数列极限存在的条件(精)
数学分析 数列极限存在的条件
1 4.K ，N 0, 当n N 时，有 | an a | , 则 lim an a n K 5.若数列{an },{bn }中有一个发散或两个发散，则{an +bn }， {an bn }， {an bn }都是发散的 6.若 lim an a b lim bn , 则必存在发散数列cn , 使N 0，
二. {an }收敛的充要条件、充分条件、必要条件 1. N 定义 2.所有子列都收敛于同一个数 3.所有子列都收敛 4.柯西收敛准则 5.奇子列与偶子列收敛于同一数 6.{an }单调有界（充分不必要） 7.迫敛性（充分不必要） 8.有界性（必要不充分）
三.重要结论
n 1 1 a 1.无穷小数列：q n (| q | 1), ( 0), n , n n! n! n 2.极限等于1的数列： a , n n , n an (其中an a )
1 1 注： 1 ln n是收敛的，其极限值称为欧拉常数 2 n
一.写出下列定义 1. {an }收敛 2.{an }发散 3.{an }收敛于a 4.{an }不收敛于a 5.{an }是无穷小数列 6.{an }是无穷大数列 7. {an }不是无穷大数列 8.{an }有界 9.{an }无界
例5 求下列极限
注：c 时定理不成立
a1 a2 an （1）已知 lim an a, 求 lim n n n
（2）设0 x1 1, xn 1 xn (1 xn )，求 lim nxn
n
当 n, m N 时, 有 | a n A | , | am A | . 2 2 由此推得
an am an A am A
数列极限存在的条件.
数列收敛的充分必要条件等价.
二、柯西(Cauchy)收敛准则
定理2.10 数列 an 收敛的充要条件是:对任给的 0,
存在正整数N, 使得当n,m N 时有
an am .
注3 给出两种等价形式. 注4 该定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问 题,其证明将在第七章给出.
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一、单调有界定理
定义 若数列 an 的各项满足关系式
an an1(an an1)
则称 an 为递增(递减)数列,递增数列和递减数列统称为
单调数列,如
1 n
为递减数列，n
2
与
n
n
1
为递增数列,而
(
1)n n
则不是单调数列.
证
设
an
b1 10
b2 10
……+
bn 10
.
为了便于讨论,不妨令n >m,于是
an am
bm1 10m1
bm2 10m 2
……+
bn 10n
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an am
bm1 10m1
bm2 10m 2
……+
bn 10n
9 10m1
(1
1 10
…
n个根号
证 令 an 2 2 L 2, 易见数列 {an } 是递增的.
现在用数学归纳法来证明数列an 是有界的.
显然, a1 2 2. 假设 an 2, 则有 an1 2 an 2 2 2,
从而对一切 n有an 2. 即数列an是有界的.
数列极限存在的充分必要条件
数列极限存在的充分必要条件数列极限存在是数学分析中一个重要的概念，它描述了数列在无限项的情况下的趋势和稳定性。
在数学中，我们常常关注数列的极限是否存在，因为它对于理解数列的性质和应用具有重要意义。
本文将探讨数列极限存在的充分必要条件。
一、数列的定义我们需要明确数列的定义。
数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
通常用{an}表示，其中n为自然数，an表示数列中的第n个数。
例如，{1, 2, 3, 4, ...}就是一个数列，其中an=n。
二、数列极限的定义数列极限的定义是数列理论的基础。
对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立，那么我们称实数a为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=a。
三、数列极限存在的充分必要条件数列极限存在的充分必要条件是数学分析中的一个重要结论。
下面我们将介绍数列极限存在的充分必要条件。
充分条件：1. 单调有界性：如果数列{an}单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则数列{an}的极限存在。
这是因为单调有界数列必定收敛于某个实数。
2. Cauchy收敛准则：如果数列{an}满足Cauchy收敛准则，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m,n>N时，|am-an|<ε成立，那么数列{an}的极限存在。
这是因为Cauchy收敛准则保证了数列的逼近性，使得数列趋于某个实数。
必要条件：1. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么数列{an}必定有界。
这是因为极限存在意味着数列在某个实数附近趋于稳定，因此数列的项必定在某个范围内。
2. 单调性：如果数列{an}的极限存在，那么数列{an}必定是单调的。
这是因为极限存在意味着数列在某个实数附近趋于稳定，因此数列的项必定具有一定的顺序性。
数列极限存在的充分必要条件是单调有界性和Cauchy收敛准则。
这两个条件保证了数列的趋势和稳定性，使得数列能够收敛于某个实数。
数列极限存在的条件-GraphicsXMU课件
复习思考题
1. 对于数列是否收敛的各种判别法加以总结. 2. 试给出{ an }不是柯西列的正面陈述.
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, 所以
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返回
例2 下面的叙述错在哪儿？
因为显然有 从而得出
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后页
返回
是最基本的, 而教材上的证法技巧性较强.
