线性代数第二章练习题

sin q ö ÷ 则 A -1 = ÷ - cos q ø
æ cos q ç è sin q
sin q ö ÷ - cos q ø
11．设 n 阶方阵 A, B, C 满足关系式 ABC = E ，其中 E 为 n 阶单位阵，则 必有（ D ） 。 （A） ACB = E （B）CBA = E （C） BAC = E
n
4．设 A 、 B 均为 n 阶矩阵，满足 A = B ，则必有（ D （A） A = B (A) （B） A = - B
2
）
2 2
（C） A = B （B） A = E
（D） A = B
5．设 A 为 n 阶矩阵,且有 A = A ,则结论正确的是________D________
5.设 a = ( 3, -2,1) , b (1,1, 2 ) , 且 A = ab ，则 A = 3
*
6．设 A, B 都是 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A （B）设 A, B 可逆，则 A
-1 -1
+ B 为对称矩阵
B ）
（C） A + B 为对称矩阵 （D） kA 为对称矩阵 7．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ （A） A + AT （A）-4 （A） k A
n
é(3 A) -1 - 2 A* 2ê 0 ë
0ù ú 的值。 Aû
*
(A - E)X = A 2 - E
【分析】 已知条件与 A 有关，立马想到公式 AA = A A = A E 。 由于
*
*
（B） A - AT （B）-1 （B） k A
n
（C） AAT D （D）4 （C）1 （C） k
n
（D） AT A ） C （D） k
（B） a = -1, b = 3, c = 1, d = 3 （D） a = -1, b = 3, c = 0, d = 3
源自文库
即
x = y -1.
æ1 2ö æ 1 2 3ö ÷ ，C = ç ÷ ，则下列矩阵运算中 è3 4ø è 4 5 6ø
C
2 设 a1 , a 2 , a 3 , a 均为 4 维列向量， A = (a1 ,a 2 , a 3 ,a ) ， B = (a1 , a 2 , a 3 , b ) ， 且 A = 2 ， B = 3 ，则 A - 3B = 3 设三阶矩阵 A 的行列式 56 。 -9
0 ö ÷ 1 0 0 ÷ 0 1 0 ÷ ÷ 3 0 - 6÷ ø 0 0
-1
5. 设方阵 A 满足方程 A2 - 3 A - 10 E = O ，证明 A、A－4E 都可逆，并求它们 分析 已知 A 的关系式，要求证明 f(A)可逆，一般是将关系式化简，得到
f(A)g(A)=E 的形式，从而可证 f(A)和 g(A)互为逆矩阵。
，
故
有
解：
A + B = AB Þ A = AB - B Þ A = ( A - E )B （但是 B
不 一 定 可 逆 ， 不 能 同 时 右 乘 以
Þ ( A - E ) + E = ( A - E )B Þ ( A - E )(B - E ) = E ， -1 故 ( A - E ) = (B - E) ．
n -1
0 0 2 A - E = 0 2 0 = -16 ¹ 0 , 故 A - E 可逆. 4 3 0
-1
8．设 A 为 3 阶方阵，且 A = 2 ，则 2 A-1 = （
9．设 A 为 n 阶矩阵， A * 为其伴随矩阵，则 kA* =
é(3 A) -1 - 2 A* 2ê 0 ë
A
n
0ù 6 -1 * 6 -1 * ú = 2 (3 A) - 2 A ´ A = 2 [(3 A) - 2 A ] A Aû
T T
T
n -1
A=0
æ 3 3 6ö ç ÷ ç -2 -2 4 ÷ ç 1 1 2÷ è ø
1 ，求行列式 2
(C) 若 A 不可逆,则 A = 0 （A） AB 为对称矩阵
(D) 若 A 可逆,则 A = E
2
6. 设 A 为 3 阶 方 阵 ， A 为 A 的 伴 随 矩 阵 ， A = ）
1 1 1ù 2 2 2ú ú ，求 A100 。 3 3 3ú ú 4 4 4û 1 1 1 ù é1 ù ê ú 2 2 2ú ú = ê2ú (1 1 1 1) ， 3 3 3ú ê3ú ú ê ú 4 4 4û ë4û
Þ
A - 4 E 可逆，且 ( A - 4 E )
-1
1 = (A + E) 6
2 2 2
故要使 A , B 可交换, 即 AB = BA 的充要条件是
ìx + 4 = x + 4 ï1 + 2 y = 2 x + 3 ï í ï4 x + 6 = 2 + 4 y ï î4 + 3 y = 4 + 3 y
（A） a = 3, b = -1, c = 1, d = 3 （C） a = 3, b = -1, c = 0, d = 3 2．设矩阵 A = (1, 2 ) ， B = ç
