沪教版(上海)六年级第一学期第十四讲 圆和扇形的面积学案

第十四讲

圆和扇形的面积

【新知新解】

一、圆的面积

圆的面积

（1） 圆面积的定义及公式的推导。 圆所占平面的大小叫做圆的面积。

利用割补法把一圆等分成若干份，然后拼接成一个近似长方形（或三角形或梯形）的图形，再通过求拼后的图形面积得出圆的面积，根据无限逼近的思想等分的份数越多，那么拼接后的图形越接近圆。如图所示。

在硬纸上画一个圆，把圆分成若干等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，可以拼成一个近似的平行四边形，如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。

（2）圆的面积公式

已知圆的半径r ,可得出圆的面积S=πr 2；或已知圆的直径d, 可得出圆的面积S=π(2d )2 （3） 圆的周长与面积之间的关系 若已知圆的周长C ，可通过先出C=2πr,再用公式求面积S=πr

2 二、扇形面积

1、扇形的概念

如图所示，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。图中的扇形记作扇形OAB ，圆心角α，也叫做扇形的圆心角。

在同一个圆，弧的长短，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。

2、扇形的面积公式

扇形面积：所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n:360,也就是说，扇形面积是所在圆面积的360n ，于是推得扇形的面积公式S=2r 360

n π 公式一：S 扇=360

r n 2

π（其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径）； 公式在应用时可变形为

圆扇S S =360n ，即扇形面积与它所在的圆面积之比等于它的圆心角与周角的比。

公式二：S 扇=lr 2

1（其中l 为扇形的弧长，r 为扇形的半径。） 扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式。

3、 扇形统计图

扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。

一般我们记为：P=

发生的结果数所有等可能的结果数

【例题1】填空

（1）如果一个圆的半径扩大3倍，它的直径扩大（ ）倍，面积扩大（ ）倍。

（2）圆的周长是157厘米，它的直径是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。

（3）在一个正方形中画出一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的（ ）％。

（4）在圆内画一个最大的正方形，圆的面积与正方形面积的比是（ ）。

（5）半径是4厘米，圆心角是270°的扇形面积是（ ）

【例题2】

（1）把一根长25.13厘米的铁丝围成一个圆（接头处共计0.01厘米），问这个的面积是多少？

（2）2017春天，新华学校新建了一个圆形花池，池边周围栏杆长50.24米，那么这个花池的圆形底面积是多少平方米？

（3）一块长方形钢板长24分米，宽10分米，重6千克。从这块钢板上截下一圆心角为1200，半径为9分米的扇形，截下的扇形钢板重多少千克?

【例题3】

（1）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）

（2）已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）

（3）如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A是多少度？（π取3.14）

【例题4】如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．

【例题5】求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）

【例题6】

（1）如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I、II、III三部分的面

积之和是多少平方厘米？

（2）.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）

【练习1】

（1）半径是2的圆的面积和周长分别是多少？

（2）直径是5的圆的面积和周长分别是多少？

（3）周长是10π的圆的面积是多少？

（4）面积是9π的圆的周长是多少？

【练习2】

（1）已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少？

（2）扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？

【练习3】已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）

【练习4】图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）

【练习5】求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）