前页
后页
返回
由此得
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后页
返回
前页
后页
返回
*例3 证明: 证
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后页
返回
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后页
返回
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后页
返回
前页
后页
返回
例4 证
前页
后页
返回
前页
后页
返回
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后页
返回
二、柯西收敛准则
定理 2.8 数列 收敛的充要条件是:
柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：
对任意
均有
满足上述条件的数列称为柯西列.
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返回
由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因 此这里仅给出必要性的证明.
证
时, 有 由此推得
柯西( Cauchy,A.L.
1789－1857 ,法国
)
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例5 发散. 证取
一、单调有界定理
定理 2.7 单调有界数列必有极限. 证 该命题的几何意义是十分明显的.
单调增，有上界. 由确界定理，存在 由上确界的定义，对于任意的
存在 使
(
)
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返回
这就证明了 例1 设 求 解
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后页
返回
数列极限的存在准则
xn 1
1 1 1 1 1 ... 2! n1 1 1 2 k 1 1 n 1 1 n 1 ... 1 n 1 k! 1 1 2 n1 1 n 1 1 n 1 ... 1 n 1 n! 1 1 2 n 1 n 1 1 n 1 ... 1 n 1 ( n 1)!
例3 证明数列 2, 2 2 , , 2 2 2 , 单调有界, 并求极限. 例4 设a 0, x1 0, xn1
解 由均值不等式, 有
1 a xn , 求 lim xn . n 2 xn
1 a a xn1 xn xn a { xn }有下界. 2 xn xn
{an }单调增加,有上界,故收敛.
其实, 在 1时,{an }收敛.只是证明稍麻烦些.
1 1 1 而an 1 ... , n 1, 2, ..., 2 3 n 在 1时{an }发散.
如果{an }在 1时收敛,设 lim an a , 那么应有 lim a2 n a , lim a2 n an 0,
n
n
1 1 1 例2 设an 1 ... , n 1, 2, ..., 2 3 n 2, 证明{an }收敛.
证明：数列递增性显然，下面证明有上界： 1 1 1 2, an 1 2 2 ... 2 2 3 n 1 1 1 1 1 ... 2 2, 1 2 2 3 ( n 1) n n
1 lim 1 n 2n 1
数学分析2-323 数列极限存在的条件
n
2
) 1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1)
n! n 1 n 1
n1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n1
把 en 和 en1的展开式作比较就可发现, en 的展开
式有 n 1 项,其中的每一项都比 en1 的展开式中
的前 n 1 项小,而 en1 的最后一项大于零.因此
n(n 1) n!
11 nn
1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 ) 1! 2! n 3! n n
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1),
(1)
n! n n
n
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由此得
en1
1
1 1!
1 (1 2!
1 n
) 1
1 (1 3!
1 n
)(1 1
A2 2 A，并解出 A 2, A 1.
由极限的不等式性, 知道 A 0 , 所以
lim
n
an
2
.
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例2 下面的叙述错在哪儿？
“设 an 2n, n 1, 2, , 则
an1 2n1 2an .
因为显然有
an
0,
所以
{ an }
递增 . 设
lim
n
an
A,
从而得出
A 2A A 0,
即 lim 2n 0 .” n
以前知道圆周率 π 是一个重要的无理数,现在来
介绍另一个重要的无理数 e.
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考察数列
en
(1
1 n
)n
的收敛性,下面的证法
第一节数列极限存在准则-3分析
am
| .
故数列{an
}收敛. 11
例5(P38) 证明 : 任一无限十进小数 0. b1b2 bn 的n位不
足近似(n 1, 2, )所组成的数列
b1 10
,
b1 10
b2 102
,
, b1 10
b2 102
bn 10n
,
(2)
满足柯西条件(从而必收敛),其中bk为0,1, 2, , 9中的一个数, k 1, 2, .
由定理2.9 知 lim n 及 lim n 1 存在 . n n 1 n n
实际上
n
n1
lim 1, lim 1.
n n 1
n n
4
例1( P 35)
设an
1
1 2
1 3
2. 证明数列{an }收敛.
1 n
，n
1,
2,
, 其中实数
例 证
证明：若an 1
0＝
1 2
0，N
1
2
N
1 n
，则数列{an
}发散.
，m，2m N，有
| a2m am |
1 1 m1 m2
1 2m
11 2m 2m
1 2m
m
1 2m
1 2
0.
故数列{an }发散.
柯西收敛准则的等价叙述(补充):
数,其值用e= 2.7182818284……)来表示，即
lim(1 1 )n e.
n
n
9
2.3数列极限存在的条件——收敛准则
14
1 1 n
n
1 1 1 1 1 2! 3! n!