é1 0 1ù é1 0 0ù é0 0 1ù ê ú ê ú ê ú 令 A= 0 1 0 = 0 1 0 + 0 0 0 = E+B ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ë û ë û ë û
则
é1 ê2 10.设 4 阶矩阵 A = ê ê3 ê ë4 é1 ê2 由于 A = ê ê3 ê ë4
有意义的是（B） （A） ACB （B） ABC （C） BAC （D） CBA 3．设 A 、 B 均为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 （A） AB = 0 Þ A = 0或B = 0 （C） AB = 0 Þ A = 0或 B = 0
2
A = 3 ，则 3 A -1 - 2 A* =
æ0 èB
æ 1 0ö æ2 1 ö ç ÷ ç ÷ 2．设 A = ç 2 1 ÷ ， B = ç 0 - 1÷ ，求矩阵 X ，使 3 A + 2 X = B 成立． ç 1 3÷ ç4 0 ÷ è ø è ø æ -1 1 ö ÷ 1 1ç 解： X = (B - 3 A) = ç - 6 - 4 ÷ ． 2 2ç ÷ è 1 - 9ø æ 1 0 2ö ç ÷ 2 3. 设 A = ç 0 3 0 ÷ ,求 X , 使 AX + E = A + X ç 4 3 1÷ è ø
解
é1 ù A2 - 3 A - 10 E = O Þ A( A - 3 E ) = 10 E Þ Aê ( A - 3 E )ú = E ë10 û 1 Þ A 可逆，且 A-1 = ( A - 3E ) 10 é1 ù A2 - 3 A - 10 E = O Þ ( A - 4 E )( A + E ) = 6 E Þ ( A - 4 E ) ê ( A + E )ú = E ë6 û
方程左右两边同时左乘以 ( A - E ) , 得
）
-1
X = (A - E) -1 A 2 - E = (A - E) -1 ( A - E )(A + E)
(
)
AB
-1
（B） (-2) A B
n
-1
（C）- 2 AT B
（D）- 2 A B
7已知 A = ç ç 三、计算题
æ cos q è sin q
1 æ1 2ö （D） ç ÷ 2 è3 4ø
æ x 1 öæ 1 2 ö æ x + 4 2 x + 3 ö ÷ ÷ BA = ç ç2 y÷ ÷ç ç ÷=ç ç ÷ è øè 4 3 ø è 2 + 4 y 4 + 3 y ø
1
æ0 ç ç0 【分析】 ç M ç ç0 ça è n
的逆矩阵.
第二章 矩 一、选择题 1．设矩阵 ç
阵
æa +b 4ö æ2 a -bö ÷=ç ÷ ，则（ C d ø èc 3 ø è 0
）
13．下列命题正确的是 D （A）若 A 是 n 阶方阵，且 A ¹ 0 ，则 A 可逆； （B）若 A 、 B 是 n 阶可逆方阵，则 A + B 也可逆； （C）若 A 是不可逆方阵，则必有 A = 0 ； （D）若 A 是 n 阶方阵，则 A 可逆 Û AT 可逆． 二、填空题 1. 设 n 阶矩阵 A, B, C ，且 AB = BC = CA = E ，则 A + B + C = 3E
-1
æ 2 0 2ö ç ÷ = (A + E) = ç 0 4 0 ÷ ç 4 3 2÷ è ø
( D ) BCA = E ）
-1
æ 1 2ö æ x 1ö 1.设 A = ç ç 4 3÷ ÷,B =ç ç 2 y÷ ÷ ,求 x与 y 的关系,使 A 与 B 是可交换的。 è ø è ø
解: AB = ç ç4 è
方法二：将 A 分解为对角阵和主对角线上元素为零的上三角 阵之和进行计算。
é1 ù B = 3ê ( 2 E - A * ) ú ë2 û æ6 ç ç0 =ç 6 ç ç0 è 0ö ÷ 6 0 0÷ 。 0 6 0÷ ÷ 3 0 - 1÷ ø 0 0
-1
= 6(2 E - A* ) -1
æ1 ç ç0 = 6ç -1 ç ç0 è
【分析】 解法一：用反证法
B -1
）
é1 0 nù ú A = E + nE B = E + nB = ê ê0 1 0 ú ê ë0 0 1 ú û
n n n-1
所以， A100
7. 设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且 A 和 E - AB 可逆，证明 E - BA 也可逆。 设 E - BA 不可逆，则存在 x0 ¹ 0 ，使得 ( E - BA) x0 = 0 ，即 x0 = BAx0
-1
An = ( E + B) n = E n + nE n-1B +
因 为
n(n - 1) n-2 2 E B + L + nEB n-1 + B n 2!
