高事数学教案：10.2排列 (二)

课 题： 10．2排列 (二)

教学目的： 1进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘；

2.掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题 教学重点：排列数公式的应用

教学难点：排列数公式的应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.

排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法. 教学过程：

一、复习引入：

11分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法

3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m

n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．

排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m

n A 只表示排列数，而不表示具体的排列 5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；

（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列

全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘） 二、讲解新课：

12阶乘的概念：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，这

时(1)(2)321n n A n n n =--⋅⋅；把正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘!n ， 即n n A =!n 规定0!1=．

2．排列数的另一个计算公式：

(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ (1)(2)(1)()321

()(1)321n n n n m n m n m n m ---+-⋅⋅=---⋅⋅=

!()!

n n m - 即 m n A =!()!

n n m - 三、讲解范例：

例1．计算：①66248108!A A A +-；② 11

(1)!()!n m m A m n ----． 解：①原式876543216543218710987

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯⨯⨯ =5765432513056(89)623

⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯-； ②原式(1)!1(1)!()!()!

m m m n m n -==---．

例2．解方程：3322126x x x A A A +=+．

解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --=++-，

∵3x ≥，∴ 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --=++-，即2317100x x -+=，

解得 5x =或23

x =，∵3x ≥，且x N *∈，∴原方程的解为5x =． 例3．解不等式：2996x x A A ->． 解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!

x x >⋅--， 也就是16(9)!(11)(10)(9)!

x x x x >--⋅-⋅-，化简得：2211040x x -+>， 解得8x <或13x >，又∵29x ≤≤，且x N *∈，

所以，原不等式的解集为{}2,3,4,5,6,7．

例4．求证：（1）n m n m n n n m A A A --=⋅；（2）(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅．

证明：（1）!()!!()!m n m n n m n A A n m n n m --⋅=

-=-n n A =，∴原式成立 （2）(2)!2(21)(22)43212!2!n n n n n n n n ⋅-⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅

2(1)21(21)(23)312!n n n n n n n ⋅-⋅⋅--⋅=

⋅ !13(23)(21)!n n n n ⋅⋅--=

=135(21)n ⋅⋅-=右边

∴原式成立 说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数m n A 中，,m n N *∈且m n ≤这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；

（2）公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+常用来求值，特别是,m n 均为已知时，公式m n

A =!()!

n n m -，常用来证明或化简 例5．化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；⑵11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