初三数学圆全章导学案

与圆有关的角的综合教学设计

学习目标

1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按

的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论；

2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆

周角之间的关系进行角的转换和计算。

一、导学探究

知识概述

一、圆心角：

1、的角叫圆心角.

2、圆心角定理：在中，

相等的圆心角所对的相等，所对的也相等；

3、圆心角定理推论：

在同圆或等圆中，两个、两条、两条、两条弦的中有一组量相等，其余各组量都相等。

二、圆周角

1、顶点在，两条边的角叫做圆周角．

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．

3、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧．推论2：(或)所对的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是．

4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角．

推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的．

二、精讲多动

一、加深理解

1、对圆周角的理解

①如图，∠AOB与∠ACB是AB对的圆心角与圆周角，故有：∠ACB＝∠AOB，反之∠AOB＝∠ACB．

②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．

2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1：

①是圆中证角相等最常用的方法之一．

②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立

了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图

中的∠1与∠2)．

③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这个前提条件，结论不成立(如图中的AC BD

与)．

④联系圆心角定理推论可得：在同圆或等圆中，

C B

(2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法． 3、对圆的内接四边形定理的理解

(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角． (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°)．

(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据．

(4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置． 二、解题方法技巧点拨

1、圆心角和圆周角之间的换算

例1、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于P ，且∠APD ＝60°，∠COB ＝30°，求∠ABD

的度数．

例2、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝80°，以AB 为直径的半圆交AC 于D ，交BC 于E ．求AD DE BE 、

、所对圆心角的度数．

点评：(1)辅助线AE ，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．即有直径，得直角.

(2)本题还有副产品BE ＝EC ，你注意了吗？该副产品有时很有用．

仿解：如图，BC 为半圆O 的直径，点F 是弧BC 上一动点（点F 不与B 、C 重合），A 是弧BF 上的中点，设∠FBC ＝α, ∠ACB ＝β.

⑴当α＝50°时，求β的度数。

⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。

2、 圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题 圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角．

圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．

例3、如图，圆的弦AB 、CD 延长线交于P 点，AD 、BC 交于Q 点，∠P ＝28°，

∠AQC ＝92°，求∠ABC 的度数．

P

分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AQC 与圆外角∠P 可通过圆周角∠ABC (∠ADC )与∠A (∠C )建立起联系。 点评：

⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．

⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角． ⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和．(如图， ∠AQC ＝∠ABC ＋∠A )．

⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，∠P ＝∠ABC －∠A )．

3、与圆周角有关的证明

例4、如图，△ABC 内接于⊙O ，AE ⊥BC 于D ，交⊙O 于E ，AF 为⊙O 的直径． ⑴求证：∠BAF ＝∠CAE ． (2) 求证：AB ·AC ＝AD ·AF ；

(3)若过O 作ON ⊥AB 于N ，则ON 与CE 之间有何数量关系？

例5、如图，AB 是△ABC 外接圆O 的直径，D 为⊙O 上一点，且DE ⊥CD 交BC 于E ， 求证：EB ·CD ＝DE ·AC ．

例6、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ， AF ⊥BD 于F ，延长AF 交BC 于G ．求证：AB 2＝BG ·BC ．

例7、已知：⊙O 1的圆心O 1在⊙O 2上，且两圆交于A 、B 两点，O 1D 为⊙O 2的弦，交⊙O 1于C ，求证：O 1C 2＝O 1E ·O 1D ．

点评：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线．

①过弧中点作半径；②连等弧对的圆心角和圆周角；③连等弧对的弦．

D

B

4、与圆的内接四边形的有关计算问题 例8、如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是AC 上任意一点，那么∠D 的度数是________．

C

B

A O

D

仿解：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交弧BC 于D ． (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BC ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径．

（3）连CD ，设∠BDC ＝α，∠ABC ＝β，探究α与β之间的关系式，

并给给予适当的说明。

例9、已知：四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠BOD ＝100°．求∠A 的度数．（注意：此题不止一种情形）

仿解：已知⊙O 中弦AB 的长等于半径长，则弦AB 所对的圆周角的度数为 .

5、与圆的内接四边形有关的证明问题

例10、如图，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，G 是AC 上任意一点，AG 、DC 的延长线交于F ．求证：∠FGC ＝∠AGD ．

G

E C

B

A

O

D

F

点评：圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁，此题的关键是添加辅助线，构造圆内接四边形．

变式：①此题条件不变，问DG ·CG 是否与AG ·FG 相等．

②是否有AC 2＝AG ·AF 成立？ 6、巧妙构造四点共圆解题.

例11、在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。

思路点拨：由题中的条件AC ＝BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心，AC 为半径的圆，巧妙地构造出圆心角∠ACB ＝1000， 圆周角∠APB ＝500问题，使此题得以突破与解决。