所 以
6．设 A 、 B 均为 n 阶方阵，若 A + B = AB ，求 ( A - E ) 。 解答：由于
B2 = 0
，
B k = 0 ( k ³ 2)
解: 对方程移项得 AX - X = A 2 - E 根据矩阵乘法分配律得
（B） AB ¹ 0 Û A ¹ 0且B ¹ 0 （D） AB ¹ 0 Û A ¹ 0且 B ¹ 0
2
4． A m 阶， B n 阶，且 A = a, B = b, C = ç
Aö mn ÷ ，则 C = (-1) ab 0ø
a1 0 M 0 0
0
L
a2 L M O 0 0 L L
0 öæ 0 ÷ç 0 ÷ç a1-1 M ÷ç 0 ÷ç an-1 ÷ç M ç 0 ÷ øè 0
0
L
0 0 0
0 L -1 a2 L M 0
O M -1 L an -1
-1 ö an ÷ 0 ÷ =E 0 ÷ ÷ M ÷ ÷ 0 ø
é1 0 n-1ù é1 0 n -1ù é1 0 1ù é1 0 nù ú úê ú ê ú n-1 ê n n-1 A = ê0 1 0 ú ， A = A A = ê ê0 1 0 ú ê0 1 0ú = ê0 1 0ú ê ê ë0 0 1 ú û ë0 0 1 ú ûê ë0 0 1ú û ê ë0 0 1ú û é1 0 nù ê ú n 由数学归纳法知 A = 0 1 0 ê ú ê ú 0 0 1 ë û
3
A
n -1
= 26
æ AT 10．设 A, B 都是 n 阶可逆矩阵，则 - 2ç ç 0 è
（A） ( - 2)
2n
0 ö ÷ 等于（ A B -1 ÷ ø
1 -1 1 1 512 æ 2ö A A - 2 A* A = 26 E - 2 ´ E = 26 ´ ç - ÷ = 3 3 2 27 è 3ø
a1 0 M 0 0
0
L
a2 L M O 0 0 L L
0 ö ÷ 0 ÷ M ÷ (ai ¹ 0, i = 1,2,L, n) ，求 A-1 。 ÷ an-1 ÷ 0 ÷ ø
æ1 2ö （A）2 ç ÷ è3 4ø
1 æ1 2ö （B） ç ÷ 2 è3 4ø
æ1 2ö （C）2 ç ÷ è3 4ø
12．设 A 为 2 阶可逆矩阵，且已知 ( 2 A )
æ1 2ö =ç ÷ ，则 A =（ D è3 4ø
-1
æ 1 2 öæ x 1 ö æ x + 4 1 + 2 y ö ÷ç ÷ ÷ ç ÷=ç ç ÷ 3÷ øè 2 y ø è 4 x + 6 4 + 3 y ø
æ0 ç ç0 4. 设 A = ç M ç ç0 ça è n
左右两边同乘矩阵 A 得， Ax0 = ABAx0 ，令 y0 = Ax0 ，则 y0 ¹ 0 ，否则， 若 y0 = 0 则有 x0 = B · Ax0 = By0 = 0 ， 这与 x0 ¹ 0 矛盾， 从而有 y0 = ABy0 ，y0 ¹ 0 即 ( E - AB ) y0 = 0 ， y0 ¹ 0 ，这与 E - AB 可逆矛盾，故 E - BA 可逆。 解法二：