2020年重庆市中考数学试卷-含详细解析

2020年重庆市中考数学试卷（A卷）
含详细解析
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.下列各数中，最小的数是()
A.−3
B.0
C.1
D.2
2.下列图形是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”.其中
数据26000用科学记数法表示为()
A.26×103
B.2.6×103
C.2.6×104
D.0.26×105
4.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，
第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()
A.10
B.15
C.18
D.21
5.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若
∠B=20°，则∠AOB的度数为()
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
6.下列计算中，正确的是()
A.√2+√3=√5
B.2+√2=2√2
C.√2×√3=√6
7.解一元一次方程1(x+1)=1−1x时，去分母正确的是()
23
D.2√3−2=√3
A.3(x+1)=1−2x C.2(x+1)=6−3x
B.2(x+1)=1−3x D.3(x+1)=6−2x
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,2)，B(1,1)，C(3,1)，
以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF△
，使DEF△与ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为()
≤x+3,
A.√5
B.2
C.4
D.2√5
9.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m
的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i=
1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=
45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为
28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则
居民楼AB的高度约为(参考数据：si n28°≈0.47，
cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)()
A.76.9m
B.82.1m
C.94.8m
D.112.6m
10.若关于x的一元一次不等式组{3x1
x
≤
a
2的解集为x≤a；且关于y的分式方程
ya
y2
+3y4=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是()
y2
A.7
B.14
C.28
D.56
11.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接
AD△
，把ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交
于点G，连接BE交AD于点F.若DG=GE，AF=3，
BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为()
A.√5
5
B.2√5
5
C.4√5
5
D.4√3
3
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，
点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=k(k>0,x>0)的
x 图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为()
第2页，共19页
m+3)÷
14.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．
15.现有四张正面分别标有数字−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全
相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n.则点P(m,n)
在第二象限的概率为______．
16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点
为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，
分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为
______.(结果保留π)
17.A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/ℎ的速度匀速前往B地，到达B地
后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y(km)与甲货车出发时间x(ℎ)之间的函数关系如图中的折
线CD−DE−EF所示．其中点C的坐标是(0,240)，点D的坐标是(2.4,0)，则点E
的坐标是______．
18.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、
店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营
业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的2，则摆摊的营业额将达
5
到7月份总营业额的7，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份
20
外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是______．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
19.计算：
(1)(x+y)2+x(x−2y)；
(2)(1−m m2−9
m2+6m+9
．
20.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾
测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所
占百分比如下表所示：
年级
七年级
平均数
7.5
众数
a
中位数
7
8分及以上人数所占百分比
45%八年级7.58b c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中的a，b，c的值；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较
好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动
成绩合格的学生人数是多少？
21.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作
AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE．
(1)若∠AOE=50°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE=CF．
x21
性质及其应用的部分过程，…−−______−−30
x21>2x−1的解集(保留1位小数，误差不超过0.2)．
22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图
象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y=6x
请按要求完成下列各小题．
(1)请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x…−5−4−3−2−1012345…
y
=
6x
x21
152412
13175
3
12
5
______
2415
1713
…
(2)根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上
相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x=1时，函数取得最大
值3；当x=−1时，函数取得最小值−3．
③当x<−1或x>1时，y随x的增大而减小；当−1<x<1时，y随x的增大而
增大．
(3)已知函数y=2x−1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等
式6x
23.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产
生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
.