1 n 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 3 n 1 3 1 2 2 2 2 1 2 n 1 合上 xn 1 ，单增有界。 n 1
n n
1 1 n
n1
1 n n 2 n1
n 2
n1
1
n 2
1 n 1 ( n 1 ) n1 n 2
n 2
2 n n1
n 2
n1
1 xn 1 n 1 limxn lim 1 e n n n
1 lim yn lim 1 n n n
n1
1 第二个重要极限的特点：无穷小量 n 与无穷大量n 的乘积=1。
19
§2.4.3 数列的子列
若数列{yn} 单调，当数列{yn}再增加有界这个条件， 则数列{yn} 必收敛。 对于单调数列{yn} ，还可以增加什么条件，代替 有界条件，仍然保证数列{yn} 收敛。 另外，所遇到的数列大多数都不具有单调性，如何 使研究其收敛性问题得到简化？ 例如，数列xn= si n
1 1 n1
n1 1 表明数列 1 单调减 n
16
于是
1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 n1 n2
n
β β 1 1 β
β β2 1 2β
所以
1 1 4 1 0 β (1 5 ) 2 2
数列极限存在的条件
1 2
n
2
n
2
2n 2n
1
n1
n 1 n2
1
n2
1
n1
2n
n 1 1 n 2
n1 n2 2n
n3 4n2 4n 1 1, n3 4n 2 4n
yn ↘.
显然有 xn yn . n, 有 xn yn y1 4. 即数列{ yn }有上界. 评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.
1 ↘.
1
1
n
xn
1
1
1
2
n
n
2
证法四 ( 仍利用均值不等式 )
n个
1
1
n
1
1
1
1
1
1
n n n n
n1
1
n1
1 n
1
n
2 n1
1
1
n1
.
n 1 n 1 n 1
xn xn1 ,
即 xn ↗.
“均值不等式妙用两则”.
证法五 先证明：对 0 a b 和正整数 n ，有不等式
a1
a2
a n1
1
1, n 1
an 1,
可仿上证得 n 3 时
1
1 n
n
↗。
( n 1时无意义, n 2 时诸 ai = 0 , 不能用均值不等式. ) 当 n 2 时, 由
1
1 1 n
1 1 n
1 n2
1,
1
1 n
1 1
1
.
n
1
1n
n
1
1
1
n
.
由
1
极限存在两个准则
极限存在两个准则
数列极限存在的两个定理
1、 夹逼定理：
若∃N ，当n>N 时，≤≤
n y n x n z 存在条件A y n n =∞→lim =A z n n =∞
→lim ，则：
A x
n n =∞→lim 2、 单调有界数列必收敛定理：
单调上升数列有上界
收敛
单调下降有下界
收敛
函数极限存在的两个定理：
1、 夹逼定理：
存在∃δ>0,在δ<−<0x x 0时，有
n y ≤≤，
n x n z 存在条件A y n x x =→0x x →0
x x → 则：
x lim =，则： A z n =lim A x
n x x =→lim 0
其他趋近过程也有类似结论 2、 单侧极限与双侧极限的关系: A x f =)(lim 0
A x f =−0
0 0 h(x)
0<x<0+δ 只能分别求两侧极限。
3、 一元函数极限不存在时常用的两种方法：
① 左右侧极限存在，但是不相等
)( x -δ<x<
x x x
求极限时，指数函数 y=
x a 反正切函数y=arctanx 反余切函数
y=arccotx 必须要求两侧的极限值。
② ⅰ、∃
→，≠； n x 0x n x 0x
不存在， )(lim n
n x f +∞→ⅱ、∃→，→，
n x 0x n y 0x 但是≠ )(lim n n x f +∞→)(lim n n y f +∞→。
第二章数列极限2-3 数列极限存在的条件
任何有界数列必有收敛子列.
证 设数列an 有界, 由例5可得有一个单调子列 ank .
显然 ank 是有界的, 再由单调有界定理推得 ank 收敛.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
柯西收敛准则
定理2.11
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
数列 {an } 收敛的充要条件是: 对于任意正数 ，存在 N 0 ，当 n , m N 时, 有 an am .
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
(
a n0
Hale Waihona Puke an ( n n0 )
)
x
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§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
an 0 an ,
这就证明了 lim an .
n
例1 设 a1 2, , an 2 2 2 , , n 求 lim an .
柯西准则的充要条件可用另一 种形式表达为： 0, N 0, 当 n N 时， 对任意 p N+ , 都有
| a n an p | .
满足上述条件的数列称为柯西列.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
柯西( Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 )
m
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
从而 1 1 1 1 e lim sn lim(1 ). n n 1! 2! 3! n! 1 1 1 1 由公式 e lim(1 ), 可以较快地 n 1! 2! 3! n! 算出 e 的近似值. 1 1 1 由于 0 snm sn , ( n 1)! ( n 2)! ( n m )! 1 令 m , 得到 0 e sn , n 1,2, . n!n 取 n 10, e s10 2.7182818, 其误差 1 7 0 e s10 10 . 10 10!
