全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总含答案解析

x2
3
解得：
x1 y1
03， xy22
3 2
，
所以 M2（ 3 ，﹣2）．
综上所述 M 的坐标为（3 3 ，6）或（ 3 ，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
2．如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+（2k﹣1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、 A 两点．
若 x x2 3x ，解得 x="2" 或 x=0（舍去）。
当 x=2 时，x2﹣3x=﹣2。 ∴ 点 P 的坐标为（2，﹣2）。
∴ OP 22 22 2 2 。
∵
∠
POB=90°，∴
△
POB
的面积为：
1 2
PO•BO=
1 2
×4
2 ×2
2 =8。
3．如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B 与 y 轴交于 点 C（0，3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D．
（1）求二次函数的表达式； （2）在 y 轴上是否存在一点 P，使△ PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点 P 的坐标； （3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达 点 B 时，点 M、N 同时停止运动，问点 M、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最 大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点 P 的坐标为：（0，3+3 2 ）或 （0，3﹣3 2 ）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点 M 出发 1 秒到达 D 点时，△ MNB 面
积最大，最大面积是 1．此时点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴
（1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使△ AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐 标； （3）对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使∠ POB=90°？若存在，求出点 P 的坐标，并求出△ POB 的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣3x。 （2）点 B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在；理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值，从而求得抛物线的解析式。 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根据 △ OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物线的解 析式中即可求出 B 点的坐标，然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的 B 点是否 符合要求即可。 （3）根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式，由于 OB⊥OP，由此可求出 P 点的坐标特 点，代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标．求△ POB 的面积时，求出 OB，OP 的长度即 可求出△ BOP 的面积。 【详解】 解：（1）∵ 函数的图象与 x 轴相交于 O，∴ 0=k+1，∴ k=﹣1。 ∴ 这个二次函数的解析式为 y=x2﹣3x。 （2）如图，过点 B 做 BD⊥x 轴于点 D，
∵ 点 B 的坐标为：（4，4），∴ ∠ BOD=45°， BO
若∠ POB=90°，则∠ POD=45°。 设 P 点坐标为（x，x2﹣3x）。
42 42 4 2 。
∴ x x2 3x 。
若 x x2 3x ，解得 x="4" 或 x=0（舍去）。此时不存在点 P（与点 B 重合）。
在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y 1 x2﹣3；（3）M 的坐标为（3 3 ，6）或（ 3 ，﹣2）． 3
【解析】
【分析】
（1）把 C（0，﹣3）代入直线 y＝x+m 中解答即可； （2）把 y＝0 代入直线解析式得出点 B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分 M 在 BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】
（1）将 C（0，﹣3）代入 y＝x+m，可得： m＝﹣3； （2）将 y＝0 代入 y＝x﹣3 得： x＝3， 所以点 B 的坐标为（3，0）， 将（0，﹣3）、（3，0）代入 y＝ax2+b 中，可得：
b 3 9a b 0 ，
解得：
a
1 3
，
b 3
所以二次函数的解析式为：y 1 x2﹣3； 3
03， x2y2
3
3 6
，
所以 M1（3 3 ，6）；
②若 M 在 B 下方，设 MC 交 x 轴于点 E， 则∠ OEC＝45°-15°＝30°，
∴ OE＝OC•tan60°＝3 3 ，
设 EC 为 y＝kx﹣3，代入（3 3 ，0）可得：k 3 ， 3
3
联立两个方程可得：
y
3
x3
，
y
1 3
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知顶点为 C(0, 3) 的抛物线 y ax2 b(a 0) 与 x 轴交于 A ， B 两点，直线 y x m 过顶点 C 和点 B ． （1）求 m 的值； （2）求函数 y ax2 b(a 0) 的解析式；
（3）抛物线上是否存在点 M ，使得 MCB 15 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存
（3）存在，分以下两种情况：
①若 M 在 B 上方，设 MC 交 x 轴于点 D， 则∠ ODC＝45°+15°＝60°，
∴ OD＝OC•tan30° 3 ，
设 DC 为 y＝kx﹣3，代入（ 3 ，0），可得：k 3 ，
联立两个方程可得：
y y
1 3
3x x2
3 3
，
解得：
x1 y1
令 x2﹣3x=0，解得：x=0 或 3。∴ AO=3。
∵ △ AOB 的面积等于 6，∴ 1来自AO•BD=6。∴ BD=4。 2
∵ 点 B 在函数 y=x2﹣3x 的图象上， ∴ 4=x2﹣3x，解得：x=4 或 x=﹣1（舍去）。 又∵ 顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且 2.25＜4， ∴ x 轴下方不存在 B 点。 ∴ 点 B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在。