微积分基本定理

Φ(x)的几何意义是：右侧直线可移动的曲边梯形的面积. 如图6-6所示，曲边梯形的面积Φ(x)随x的位置的变动而改变， 当x给定后，面积Φ(x)就随之确定.
图 6-6
二、 积分上限的函数及其导数
定理3
若函数f(x)在区间［a,b Φ(x)=∫xaf(t)dt
在［a,b］上可导，且
(6-2)
二、 积分上限的函数及其导数
一、 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与 速度函数间的联系，有必要沿质点的运动方向建 立坐标轴.设时刻t时质点所在位置st，速度 vtvt≥0.
已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以 用速度函数vt在T1,T2
一、 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
又函数f(x)在点x处连续，而Δx→0时，ξ→x,所以
若x为区间［a,b］的端点,则只需将上面证明中的x换成a 或b,再分别限制Δx>0或Δx<0,即能证明Φ′+(a)=f(a),Φ′(b)=f(b).
综上所述,
这个定理指出了一个重要结论：连续函数f(x)取变上限x 的定积分然后求导，其结果还原为f(x)本身.
在上式中再令x=b，即得公式(6-3). ∫baf(x)dx=F(x)ba=F(b)－F(a).
三、 牛顿-莱布尼兹公式
注
当a>b时，牛顿-莱布尼兹公式仍成立.
由于f(x)的原函数F(x)一般可通过求不定积分求得， 因此，牛顿-莱布尼兹公式巧妙地把定积分的计算问题与 不定积分联系起来，转化为求被积函数的一个原函数在 区间［a,b］上的增量问题.
二、 积分上限的函数及其导数
【例5】
【例6】
二、 积分上限的函数及其导数
【例7】
二、 积分上限的函数及其导数
【例8】
设f(x)在区间I上连续,且u(x),v(x)皆可导,证明
三、 牛顿-莱布尼兹公式
定理3是在被积函数连续的条件下 证明的，因此有结论：连续函数必存在 原函数，也可得如下定理.
三、 牛顿-莱布尼兹公式
定理5通常称为微积分基本定理，牛顿-莱布尼兹公 式也称为微积分基本公式.
三、 牛顿-莱布尼兹公式
【例9】
【例10】
三、 牛顿-莱布尼兹公式
【例11】
【例12】
谢谢聆听
来表示；另一方面，这段路程又可通过位置函数st在区 间T1,T2
sT2－sT1 来表示.由此可见，位置函数st与速度函数vt有如下关系：
因为s′t=vt，所以上式表示，速度函数vt在区间T1,T2上 的定积分等于vt的原函数st在区间T1,T2上的增量.
上述从变速直线运动这个特殊问题中得出来的关系，在 一定条件下具有普遍性.请看下面的分析.
二、 积分上限的函数及其导数
设函数f(x)在区间［a,b］上连续，x是［a,b］上的一点，
(6-1) 所定义的函数称为积分上限的函数(或变上限的函数). 式(6-1)中积分变量和积分上限有时都用x表示，但它们 的含义并不相同，为了区别它们，常将积分变量改用t来表 示，即

二、 积分上限的函数及其导数
定理4
若函数f(x)在区间［a,b］上连续，则函数 Φ(x)=∫xaf(t)dt就是f(x)在［a,b］上的一个原函数.
由定理4知，连续函数的原函数是存在的，并且 可以通过原函数来计算定积分.
三、 牛顿-莱布尼兹公式
定理5
若函数F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］ ∫baf(x)dx=F(b)－F(a).(6-3)
微积分基本定理
微积分基本定理
通过第一节的例子可知，如果按定义来计 算定积分，那是十分困难的. 本节将介绍一种计 算定积分的简便有效的方法——微积分基本定 理，它把定积分与不定积分两个不同的概念联 系起来，把定积分的计算转化为求被积函数的 原函数.这很好地解决了定积分的计算问题，从 而使定积分得到了十分广泛的应用.
式(6-3)称为牛顿-莱布尼兹公式.
三、 牛顿-莱布尼兹公式
证已知函数F(x)是f(x)的一个原函数，又根据定理2 Φ(x)=∫xaf(t)dt
也是f(x)的一个原函数，所以 F(x)－Φ(x)=C，x∈［a,b
在上式中令x=a，得F(a)－Φ(a)=C Φ(a)=∫aaf(t)dt=0
所以F(a)=C ∫xaf(t)dt=F(x)－F(a)