第七章 多元函数微分学及其应用汇总

第七章 多元函数微分学及其应用

7.1 多元函数的基本概念 7.1.1 二元函数的概念

设D 是平面上的一个非空点集，如果对于该平面上的任意一点),(y x ，按照一定的对应法则f 都有确定的数值z 与之对应，则称z 是f 的二元函数，记为),(y x f z =。其中y x ,为自变量，

z 为因变量，f

为对应法则，D 为定义域，值域

{}D y x y x f z z R f ∈==),(),,(。

（1）二元及二元以上的函数称为多元函数。

（2）一元函数与二元函数的区别：①定义域不同；②自变量的个数。

（3）多元函数的定义域和表达式可以参照一元函数求解。 例1：设x

y

x

x e e x y x y x f ln )1()ln ,(-=-，求),(y x f 的表达式。

例

2：求函数)

1ln(4)2arcsin(2

22

y x y x x z ---+=的定义域。 7.1.2 二元函数的极限

设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心领域内有定义，当动点),(y x P 趋向于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋近于常数

A ，则数A 是函数),(y x f 当),(),(00y x y x →时的极限，记为

A y x f y x y x =→),(lim

)

,(),(00

（1）动点),(y x P 趋近于定点),(000y x P 的方向是任意的。 ①若函数),(y x f 以某一方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限

不存在，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不存在。

②若函数),(y x f 以某一方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限

存在，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不一定存在。

③若函数),(y x f 以不同方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限

存在但是不相等，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不存在。 （2）求二重极限的方法与技巧

①直接代入法；②根式有理化；③无穷小的性质； ④等价无穷小的替换；⑤夹逼准则； ⑥不等式的性质（xy y x 222≥+；1sin ≤x 等等）

⑦若函数),(y x f 中含有22y x +的式子，令θθsin ;cos r y r x ==，则

)0,0(),(→y x 等价于0→r 。

备注：求二重极限的极限不能使用洛必达法则。 例3：求下列极限

（1）xy

xy y x 4

2lim )0,0(),(+-→

（2）y

xy

y x sin lim )0,2(),(→

（3）2

42)0,0(),(lim

y x y

x y x +→

例4：设

⎪⎩⎪

⎨⎧=≠+)

0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy

y x f ，证明：),(lim )

0,0(),(y x f y x →不存在。 例5：设

⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0(),(,0)

0,0(),(,),(2

63y x y x y x y x y x f ，证明：),(lim )

0,0(),(y x f y x →不存在。 例6：设

⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22

y x y x y

x xy

y x f ，求),(lim )

0,0(),(y x f y x →。 7.1.3 二元函数的连续性

设函数),(y x f 在点),(00y x 的领域内有定义，若

),(),(lim

00)

,(),(00y x f y x f y x y x =→，则称),(y x f 在点),(00y x 处连续。

（1）二元初等函数在其定义区间上都是连续的。

（2）若函数),(y x f 在D 上的每一点都连续，则),(y x f 在D 上连续。

（3）有界闭区域D 上多元连续函数的性质：①最值定理；②有界定理；③介值定理。 7.2 偏导数 7.2.1 偏导数的概念

设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某领域内有定义，当自变量y 固定在0y 时，自变量x 在0x 处取得增量x ∆时，相应地函数),(y x f z =也取得增量),(),(0000y x f y x x f z -∆+=∆，

若0→∆x 时，极限 x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

存在，则称为函数),(y x f z =在点),(00y x 处

对x 的偏导数，记为0

y y x x x

z ==∂∂；0

0y y x x x

f

==∂∂；),(00'y x z x ；),(00'y x f x

（1）类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数可以定义为y

y x f y y x f y

z

y y y x x ∆-∆+=∂∂→∆==)

,(),(lim

00000

0。

（2）若函数),(y x f z =在区间上的任一点对x 的偏导数都存在，则称为函数),(y x f z =对x 的偏导数，记为x

z ∂∂。

（3）求多元函数对某个自变量的偏导数，只需要把其它自变量看做常数，然后利用一元函数的求导公式和复合函数的求导法则即可。

（4）求分段函数在分断点处的偏导数要用偏导数的定义去