弯曲变形

弯曲变形
1 试问用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和连续性条件。

(a ) 四个
当0=x 时，
0=A y ，0=A θ； 当a x =时，
21C C y y =，21C C θθ=。

(b ) 六个
当a x =时，
021==A A y y ，21A A θθ=； 当b a x +=时， 032==B B y y ， 32B B θθ=。

(c ) 六个
当0=x 时，
0=A y ，0=A θ； 当a x =时， 21B B y y =； 当b a x +=时， 032==C C y y ， 32C C θθ=。

(d ) 二个
当0=x 时，0=A y ， 当l x =时，1
11
12A E qll l y B -
=∆-= （注：1E 和1A 分别为拉杆的弹性模量和横截面面积）
2 试用积分法求图示外伸梁的A θ、B θ及A y 、D y 。

解： AB 段(2
0l
x ≤
≤)： ()q l x x M y EI 2
1
1-==''
12
141C q l x y EI +-='
113112
1
D x C qlx EIy ++-=
BC 段(2
32l
x l ≤≤)：
()⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--==''x l ql x l q x M y EI 234123212
2
22
3
2
23812361C x l ql x l q y EI +⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 223
42232324123241D x l C x l ql x l q EIy +⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 边界条件：
2
l
x =，01=y ：022121 113
=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-D l C l ql ①
0 2=y ：024
1241 2244=+-+-D l C ql ql ② 2
3l
x =
，02=y ：02=D ③ 连续性条件：
2
l
x =，21θθ=：23312
8161241 C ql ql C l ql +-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛- ④
由①②③④求得：022==D C ，3
1485ql C =，4124
1ql D -=。

∴转角和挠曲线方程为
AB 段：EI ql x EI ql x 4854)(3
21+
-=θ EI
ql x EI ql x EI ql x y 2448512)(4
331-
+-= BC 段：2
32238236)(⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x l EI ql x l EI q x θ
3
4
223242324)(⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x l EI ql x l EI q x y
由此可得到：
4853
01EI ql x A ===θθ， EI ql l x B 2432
1=
==θθ， 244
1
EI
ql y y x A -===， EI
ql y y l
x D 3844
2
=
==。

3 试用叠加法求图示梁指定截面的挠度和转角。

设梁的抗弯刚度
EI 为已知。

(a ) A θ,C y
解： (a )
1．当F 单独作用时，查表得
EI Fl AF 162
-=θ
EI
Fl y CF 483
-=
2．当e M 单独作用时，查表得 EI l
M AM 6e e -
=θ EI
l M y CM 162
e e -=
3．当F 和e M 共同作用时，
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-=+=EI l M EI Fl AM AF A 616e 2e θθθ
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+=EI l M EI Fl y y y CM CF C 16482e 3e
(b ) C θ,C y
(b )
1．当q 单独作用时，查表得
EI qa Bq Cq 243
==θθ， EI
qa a y Bq Cq 244=⋅=θ
2．当F 单独作用时，查表得
EI qa EI a qa EI a qa CF BM CF 65233
221e -
=⋅-⋅-
=+=θθθ EI
qa EI a qa a EI qa f a y CF BM CF 32334
331e -
=⋅-⋅-=-⋅-=θ 3． 当q 和F 共同作用时，
EI qa EI qa EI qa CF Cq C 241965243
33-
=-
=+=θθθ EI
qa EI qa
EI qa
y y y CF Cq C 8532244
44-
=-=+= 4 已知一钢轴的飞轮A 重kN 20=F ，轴承B 处的许用转角 5.0][=B θ，钢的弹性模量G Pa 200=E 。

试确定轴的直径d 。

解：
1．作轴的受力简图
2．由刚度条件确定轴的直径 由
64
334
d
E
Fab EI b Fa B πθ=⋅=≤180][π
θ⋅B 可得 d ≥
mm 112m 5
.0180
1020032
1102064][180
3644
9
34
=⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
π
πθπ
πB
E
Fab
5 欲在直径为d 的圆木中锯出抗弯刚度最大的矩形截面梁。

试求该截面高度h 和宽度b 的合理比值。

解：
欲使抗弯刚度z EI 最大，当E 一定时，即要求z I 最大。

方法一：
3223121
12h h d bh I z -==
令 ()
01243d d 222
22=--=h
d h h d h I z
得到 d h 23=
，d h d b 2
1
22=-= ∴ 高度与宽度的合理比值为：3=b h 。