19 ÷ 5 = 3 … 4，但19 ÷ 3 = 6 … 1，所以 19 不是“差一数”． (1)判断 49 和 74 是否为“差一数”？请说明理由； (2)求大于 300 且小于 400 的所有“差一数”．
24. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中” 为优选品种，提高产量，某农业
科技小组对 A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年 A ，B 两个品种各种 植了 10 亩．收获后 A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且 B 的平均亩产量比 A 的平均亩产量高 100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为 21600 元． (1)请求出 A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？
(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 A ，B 种植亩数不变的情况
下，预计 A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于 B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而 A 品种的售
价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20 a%.求 a 的
9
值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y = x 2 + bx + c 与直线 AB 相交于 A ，B
两点，其中A (−3, −4)，B(0, −1)． (1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 P 为直线 AB 下方抛物线上的任意一点，连接 P A ，PB △，求 PAB 面积的最
大值；
(3)将该抛物线向右平移 2 个单位长度得到抛物线y = a 1x 2 + b 1x + c 1(a 1 ≠ 0)，平 移后的抛物线与原抛物线相交于点 C ，点 D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面 直角坐标系中是否存在点 E ，使以点 B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存 在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
26.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接
AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE.点F是DE的中点，连接CF．
(1)求证：CF=√2AD；
2
(2)如图2所示，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，分别延长CF，BA，相
交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最
小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表
示CE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵−3<0<1<2，
∴这四个数中最小的数是−3．
故选：A．
根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可得答案．
本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，正数大于负数．
2.【答案】A
【解析】解：B、C、D都不是轴对称图形，A是轴对称图形，
故选：A．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．3.【答案】C
【解析】解：26000=2.6×104，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3=1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6=1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15，
故选：B．
根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+ 3+4+⋯…+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+⋯…+n．
5.【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴∠A=90°，
∵∠B=20°，
∴∠AOB=90°−20°=70°，
故选：D．
根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．6.【答案】C
0.75=4，
【解析】解：A．√2与√3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B.2与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C.√2×√3=√2×3=√6，此选项计算正确；
D.2√3与−2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
故选：C．
根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．
7.【答案】D
【解析】解：方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6−2x，
故选：D．
根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
8.【答案】D
【解析】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF△
，使DEF△与ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A(1,2)，C(3,1)，
∴D(2,4)，F(6,2)，
∴DF=√(2−6)2+(4−2)2=2√5．
故选：D．