数学分析2.3数列极限存在的条件
第二章数列极限2 数列极限存在的条件若数列{a n}的各项满足a n≤a n+1(a n≥a n+1)，则称{a n}为递增(递减)数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列。
定理 2.9(单调有界定理)：在实数系中，有界的单调数列必有极限，且其极限就是它的上(下)确界.证：若{a n}为有上界的递增数列. 由确界原理可知，{a n}有上确界，记a=sup {a n}. 则对∀ε>0，有{a n}中的某一项a N，使得a-ε<a N.∵{a n}递增，∴当n≥N时，有a-ε<a N≤a n.又{a n}有上界，∴对一切a n，都有a n≤a<a+ε.综上，当n≥N时，有a-ε<a n <a+ε, ∴=a.若{a n}为有下界的递减数列. 由确界原理可知，{a n}有下确界，记b=inf {a n}. 则对∀ε>0，有{a n}中的某一项a N，使得b+ε>a N.∵{a n}递减，∴当n≥N时，有b+ε>a N≥a n.又{a n}有下界，∴对一切a n，都有a n≥b>b-ε.综上，当n≥N时，有b-ε>a n >b+ε, ∴=b.例1：设a n=1，n=1,2,…，其中实数a≥2. 证明数列{a n}收敛. 证：∵a n-1-a n=(1)- (1)=>0.∴{a n}递增. 又a n≤1≤1=2<2，n=1,2,…，∴{a n}有上界. 由单调有界定理可知{a n}收敛.例2：证明数列,,……收敛，并求其极限.n个根号证：记a n=，且a1=<2, 可设a n<2，则有a n+1=<<2，从而对一切n，有a n<2，即{a n}有界。
又a1=>0，a2=>=a1>0，可设a n>a n-1，即a n-a n-1>0；则a n+1-a n=>0，∴{a n}递增.由单调有界定理可知，数列{a n}有极限，记为a. 由=2+a n，对两边取极限得a2=2+a，解得a= -1或a=2. 由数列极限的保不等式性知，a= -1不合理，舍去. ∴.例3：设S为有界数集. 证明：若sup S=a∉ S，则存在严格递增数列{x n}⊂S，使得=a.证：∵sup S=a，∴∀ε>0，∃x∈S，使x>a-ε. 又a∉ S，∴x<a，从而有a-ε< x<a，取ε1=1，则∃x1∈S，使得a-ε1< x1<a，再取ε2=min{,a- x1}>0，则∃x2∈S，使得a-ε2< x2<a，且有x2> a-ε2≥a-(a- x1)= x1.如上循环进行可得x n-1∈S，取εn=min{,a- x n-1}>0，则∃x n∈S，使得a-εn< x n<a，且有x n> a-ε2≥a-(a- x n-1)= x n-1. 至此得到严格递增数列{x n}⊂S，且满足a-εn< x n<a<a+εn，∴=a.例4：证明存在.证：建立不等式b>a>0，对任一正整数n有，b n+1-a n+1<(n+1)b n(b-a)，即a n+1> b n[(n+1)a-nb] (1)以a=1，b=1代入(1)式，得，∴递增；再以a=1，b=1代入(1)式，得1>=，∴<4.∴有界；根据单调有界定理可知：收敛。
数列极限存在的条件
§2.3 数列极限存在的条件教案内容：第二章 数列极限 ——§2.3 数列极限存在的条件 教案目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具.教案要求：(1) 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；(2) 初步理解Cauchy 准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy 准则判断某些数列的敛散性.教案重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用. 教案难点：相关定理的应用. 教案方法：讲练结合. 教案过程： 引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列{}n a 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n 充分大时，n a 能充分接近其极限a ，故可用n a 作为a 的近似值.本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.从收敛数列的有界性可知：若{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列；但反之不一定对，即{}n a 有界不足以保证{}n a 收敛.例如{}(1)n -.但直观看来，若{}n a 有界，又{}n a 随n 的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列. 一、单调数列定义 若数列{}n a 的各项满足不等式11()n n n a a a a ++≤≥，则称{}n a 为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．例如：1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列；{}2n 为递增数列；(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭不是单调数列.二、单调有界定理问题 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列{}n a ，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限. 几何解释 单调数列}{n a 只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点na 沿数轴移向无穷远；（2）na 无限趋于某一个定点A ，即)(∞→→n A a n .证明 不妨设}{n a 单调增加有上界，把}{n a 看作集合，有确界原理，μ=}sup{n a 存在即：（1）n ∀，μ≤n a ；（2）0>∀ε，N n ∈∃0使0n a εμ->,由于}{n a 单调增加，故当0n n >时有εμ-<0n a εμμ+<≤≤n a即当n n >时εμ<-||n a 亦即μ=∞→n n a lim .例10>a ，证明数列a a =1，a a a +=2，a a a a ++=3，……，n a a=++，……收敛，并求其极限.证明 从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的.易见0>≥a a n ，且12a a a +=，23a a a +=，…，1-+=n n a a a ，…,从而12-+=n n a a a na a +< 两端除以na 得nn a aa +<1,n ∀，a a n ≥ ⇒ a a a n +<≤1 故}{n a 有界即得极限存在.设∞→n lim l a n=，对等式12-+=n n a a a 两边取极限，则有)(lim lim 12-∞→∞→+=n n n n a a a =aa n n +-∞→1lim ⇒al l +=22411al +±=⇒,因}{n a 为正数列，故0≥l ，因此取2411al ++=即为所求极限.例2 求∞→n lim nka n （k 为一定数，1>a ）解 记=n c n ka n ，则0>n c 且kk n n n a n n a c c )11(1)1(11+=+=+1>a ，则N ∃，当N n >时1)11(1<+k n a ，故N n >后，}{n c 单调递减，又有0>n c ⇒极限一定存在，设为A ,由n k n c n a c )11(11+=+两边取极限得A a A 1=（1>a ）0=⇒A . 