方法二：
()12
sin cos 12sin cos 12343
3α
αααd d d bh I z =
⋅== 令 ()
αααααcos sin 3cos sin 12
d d 244
⋅+-=d
I z
()
0cos 3sin sin 12
2224
=+-=αααd
即 0cos 3sin 22=+-αα
由此得到高度与宽度的合理比值为：3tan ==αh
6 图示悬臂梁AB 和简支梁CD 均用№18工字钢制成，BG 为圆截面钢杆，直径mm 20=d ，钢的弹性模量G Pa 200=E 。

若kN 30=F ，
试求简支梁CD 中的最大正应力和G 截面的挠度。

解： 为一次超静定问题。

变形协调方程： G BG B y l y =∆+
即： ()z
CD
BG z AB EI l F F EA l F EI l F 4833N N 3N -=
+ 即：
()z
z I F F A F I F 48644.138N N N -=+ ①
查表得： 4cm 1660=z I ，3cm 185=z W 由①式求得： kN 8.9N =F
梁AB 的最大弯矩：()m kN 6.19m kN 28.9m ax ⋅=⋅⨯==A AB M M CD 的最大弯矩：()()m kN 2.20m kN 4
48.930max ⋅=⋅⨯-==G CD M M
梁内的最大正应力：()MPa 2.109Pa 10
185102.2063m ax
m ax =⨯⨯==
-z
CD W M σ G 点的挠度：)(mm 1.8m 10
16601020048410)8.930(8
93
3↓=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-G y 7 图示简支梁的左右支座截面上分别作用有外力偶矩A M e 和
B M e 。

若使该梁挠曲线的拐点位于距左端支座3/l 处，试问A M e 和B M e 应保持何种关系？
解：
梁的弯矩方程为
()A B
A A Ay M x l
M M M x F x M e e e e -+=-⋅= 在拐点处有
03
=''=l x y
因为
()x M y EI ='' 故
03233e e e e e =+-=-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛B A A B A M M M l
l M M l M
即两力偶之间的关系为 A B M M e e 2=
5-29 若弹簧的平均半径mm 80=R ，簧丝直径mm 20=d ，圈数
7=n ，材料的切变模量G Pa 80=G 。

在图示载荷作用下，若CDE 梁
的端点E 的位移等于弹簧伸长的倍，试求CDE 梁的抗弯刚度EI 。

解：
1．求支反力
考虑ABC 梁段的平衡可得 N 180=By F 考虑CDE 梁段的平衡可得 N 440=Dy F 考虑整个梁的平衡可得 N 310=Cy F 2．求弹簧的伸长
弹簧所受到的力为 N 310==Cy F F
mm 5.6m 02.010807
08.031064644
9343=⨯⨯⨯⨯⨯==Gd n FR δ
3．求E 点的位移
考虑CDE 梁段（记N 220=F ，mm 450=a ） (a ) 先将C 点看作固定铰支座 由叠加法
EI
Fa a y D EF 33
1=⋅=θ
EI
Fa y EF 33
2=
EI
Fa y y y EF EF EF 323
21=+=
(b ) 由弹簧伸长引起的E 点位移 δδ=E y (c ) E 点的总位移
δδ+=+=EI
Fa y y y E EF E 323
①
4．求CDE 梁段的抗弯刚度 根据题意 δ5.1=E y ②
由①②求得
23
3
3m kN 8.410
6.55.145.022025.12⋅=⨯⨯⨯⨯==-δFa EI
8 图示悬臂梁的抗弯刚度2m kN 30⋅=EI ，弹簧的刚度m N 101753/K ⨯=，梁端与弹簧间的空隙为mm 25.1=δ。

当N 450=F 时，试问弹簧将分担多大的力？
解：
若无弹簧，悬臂梁自由端的挠度为
mm 25.1mm 11.2m 1030375.045033
3
3>=⨯⨯⨯==EI Fl y B
因此，为一次超静定问题，弹簧被压缩。

设弹簧力为t F ，则变形协调方程为
()EI
l F F K F 31025.13t 3
t -=
⨯+- 即 ()3
3t 3
3t 1030375.04501025.110175⨯⨯⨯-=
⨯+⨯-F F 由此求得
N 6.82t =F。