把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
9.【答案】B
【解析】解：如图，由题意得，∠ADF=28°，CD=45，
BC=60，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i=1：0.75，
∴DE=
EC 1
3
设DE=4x，则EC=3x，由勾股定理可得CD=5x，
又CD=45，即5x=45，
∴x=9，
∴EC=3x=27，DE=4x=36=FB，
∴BE=BC+EC=60+27=87=DF，
在Rt△ADF中，
AF=tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB=AF+FB=46.11+36≈82.1，
故选：B．
构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出D E、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计
【解析】解：不等式组整理得：{ ，
10.【答案】C
x ≤ 7
x ≤ a
由解集为x ≤ a ，得到a ≤ 7，
分式方程去分母得：y − a + 3y − 4 = y − 2，即3y − 2 = a ，
解得：y = a+2 ，
3
由 y 为正整数解，得到a = 1，4，7 1 × 4 × 7 = 28， 故选：C ．
不等式组整理后，根据已知解集确定出 a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方 程，由分式方程有非负整数解，确定出 a 的值，求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的 关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵ DG = GE ， ∴ △?? ADG = △?? AEG = 2， ∴ △?? ADE = 4，
由翻折可知，△ ADB≌△ ADE ，BE ⊥ AD ， ∴ △?? ABD = △?? ADE = 4，∠BFD = 90°，
∴ 1 ⋅ (AF + DF) ⋅ BF = 4，
2
∴ 1 ⋅ (3 + DF) ⋅ 2 = 4，
2
∴ DF = 1，
∴ DB = √BF 2 + DF 2 = √12 + 22 = √5，
设点 F 到 BD 的距离为 h ，则有1 ⋅ BD ⋅ ℎ = 1 ⋅ BF ⋅ DF ，
2
2
∴ ℎ = 2√5，
5
故选：B ．
首先求出△ ABD 的面积．根据三角形的面积公式求出 DF ，设点 F 到 BD 的距离为 h ，
根据1 ⋅ BD ⋅ ℎ = 1 ⋅ BF ⋅ DF ，求出 BD 即可解决问题．
2
2
本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
12.【答案】B
【解析】解：如图，连接 BD ，OF ，过点 A 作AN ⊥ OE 于 N ，过点 F 作FM ⊥ OE 于 M ．
△??3 EOF = 3，由此即可解决问题．
2
1 1 1 2
1
∵ AN//FM ，AF = FE ， ∴ MN = ME ，
∴ FM = 1 AN ，
2
∵ A ，F 在反比例函数的图象上，
∴ △?? AON = △?? FOM = k
，
∴ 1 ⋅ ON ⋅ AN = 1 ⋅ OM ⋅ FM ，
2
2
∴ ON = 1 OM ，
2
∴ ON = MN = EM ，
∴ ME = 1 OE ，
3
∴ △?? FME = 3 △?? FOE ，
∵ AD 平分∠OAE ， ∴ ∠OAD = ∠EAD ，
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ OA = OD ，
∴ ∠OAD = ∠ODA = ∠DAE ， ∴ AE//BD ， ∴ △?? ABE = △?? AOE ， ∴ △?? AOE = 18， ∵ AF = EF ，
∴ △?? EOF = 2 △?? AOE = 9，
∴ △?? FME = 3 △?? EOF = 3，
∴ △?? FOM = △?? FOE − △?? FME = 9 − 3 = 6 = k ，
∴ k = 12． 故选：B ．
如图，连接 BD ，OF ，过点 A 作AN ⊥ OE 于 N ，过点 F 作FM ⊥ OE 于M.证明
BD//AE ，推出△?? ABE = △?? AOE = 18，推出△?? EOF = 2 △?? AOE = 9，可得△?? FME =
1
16．
解题的关键是证明BD//AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13.【答案】3
【解析】解：(π−1)0+|−2|=1+2=3，
故答案为：3．
根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．
本题考查零次幂和绝对值的性质，掌握零次幂和绝对值的性质是正确计算的前提．14.【答案】6
【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6．
故答案为：6．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
15.【答案】3
16
【解析】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中点P(m,n)在第二象限的结果数为3，
所以点P(m,n)在第二象限的概率=3
故答案为3．
16
画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点
P(m,n)在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．
16.【答案】4−π
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠DAB=∠DCB=90°，
由勾股定理得，AC=√AB2+BC2=2√2，
∴OA=OC=√2，
∴图中的阴影部分的面积=22−90π×(√2)2×2=4−π，
360
故答案为：4−π．
根据勾股定理求出AC，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
由题意可得：{，
解得：{6，
b=
m+3
)÷
m+3)×
(m+3)(m−3)
，
m+3
×m+3，
m−3．
17.【答案】(4,160)
【解析】解：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4−40=60(40km/ℎ)，
∴乙货车从B地到A地所用时间为：240÷60=4(小时)，