例3 设 ). 2 ( ,131211≥++++=ααααna n 证明数列{n a }收敛. 例4.21 .0 ,011⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=>>+n n n x a x x x a 求.lim n n x ∞→ ( 计算a 的逐次逼近法, 亦即迭代法 ). 解 由均值不等式, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n x a x x 21 1}{ .n nn x a x ax ⇒=⋅≥有下界,注意到对,n ∀有,a x n ≥有nn n n x a a x a x x .1) (121121221⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+↘，,.lim a x n n =∞→三、柯西收敛准则 (一) 引言单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则. (二) Cauchy 收敛准则定理（Ｃauchy 收敛准则） 数列{}n a 收敛的充分必要条件是：对任给的0ε>，存在正整数Ｎ，使得当,n m N >时有||n m a a ε-<.证明“⇒”}{n a 收敛，则存在极限，设a a n n =∞→lim ，则0>∀ε，N ∃，当N n >时有2/||ε<-a a n ⇒当N m n >,时有ε<-+-≤-||||||a a a a a a n m m n“⇐”先证有界性，取1=ε，则N ∃，N m n >,⇒1||<-m n a a .特别地，N n >时1||1<-+N n a a ⇒1||||1+<+N n a a ,设}1|||,|,|,||,m ax {|121+=+N N a a a a M ，则n ∀，Ma n ≤||.再由致密性定理知，}{n a 有收敛子列}{k n a ，设aa k n k =∞→lim ,0>∀ε，1N ∃，1,N m n >⇒||/2n m a a ε-<,K ∃，K k >⇒2/||ε<-a a k n ,取),m ax (1N K N =，当N n >时有11N n N N +≥+>⇒ εεε=+<-+-≤-++2/2/||||||11a a a a a a N N n n n n ,故a a n k =∞→limCauchy 列、基本列（满足Cauchy 收敛准则的数列） Cauchy 收敛准则的另一表示形式：0>∀ε，N ∃，当N n >时，对P +∀∈=Z 有ε<-+||n P n a a .(三) 说明1、auchy 收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.2、auchy 收敛准则的条件称为Ｃauchy 条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.3、auchy 准则把N ε-定义中n a 与a 的之差换成n a 与m a 之差.其好处在于无需借助数列以外的数a ，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.例 如数列}{n a 满足||||11-+-≤-n n n n a a q a a （ ,3,2=n ）且10<<q ，证明数列}{n a 收敛.证明 令0||12>=-c x x ，||||11-+-≤-n n n n a a q a a 211221||||n n n q a a q x x ---≤-≤≤-||||||||1211n n p n p n p n p n n p n a a a a a a a a -++-+-≤-⇒+-+-+-+++)(132--+-++++≤n p n p n q q q c )1(11--+++=p n q q cqq q cn -≤-11. 0>∀ε，（不妨设q c-<<10ε），取]ln )1ln(1[q c qN ε-+=，则当N n >时，对任给自然数p 有ε<-<--+q cq a a n n pn 1||1.故由Cauchy 收敛准则知数列}{n x 收敛.例 证明数列n a n 1211+++= 发散.证明 要证：0>∃ε，对N ∀，必有Nm >0，0n N>使得||00ε≥-n m a a设n m >则)(1211112111||n m n n n m n n a a n m -++++++=+++++=-m nm n m m m m -=-=+++>1111 ，因此，如n m 2=，则||11/21/2m n a a -≥-=.这样，对2/10=ε，不管N 多大，如取10+=N n ，002n m =则N m >0，0n N>且212111||0000=-=-≥-m n a a n m ，这说明}{n a 不是一个Cauchy 数列.（四） 应用例5 证明: 任一无限十进小数 )10( .021<<=αα n b b b 的不足近似值所组成的数列,101010 , ,1010 ,102212211 n n b bb b b b ++++ 收敛. 其中) 9,,2,1 ( =i b i 是9,,1,0 中的数.证明 令 =n a ,101010 221n n b bb +++ 有⎪⎭⎫⎝⎛+++≤+++=--++++++++1122111011011109101010 p n p n p n n n n n n pn b b b a a1109+=n ().1101)1.0(11011.01)1.0(1n n p n p<<-=--…… 例6 设 .sin sin sin ,102n n n q q q q q q x q +++=<< 试证明数列{}n x 收敛.关于极限1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭) 71828.2 (≈e 的 证明留在下节进行.例7 .11lim ,11lim knn kn n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→例8 .211lim ,11lim ,1lim 3nn nn kn n n n n c ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→+∞→例9.1232lim n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→作业 教材P38—39 1，3，5，6，10，11；教材P40—41 1（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.（P38 3（4）提示：考虑,1nn a b =用双逼原理可求得,1→n b ）附 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调有界证法欣赏:Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann （1826—1866）最先给出以下证法一.