状态空间分析法

第9章 线性系统的状态空间分析与综合

•重点与难点

—、基本概念

1. 线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态

反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。

状态变量

确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动

状态是必需的，也是充分的。

状态向量 以状态变量为元素构成的向量。

状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上

的点来表示。

状态方程

状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是 关于系统的一阶微分（或差分）方程组。

输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。

状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空 间表达式一般用矩阵形式表示：

x y

（2） 状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、 传递函数等其他形式的数学模型导出。

（3） 状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数） 是

确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作 为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性 变换的目的在于使系统矩阵 A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性 变换不改变系统的固有特性。

根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵 A 化为三种规范形式:

对角形、约当形和模式矩阵。

（4） 线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵

Bu

Du

（9.1）

Ax Cx 结构

图、

（t ）（即矩阵指数e At ）及其性质:

x(k) 1

UkT ))

Dkk)G(T)u(k)

(9.8)

i . (0) I

ii . (t) A (t) (t)A

iii . (t 1 t 2 ) (t 1 ) ( t 2) (t 2)(t 1)

iv. 1

(t) ( t) v.

[(t)]k

(kt)

vi. exp(At) exp(Bt) exp[( A B)t] (AB B

vii .

exp(P 1APt) P 1

exo( At)P (P 非奇异) 求状态转移矩阵 (t)的常用方法:

拉氏变换法

(t) L[(sl

A)1]

级数展开法

At ,

", 1 A 2 2 1"k,k e I

At A t

A t k!

齐次状态方程求解

x(t) (t)x(0)

非齐次状态方程式(9.1)求解

t

x(t) (t)x(0)

0 (t )Bu( )d

(5) 传递函数矩阵及其实现

传递函数矩阵G(s):输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系

1

G(s) C(sl A) 1B D

(9.6)

传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵 G(s)，找一个系统｛代B,C, D ｝使式(9.6) 成立，则将系统｛A, B,C,D ｝称为G(s)的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数 时，称该系统为 G(s)的最小实现。

传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标 准形实现、对角形实现和约当形实现等。

(6) 线性定常连续系统的离散化及其求解

对式(9.1)表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述 为 其中

(T)

(t)tT

T

(9.2)

(9.3)

(9.4)

(9.5)

G仃)0 ( )Bd

离散状态方程式(9.1)的解为

k 1

x(k) k(T)x(0) k1i仃)G(T)u(i) (9.9)

i 0

2.线性系统的可控性与可观测性

(1)系统的(状态)可控性。设系统状态方程为x Ax Bu，若在有限时间间隔

t [t o，t f]内存在无约束的分段连续控制函数U(t)，能使系统从任意初始状态X(t o )转移到任意的终止状态x(t f )，则称系统是状态完全可控的，简称可控。

线性定常连续系统可控性常用判据：

2 n 1

1)rank[B AB A B A B] n (9.10)

2)当A为对角矩阵且特征根互异时，输入矩阵B中无全零行(当矩阵A有相同特征根时不适用)。

当A为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵中与约当块最后一

行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零(当相同特征根

分布在两个或两个以上约当块时不适用)。

1

3)(Si A) B的行向量线性无关。

4)单输入系统｛A, B｝为可控标准形。

5)

单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时，系统可控、可观测(对多输入多输出系统不适用)。

连续系统状态方程离散化后的可控性：连续系统不可控，离散化的系统一定不可控；

连续系统可控，离散化后的系统不一定可控(与采样周期的选择有关)。

(2 )系统输出可控性。设系统状态空间表达式为式( 9.1),若在有限时间间隔

t [t o，t f]内，存在无约束的分段连续控制函数u(t)，能使系统从任意初始输出y(t。)转移到最终内测量到的输出y(tj，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。

输出可控性判据为

rank[CB CAB CA n 1B D] q(C阵的行数)

状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。

单输入单输出系统，若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。

(3)系统状态可观测性。已知输出U(t)及有限时间间隔t [t0,t f]内测量到的输出

y(t)，若能唯一确定初始状态x(t。)，则称系统是完全可观测的，简称可观测。