当乙货车到底A地时，甲货车行驶的路程为：40×4=160(千米)，
∴点E的坐标是(4,160)．
故答案为：(4,160)．
根据点C与点D的坐标即可得出乙货车的速度，进而得出乙货车从B地到A地所用时间，据此即可得出点E的坐标．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．
18.【答案】1：8
【解析】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，
7b−2a=2x
20b−10a=5x
a=x
x
3
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比=(5b−5a)：20b=1：8，
故答案为：1：8．
设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，由题意列出方程组，可求a，b 的值，即可求解．
本题考查了三元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的等量关系是本题的关键．19.【答案】解：(1)(x+y)2+x(x−2y)，
=x2+2xy+y2+x2−2xy，
=2x2+y2；
(2)(1−m m2−9
m2+6m+9
，
=(m+3−
m+3
m(m+3)2
= =3
3
m−3
【解析】(1)根据整式的四则运算的法则进行计算即可；
(2)先计算括号内的减法，再计算除法，注意约分和因式分解．
考查整式、分式的四则混合运算，掌握计算法则和因式分解是正确计算的前提．20.【答案】解：(1)∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a=7，
由条形统计图可得，b=(7+8)÷2=7.5，
2020=1080(人)，
即a=7，b=7.5，c=50%；
(2)八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；
(3)∵从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，
∴参加此次测试活动成绩合格的学生有1200×(202)(202)
即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．
【解析】(1)根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；(2)根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可；
(3)根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少．
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】(1)解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∵∠AOE=50°，
∴∠EAO=40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAO=40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∠ACB=∠DAC=40°，
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴AE=CF．
【解析】(1)利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利
用平行线的性质解决问题即可．
(2)△
证明AEO≌△CFO(AAS)可得结论．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】99
55
【解析】解：(1)补充完整下表为：
x…54321012345…
y=
6x1524
…
x211317
9
5
12
530
3
12
5
9
5
2415
1713
…
(3)由图象可知：不等式
x21>2x−1的解集为x<−1或−0.3<1.8．
画出函数的图象如图：
；
(2)根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x=1时，函数取得最大值3；当x=−1时，函数取得最小值−3，说法正确；
③当x<−1或x>1时，y随x的增大而减小；当−1<x<1时，y随x的增大而增大，说法正确．
6x
(1)将x=−3，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
(2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
(3)根据图象求得即可．
本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)49÷5=9…4，但49÷3=16…1，所以49不是“差一数”；74÷5=14…4，74÷3=24…2，所以74是“差一数”．
(2)大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，
其中除以3余数为2的有314，327，344，359，374，389．
故大于300且小于400的所有“差一数”有314，327，344，359，374，389．
【解析】(1)根据“差一数”的定义即可求解；
(2)根据“差一数”的定义即可求解．
考查了因式分解的应用，本题是一个新定义题，关键是根据新定义的特征和仿照样例进行解答，主要考查学生的自学能力．
24.【答案】解：(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；
y−x=100
根据题意得，{10×2.4(x y)=21600，
x=400
解得：{y=500，
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
(2)2.4×400×10(1a%) 2.4(1a%)×500×10(12a%)=21600(1
20a%)，
9
解得：a=0.1，
25.【答案】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得{−4=9−3b=c，解得{，
(2)设直线AB的表达式为：y=kx+t，则{，解得{，
222
答：a的值为0.1．
【解析】(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；
(2)根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
c=−1
b=4
c=−1