证法一 （ Riemann 最先给出这一证法 ） 设 .11nn n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=应用二项式展开，得+⋅+=n n x n 11++⋅--+⋅- 321!3)2)(1(1!2)1(n n n n n n n n nn n n 1!123)1(⋅⋅⋅- ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n n n n n n 112111!12111!3111!2111 ， !21111++=+n x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121111!31111n n n + )!1(1+n ;11111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n注意到 ,11111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n ,12121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n .11111 ,⎪⎭⎫⎝⎛+--<⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n n n且1+n x 比n x 多一项)!1(1+n ,011111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n , 1n n x x >⇒+ 即n x ↗.nn n x n )1(132121111!1!31!21110-++⋅+⋅++<+++++<< n x n n n .31111111312121111⇒<-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++= 有界.综上, 数列{n x }单调有界.评注 该证法朴素而稳健, 不失大将风度.证法二 ( 利用Bernoulli 不等式 )注意到Bernoulli 不等式 n x nx x n ,1( ,1)1(->+≥+为正整数 ), 有=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++nn nn n n x x 1111111nn n n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n n n n n 12211122,)1(111112nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 由 ,1)1(12->+-n 利用Bernoulli 不等式,有 .1133233)1(1111232321>++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+n n n n n n n n n x x n n n x ⇒↗. 为证{n x }上方有界, 考虑数列 .111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n y 可类证n y ↘. 事实上,=+1n n y y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2111111n n n n 1111111111+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++n n n n 12221221+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++=+n n n n n n n n n n 2112121121212 (此处利用了Bernoulli 不等式 ) n y nn n n n n ,1441442323⇒>+++++=↘.显然有 , .n y x n n ∀⇒< 有 .41=≤≤<y y x n n 即数列{n y }有上界. 评注 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 )0( ,1121>≤∑=i ni i nn a a n a a a中, 令 ,1 ,111121=-+====-n n a n a a a 就有 ,11111111)1(1 111111n n n nn n nn x n n n n n n x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-- , 1n n x x ≤⇒- 即 n x ↗.令 ,1 ,111121=--====-n n a n a a a 可仿上证得 3≥n 时⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn 11↗,( 1=n 时无意义, 2=n 时诸i a =0, 不能用均值不等式. ) 当2≥n 时, 由2111111111, 1,11n n n n n⎛⎫⎛⎫+-=-<⇒+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- .11111 n nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴ 由 nn ⎪⎭⎫⎝⎛-11↗n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒111 ↘. 22111 ⎪⎭⎫⎝⎛-<⇒n x < 4. 评注 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22.证法四 ( 仍利用均值不等式 )个n nn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111111⋅ , .111121111 1111++++<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n x x n n n n n n 即 n x ↗.有界性证法可参阅上述各证法.评注 该证法以简单而奇妙见长. 证法四可参阅《数学教案研究》1991.№1 马德尧 文“均值不等式妙用两则”.证法五 先证明：对 b a <≤∀0和正整数n ，有不等式.)1(11n n n b n ab a b +<--++事实上，=-++++-=----++ab a ba a b b a b a b a b nn n n n n 1111)(( n n n n a ba a b b ++++--11 < .)1(n b n +该不等式又可变形为[],)1(1+<-+n n a nb a n b ( n b a ,0<≤为正整数 )在此不等式中, 取 ,11 ,111nb n a +=++= 则有 ,0b a <≤ 就有 n n nx n n ,111111⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛++↗.取 ,211 ,1n b a +== 又有 121211<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 对n ∀成立，⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ,2211 nn.421122<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nnn x 又由 .4 ,212<⇒<-n n n x x x评注 该证法真叫绝.教材采用这一证法. 可参阅《The American Mathematical Monthly 》 1974. Vol 81. №9 P10—11。
高等数学-数列的极限
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
π
n
如图所示 , 可知
rR
当 n 无限增大时, 无限逼近 S .
