数学超纲内容.pdf

在圆锥曲线里：

设椭圆上有一定点有一动点，那么有

变换得到

时就可以看成这一点切线的斜率，写成导数的形式就是

函数不等式：拉格朗日中值定理，洛必达法则（在下面），柯西不等式的变式，赫尔德不等式，闵可夫斯基不等式，（安利一本贝肯鲍尔的《不等式入门》，小册子）第二数学归纳法（在下面）

解析几何：极坐标系，参数方程，隐函数求导（在上面）（事实上背过切线公式和切点弦公式就好），各种二级结论做过的最好就背过。

立体几何：向量叉乘，暴力破解一个爽

数列：各种二三级递推、递归，以及特征很方程

选填最后一两题：高斯函数被考滥了，三角形四心的向量性质（在下面），一些典型的涂色

问题，还有就是一些几何性质，阿波罗尼斯圆（在下面）什么的，毕业久了记不得了

“四心”

1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0

2 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）

3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）

5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点

洛必达法则

0/0型不定式极限

若函数

和满足下列条件：

⑴，；

⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；

⑶（可为实数，也可为±∞　），

则

∞/∞型不定式极限

若函数和

满足下列条件：

⑴；

⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；

⑶（可为实数，也可为），

则

其他类型不定式极限

不定式极限还有

，，，，等类型。经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。

(1)

型

可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。

例：求

解：原式=

(2)

型

把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。例：求

解：原式=

(3)

型

可利用对数性质

将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。

针对不同的问题，还可以利用等价无穷小

作替换，化简算式。

例：求

解：原式=

=

=

=

=

=

上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把

替换成了。

(4)

型

同上面的化简方法

例：求

解：原式=

(5)

型

同上面的化简方法

例：求

解：原式=

注意

不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量

是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。

作为竞赛狗，我负责任地说些非纯竞赛，自招难度的东西,,哪些能用，请知友根据实际情况自己定夺～

1.牢记，牢记！三角恒等式和三角不等式,很有用，把证明记住，一证引理，一步到位妥妥的～

2.阿贝尔变换。还有其他恒等变换，暴算不等式的时候很有用。

3.几何法做解析，找准几何意义，超级简单～比如用个角平分线定理，感觉可神奇了～得看题怎么样，需要运气和智商，毕竟有的题确实没有几何意义

4.复数做平几。李伟固说今年Imo中国队就败在了不会算平几，2010年联赛那个很难的平几，建系很方便,,一般是有“心”还有良好的对称性的平几需要～

5.换元法，待定系数，有时会起到简化作用，算代数题，很有用

6.函数题，特值法，逼值，会比描述简单，但条件必须很好～

7.见到三角的题，设复数算，配以微积分基本定理，特别简单,,好像大家对复数都不是很

熟悉，其实复数是很好的数学工具

8.做不等式之前，先猜取等条件。给某个变量取极限看其他变量变化，所谓，冻结变量法～

9.求值域，解不等式，多想几何意义，线性规划简单很多

10.导数部份用拉格朗日中值定理，泰勒公式

11.解析，点差法，圆锥曲线的第二定义，拉格朗日恒等式变形，运算中常用。定比分点。

多记着小结论最好了～

12.用行列式展开多项式，方便

13.切比雪夫，排序，都很巧

14.母函数

15.高次方程韦达定理

16.复数中的Hlawka不等式。柯西不等式有条件成立，还有反向柯西。

17.斐波那契数列性质

18.复数中，单位根

19.解析中常常会用到阿波罗尼斯圆。

错位相减公式：所有错位相减题都可以化成的形式。设，那么

(q≠1)

此公式经本人上学时反复验证。

记住这个，再碰到错位相减题直接写答案。如果是大题象征性地写一写过程就行了。

涉及圆锥曲线焦半径长度的题目：用圆锥曲线统一定义几率秒杀。

焦半径长度用直角坐标不好表示，用统一定义简单得不要不要的。

第二数学归纳法

原理是设有一个与正整数n有关的命题，如果：

（1）当n=1时，命题成立；

（2）假设当n≤ｋ（k∈N）时，命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。

那么根据①②可得，命题对于一切正整数n来说都成立。

数列放缩（不一定靠谱）

花了一周时间，总算找到了一个通法，至少在答主的高中经历中能解决90%以上的数列放缩问题，包括不是固定值的，而是一个表达式的思想同样适应。话不多说，见下

0x1 思考这个值如1/3的得来，你会发现基本上都是等比求和的极限，没错。这机是关键，

原因也很简单，我们基本上只能对这类数列求和。

0x2 利用分析法。既然是一个等比数列，那么我们就直接构造这个等比数列，a1和q都设