故抛物线的表达式为：y=x2+4x−1；
−4=−3k+t k=1
t=−1t=−1
故直线AB的表达式为：y=x−1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P(x,x2+4x−1)，则H(x,x−1)，
△PAB面积S=1×PH×(x
B
−x
A
)=1(x−1−x2−4x+1)×(0+3)=−3x2−
9x，
2
∵−3<0，故S有最大值，当x=−3时，S的最大值为27；
228
(3)抛物线的表达式为：y=x2+4x−1=(x+2)2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y=x2−5，
x=−1
联立上述两式并解得：{y=−4，故点C(−1,−4)；
2
2
2
设点D(−2, m)、点E(s, t )，而点 B 、C 的坐标分别为(0, −1)、(−1, −4)； ①当 BC 为菱形的边时，
点 C 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到 B ，同样D(E)向右平移 1 个单位向上平 移 3 个单位得到E(D)，
即−2 + 1 = s 且m + 3 = t①或−2 − 1 = s 且m − 3 = t②，
当点 D 在 E 的下方时，则BE = BC ，即s 2 + (t + 1)2 = 12 + 32③， 当点 D 在 E 的上方时，则BD = BC ，即22 + (m + 1)2 = 12 + 32④，
联立①③并解得：s = −1，t = 2或−4(舍去−4)，故点E(−1,3)；
联立②④并解得：s = 1，t = −4 ± √6，故点E(1, −4 + √6)或(1, −4 − √6)； ②当 BC 为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1 = s − 2且−4 − 1 = m + t⑤， 此时，BD = BE ，即22 + (m + 1)2 = s 2 + (t + 1)2⑥， 联立⑤⑥并解得：s = 1，t = −3， 故点E(1, −3)，
综上，点 E 的坐标为：(−1,2)或(1, −4 + √6)或(1, −4 − √6)或(1, −3)．
【解析】(1)将点 A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
(2) △ PAB 面积S = 1 × PH × (x B − x A ) = 1 (x − 1 − x 2 − 4x + 1) × (0 + 3) = − 3 x 2 −
9
x ，即可求解；
2
(3)分 BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平 移、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏． 26.【答案】证明：(1) ∵ AB = AC ，∠BAC = 90°， ∴ ∠ABC = ∠ACB = 45°，
∵把 AD 绕点 A 逆时针旋转90°，得到 AE ， ∴ AD = AE ，∠DAE = 90° = ∠BAC ， ∴ ∠BAD = ∠CAE ，DE = √2AD ， 又∵ AB = AC ，
∴△ BAD≌△ CAE(SAS)，
∴ ∠ABD = ∠ACE = 45°，
∴ ∠BCE = ∠BCA + ∠ACE = 90°， ∵点 F 是 DE 的中点，
∴ CF = 1 DE = √2 AD ；
2
2
(2)AG = √2 BC ，
6
理由如下：如图 2，过点 G 作GH ⊥ BC 于 H ，
∵ BD = 2CD ，
∴设CD = a ，则BD = 2a ，BC = 3a ， ∵ ∠BAC = 90°，AB = AC ，
∴ AB = AC = BC = 3√2 a ，
√2
2
由(1)可知：△ BAD≌△ CAE ， ∴ BD = CE = 2a ， ∵ CF = DF ，
∴ ∠FDC = ∠FCD ，
∴ tan∠FDC = tan∠FCD ，
∴ CE = GH = 2，
CD
CH
∴ GH = 2CH ，
∵ GH ⊥ BC ，∠ABC = 45°， ∴ ∠ABC = ∠BGH = 45°， ∴ BH = GH ，
∴ BG = √2BH
∵ BH + CH = BC = 3a ，
∴ CH = a ，BH = GH = 2a ， ∴ BG = 2√2a ，
∴ AG = BG − AB = √2 a = √2 CD = √2 BC ；
2
2
6
(3)如图3 − 1△，将 BPC 绕点 B 顺时针旋转60°△得到 BNM ，连接 PN ，
∴ BP = BN ，PC = NM ，∠PBN = 60°， ∴△ BPN 是等边三角形， ∴ BP = PN ，
∴ PA + PB + PC = AP + PN + MN ，
∴当点 A ，点 P ，点 N ，点 M 共线时，PA + PB + PC 值最小， 此时，如图3 − 2，连接 MC ，
得到BNM，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°△
∴BP=BN，BC=BM，∠PBN=60°=∠CBM，
∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BPN=∠BNP=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BPD=60°，
∴BD=√3PD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，
∴√3PD=PD+AP，
∴PD=√3+1m，
2
∴BD=√3PD=3+√3m，
2
由(1)可知：CE=BD=3+√3m.
2
【解析】(1)由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD=∠ACE=45°，可求∠BCE=
90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；
(2)过点G作GH⊥BC于H，设CD=a，可得BD=2a，BC=3a，AB=AC=3√2a，
2
由全等三角形的性质可得BD=CE=2a，由锐角三角函数可求GH=2CH，可求CH=
a，可求BG的长，即可求AG=√2a=√2CD=√2BC；
226
得到BNM，连接PN，可得当点A，点P，点N，(3)△将BPC绕点B顺时针旋转60°△
点M共线时，PA+PB+PC值最小，由旋转的性质可得△BPN是等边三角形，△CBM
是等边三角形，可得∠BPN=∠BNP=60°，BM=CM，由直角三角形的性质可求
解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P的位置是本题的关键．。