 2<<x a ，则 3log 2≤<x a ，
(2) 当0log 3<-x a 时，1log ≥x a ，∴3log >x a ，
综上有2log >x a 。

又对a 进行分类讨论：
①若1>a 时，不等式的解集为}|{2a x x >。

②若10<<a 时，不等式的解集为}0|{2a x x <<。

3、根据定理、公式、法则、性质的限制条件分类讨论
数学中的一些定理、公式、法则往往也有一些严格的限制条件，如均值不等式；零与负数没有对数；等比数列的前n 项和公式；极限的运算法则等等。

对于解决这类问题时，要根据问题中所给的有关定理、公式、法则所给定的限制条件进行讨论。

例3、设首项为1，公比为)0(>q q 的等比数列的前n 项和为n S ，又设1
+=n n n S S T )321( ，，，=n ，求n n T ∞→lim 。

解析：首先应根据等比数列前n 项和公式对q 讨论，然后再根据极限的定义再对q 进行讨论。

设所求等比数列为}{n a ，公比为)0(>q q
(1)当1=q 时，有n na S n ==1，∴11lim lim lim 1
=+==∞→+∞→∞→n n S S T n n n n n n 。

(2)当1≠q 时，有q q q q a S n n n --=--=111)1(1， ∴111
111111+++--=----==n n n n
n n n q
q q q q q S S T ， ①若10<<q ，则10101lim =--=∞
→n n T ②若1>q ，则q q q
q q q q T n n n n n n n n 1001)1()1(1lim 11lim lim 1=--=--=--=∞→+∞→∞→， 综上可知：当10≤<q 时，n n T ∞→lim 1=；当1>q 时，n n T ∞→lim q
1=。

4、根据函数的性质分类讨论
在解方程，解不等式，求函数的最值等问题时常常要涉及到函数的性质，因此对于这类问题我们要利用函数的相关性质对其进行分类讨论。

例4、已知3131
)21()2(---<+a a ，求实数a 的取值范围。

解析：此题应观察函数31
)(-=x x f ，由于函数31
)(-=x x f 分别在区间)0()0(∞+-∞，和，上
是减函数，所以应对它们进行分类讨论。

(1)当02102>->+a a ，时，有0212>->+a a ，∴2
131<<-a (2)当02102<-<+a a ，
时，有a a 2120->+>，∴φ∈a (3)当02102>-<+a a 且时，有a a 2102-<<+，∴2-<a
综上，a 的取值范围为}22
131|{-<<<-a a a 或 5、根据图形位置的不确定性分类讨论
在立体几何中，由于所给图形位置的不确定性，要根据所给出的问题的条件进行分类讨论。

例5、已知斜三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形，090=∠BAC ，且AC BC ⊥1，2==AC AB ， 621=BC ，侧棱与底面成060角，求它的体积。

解析：由题意可得平面1ABC ABC 平面⊥，点1C 在底面上的射影H 在直线AB 上，但点H 在直线AB 上的位置不能确定，所以要对点H 的位置讨论。

∵1BC AC AB AC ⊥⊥，，∴1BAC AC 平面⊥，又∵ABC AC 平面⊂，
∴1ABC ABC 平面平面⊥，则点1C 在平面ABC 上的射影一定在直线AB 上，所以过1C 作H C 1垂直直线AB 于H ，设x H C =1
(1)若点H 在线段BA 的延长线上，连CH ，如图（1）
则11CC CH C 是∠与底面所成的角，即
0160=∠CH C x H C CH 3
360cot 01==， 在43
1222-=-=∆x AC CH AH ACH Rt 中，
在H BC Rt 1∆中，∵21212BC H C BH =+，∴2222)62()43
12(=+-+x x 解得15=x ，∴152111=⋅=∆-ABC C B A ABCV S x V 三棱柱。

(2)若点H 在线段AB 上，如图（2），
在H BC Rt 1∆中，2
1212BC H C BH =+ 2222)62()43
12(=+--x x ， 解得62=x （此时点B H 与点重合） ∴64111=⋅=∆-ABC C B A ABCV S x V 三棱柱。

(3) 若点H 在线段AB 的延长线上，在H BC Rt 1∆中，∵21212BC H C BH =+， ∴2222)62()243
1(=+--x x ，解得62=x ，但B C H C 11<不合题意， 综上，斜三棱柱111C B A ABC -的体积为152或64。

6、根据实际情况分类讨论
在某些问题中，要根据问题给出的实际情况进行分类讨论。

例6、半径为2，圆心角为045的扇形中有一内接矩形，求其面积的最大值。

解析：如图（1）扇形AOB 的内接矩形为MNPQ ，连OP ，
则2=OP ，设θ=∠P O A
，∴θ-=∠045QOP ，θsin 2=NP ，
在POQ ∆中，由正弦定理得
00135
sin 2)45sin(=-θPQ ∴)45sin(220θ-=PQ 则)45sin(sin 240θθ-⋅=⋅=NP PQ S MNPQ 矩形
)12(2]22)452[cos(220
-≤--=θ，当005.22245==θ时等号成立。

∴MNPQ S 矩形的最大值为)12(2-。

(2)如图（2）扇形AOB 的内接矩形为MNPQ ，连ON ，
则2=ON ，设θ=∠CON ，OC 为AOB ∠的平分线，
则θθsin 45.221805.22000=-=∠-=∠PN OMN MON ，，
在OMN ∆中，由正弦定理得
)
5.22180sin(2)5.22sin(000-=-θMN ，∴005.22sin )5.22sin(2θ-=MN 0
00005.22sin ]5.22cos )5.222[cos(45.22sin )5.22sin(8--=-=⋅=θθPN MN S MNPQ 矩形 000225.11tan 45
.22sin )5.22cos 1(4=-≤，当025.11=θ时等号成立， ∴MNPQ S 矩形的最大值为025.11tan 4 又)25.11tan 5.22tan 2
1(4)25.11tan 212(425.11tan )12(20000-=--=-- 025
.11tan 125.11tan 4)25.11tan 25.11tan 125.11tan (4020
30020>-=--=，即025.11tan 4)12(2>- 综上，此扇形内接矩形的面积的最大值为)12(2-。

以上就是解决分类讨论问题常见的几种方法，总之，分类讨论就是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题思想和解题策略，但同时还应注意：分类要求标准统一，不遗漏，不重复，分层次，不越级讨论，解题步骤大致为：（1）确定分类标准，正确进行分类；（2）逐步进行讨论，获取阶段性成果；（3）归纳小结综合得出结论。