刘徽
1、数列
定义
如果按照某一法则，对每个 n N ，对应着一个
确定的实数 xn，这些实数 xn按照下标n从小到大排列
得到的一个序列
x1, x2 , x3 , , xn ,
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
二、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n = 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
=
a,
lim
n
zn
=
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
xn
= a.
注意: (1)利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
例如,
1 , 2 , 3 , , n ,
234
n 1 xn =
n
n 1
1
(n )
收
敛
xn
=
n
(1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn = 2n (n ) 发
散
xn = (1)n1 趋势不定
● ●
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
=11
21!(1 1n)
数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
1. 数列极限的定义：
数列极限是指当一组数的k项的取值趋向于一个值时，此数列的k项称为极限值。
2. 数列极限存在的条件：
(1) 数列项具有确定的规律性：求极限必须有一个已知的数列，该数列必须具有一个确定的规律性或者说，必须是数系。
(2) 导数存在：不存在极限的情况通常是由于数列函数无法在某一点求得它的导数，或者说导数为正无限大、负无限大或无穷大。
(3) 无穷多项式存在：无穷项数列的极限应存在，这样的函数往往可以简化为无穷多项式的形式。
(4) 左右极限存在：左右极限的存在是数列极限存在的充要条件，即对于任意一个数列，其任意一点处必须具有左右极限才能满足数列极限存在条件。
(5) 极限算法存在：若数列满足上述条件，那么就可以通过极限算法来计算极限的值。
(6) 原函数的准确性：在计算极限的值时，数列函数的准确性也非常重要，原函数需要能够准确的表达该数列的趋势。
数列极限存在的判定准则
数列极限存在的判定准则数列极限存在是数学中一个重要的概念，它揭示了数列在无穷项时的趋势和稳定性。
在数学分析中，数列极限存在的判定准则有以下几种：1. Cauchy准则Cauchy准则是数列极限存在的一个重要准则。
根据Cauchy准则，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，对于任意正整数k，满足|an - ak| < ε。
这个准则意味着当数列中的项足够靠后时，这些项之间的差异足够小。
当且仅当数列满足Cauchy准则时，数列的极限才存在。
2. 单调有界准则对于递增（或递减）且有上（或下）界的数列，它的极限存在。
更加具体地，如果数列满足以下条件之一： - 若存在正整数N，当n>N时，有an≤an+1； - 若存在正整数N，当n>N时，有an≥an+1； - 数列有上（或下）界。
以上条件满足之一时，数列的极限存在。
3. 夹逼准则夹逼准则也是数列极限存在的判定准则之一。
如果存在两个数列{an}和{cn}，且满足an≤bn≤cn，并且当n趋近于无穷大时，an和cn都趋近于同一个极限L，那么数列{bn}的极限也收敛于L。
4. 有界性与单调性的整体准则一个数列，如果它是有界的，并且通过去除它的有限项后，剩余的数列具有单调性，那么原始数列的极限存在。
更准确地说，如果数列满足以下条件： - 存在正实数M，使得当n为任意正整数时，有|an|≤M； - 存在正整数N，当n>N时，an+1≥an或an+1≤an；则数列的极限存在。
5. 收敛数列算术运算性质如果两个数列{an}和{bn}收敛于a和b，那么它们的和、差、乘积和商也会收敛，并且有以下性质： - 和的极限为a + b； - 差的极限为a - b； - 乘积的极限为a * b； - 商的极限为a / b（其中b不等于0）。
这个准则告诉我们，如果知道一个数列收敛，并且知道另一个数列与之相关（通过加减乘除操作），我们可以利用这些关系判断极限的存在与值。
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b1 b 2 , 2 10 10
bn , n 10
(2)
满足柯西收敛准则,其中 b1 ,b2 ,…，bn ,… 是0,1,2,‥,9的数. 证 设
b1 b 2 b ……+ n . 10 10 10
为了便于讨论,不妨令n >m,于是 bm 1 bm 2 bn an am m 1 m 2 ……+ n 10 10 10
1 1 ,b 1 , 将它们带入(1). 由于 令a 1 n1 n
(1)
1 1 ( n 1)a nb (n 1)(1 ) n(1 ) 1 n1 n 1 n 1 1 ) (1 )n . 故有 (1 n1 n
这就是说
1 n (1 ) 为递增数列. n
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bm 1 bm 2 bn an am m 1 m 2 ……+ n 10 10 10 9 1 1 m 1 (1 … n-m 1 ) 10 10 10
1 1 nm 9 10 m 1 1 10 1 10 1 1 1 1 m (1 n m ) m . 10 10 10 m
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例3 证明
n1
1 lim(1 )n 存在. n n
证 先建立一个不等式,设 b a 0,于是对任意一自然数n有
b a
n1
整理后得不等式
bn 1 a n 1 (n 1)b (b a) 或 (n 1)bn ba
n
an1 bn [(n 1)a nb].
§3
数列极限存在的条件
一、单调有界定理 二、柯西(Cauchy)收敛准则
极限理论的两个基本问题 一、数列是否有极限(极限的存在性问题) 二、若极限存在,如何计算此极限（极限的计算问题） 困难 依定义需将每个实数用定义一一验证,不可能.
解决方法
直接从数列本身的特征来做出判断.
本节介绍的两个定理非常重要,它们不仅是判断数 列是否存在极限的充分条件和充要条件,而且也与实数 完备性定理等价.
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一、单调有界定理 定义 若数列 an 的各项满足关系式 an an1 (an an1 ) 则称 an 为递增(递减)数列,递增数列和递减数列统称为
1 2 n 单调数列,如 n 为递减数列， n
( 1) 则不是单调数列. n
n 为递增数列,而 与 n 1
定理2.9 分析
在实数系中,有界的单调数列必有极限.
找到极限即可，用确界原理.
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证
不妨设 an 是递增有上界数列.由确界原理,数列 an 事实上,任给 0, 按上确界的定义,存在数列 an 中
有上确界,令 a supan , 下面证明 a 就是an 的极限.
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再令 a 1, b 1
1 , 代入(1).由于 2n 1 1 ( n 1)a nb ( n 1) n(1 ) 2n 2, 1 n 故有 2 (1 ) . 2n 1 2n 4 (1 ) , 它对一切正整数n成立. 不等式两端平方后有 2n
对任给的 0 ,取 N 1,则对一切 n m N 有 a n am .
这就证明了(2)满足柯西收敛准则.
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lim an a . 有 a an a . 所以， n
注 通过证明可知,单增有上界数列有极限且其极限为其上 确界,单减有下界数列有极限且其极限为其下确界.
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证明 an 收敛.
1 1 例1 设 an a a 2 3
1 a , n 1, 2, ... 其中实数 a 2. n
证
显然an 是递增的. 下证 an 有上界.事实上,
an 1 1 1 22 n2 1 1 1 1 2 ( n 1)n
1 1 1 1 (1 ) ( ) 2 2 3 1 2 2, n 1, 2, . n 1 1 ( ) n1 n
从而对一切 n有 an 2. 即数列an 是有界的.
2 由于 a 由单调有界定理, 数列 an 有极限,记为 a. n1 2 an ,
运用数列极限的四则运算法则, 当 n 时有
a 2 2 a, 或(a 1)(a 2) 0,
2 2 即 a 1, a 2. 前者不可能, 所以应有 lim n 2 2.
二、柯西(Cauchy)收敛准则 定理2.10 数列 an 收敛的充要条件是: 对任给的 0, 存在正整数N, 使得当 n, m N 时有
an am .
注3 给出两种等价形式. 注4 该定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问
题,其证明将在第七章给出.
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直观意义 收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈是接近,以至 充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的 任意小正数.或者形象地说,收敛数列的各项越到后面 越是“挤”在一起. 优点 柯西收敛准则把 N 定义中
a 与 an 的关系换成了
am 与 an 的关系,其好处在于无需借助数列以外的数 a ,
只要根据数列本身的特征就可以鉴别其敛散性.
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例5 证明任意无限十进小数
a 0.b 1 b2……，bn……(0< a< 1)
的不足近似值所组成的数列
b1 b1 b 2 , 2, 10 10 10
an
某项 aN ,使得 a aN . 又由an 的递增性,当 n N 时都有
a aN an . 另一方面,由于 a 是 an 的一个上界,故对一切
an 都有 an a , 因而更有 an a .
这样就导出了:任给 0, 存在自然数 N , 使得当 n N 时
1 n (1 ) 是有界的.于是由 联系数列的单调性,由此又推得数列 n
1 n lim (1 ) 是存在的. 单调有界定理知道极限 n n
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1 n ) e. 注1 通常无理数e的定义为 lim(1 n n
以e为底的对数称为自然对数，通常记为 ln x loge x. 注2 单调有界定理只是数列收敛的充分条件,但却与下面 数列收敛的充分必要条件等价.
于是由单调有界定理,{an } 收敛.
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例2 证明数列
证
2 , 2 2 , , 2 2 2 ,
单调有界,并求其极限.
n个根号
令 an 2 2 2, 易见数列 {an } 是递增的. 现在用数学归纳法来证明数列 an 是有界的.
显然, a1 2 2. 假设 an 2, 则有 an1 2 an 2 2 2,